Quelltext der Seite Cox-Regression

Die '''Cox-Regression''', auch '''Coxsches Regressionsmodell''' ist ein nach [[David Cox (Statistiker)|David Cox]] benanntes [[Regressionsanalyse|regressionsanalytisches Verfahren]] zur [[Ereigniszeitanalyse|Modellierung von Überlebenszeiten]]. 

Wie alle ereigniszeitanalytischen Methoden ist sie ein Verfahren zur Schätzung des Einflusses unabhängiger Variablen auf die Dauer bis zum Eintreten von Ereignissen („Überlebenszeit“) bzw. deren [[Hazardrate]]. Als sog. semiparametrisches Verfahren liefert die Schätzung kein komplettes [[Vorhersagemodell]] für die Überlebenszeit, sondern lässt die [[Verteilungsfunktion]] der beobachteten Episodenenden unspezifiziert und schätzt ausschließlich den Einfluss metrischer oder kategorialer Variablen auf einer als über alle Fälle hinweg als gleich angenommenen ''Basis-Hazardrate''.

== Modell ==
Das von Cox vorgeschlagene Regressionsmodell wird zur Untersuchung des Verhaltens der [[Ausfallrate|Hazardrate]]n in Abhängigkeit von Umwelteinflüssen benutzt. Grundlage des Modells sind Einflussvektoren <math>z_i \;</math> mit <math>i = 1, \ldots, n\;</math>, die für jedes Individuum <math>i\;</math> der Studie beobachtet werden können. Der Zusammenhang zwischen diesen Einflüssen und der Hazardfunktion wird dann über die Relation

:<math>h(t;z_i) = h_{0}(t) \exp(z_i \beta)\;</math>

hergestellt. <math>h_{0}</math> bezeichnet dabei eine unbekannte Hazardfunktion, die im Ausgangsfall ohne Einflüsse (also <math>z_i = 0</math>) die zugehörige Hazardfunktion darstellt. Sie wird als [[Störparameter]] behandelt. <math>\beta</math> ist ein unbekannter Parameter, ebenfalls ''n''-dimensional. Aufgabe der Statistik ist die [[Schätzmethode|Schätzung]] dieses Parameters.

== Die Beobachtungen ==
Die Beobachtungen bestehen im Modell der Cox-Regression aus einem Tripel <math>(t_i, z_i, \delta_i)\;</math>, wobei <math>z_i \;</math> wie oben den Einflussvektor für das Individuum <math>i\;</math> bezeichnet. 

<math>t_i\;</math> ist (wie im Falle der Untersuchung [[Zensierte Daten|zensierter Daten]] üblich) als das Minimum von zwei Zufallsvariablen <math>x_i\;</math> und <math>y_i\;</math> definiert. Im Falle des tatsächlich beobachteten Todes eines Individuums gibt <math>x_i\;</math> den Todeszeitpunkt von <math>i\;</math> an. Falls dagegen nur die Studie beendet wurde, gibt <math>y_i\;</math> den Zeitpunkt der Beendigung an. Es ist offensichtlich, dass nur bei einer Beobachtung des Todes Rückschlüsse auf die Form der Hazardfunktion geschlossen werden können. Daher gibt <math>\delta_i = I\{x_i \leq y_i\}</math> an, ob der Tod oder das Ende der Studie beobachtet wurde. <math>I</math> bezeichnet hierbei die [[Indikatorfunktion]].

== Die Schätzung von β ==
Aufgrund der Struktur von <math>h(t;z_i)\;</math> ergibt sich das Problem, dass in Intervallen ohne Todesfall keine Rückschlüsse auf <math>\beta\;</math> gezogen werden können. Es ist schließlich möglich, dass die unbekannte ''Basis-Hazardfunktion'' <math>h_0(t)\;</math> in diesem Intervall verschwindet und also [[a priori]] keine Todesfälle stattfinden können. Man greift daher auf einen Trick zurück und betrachtet [[bedingte Wahrscheinlichkeit]]en.

Wenn ausschließlich dann Informationen über <math>\beta\;</math> erhalten werden können, wenn ein Todesfall stattgefunden hat, bietet sich zum Zeitpunkt des Todes von Individuum <math>i\;</math> die Berechnung der folgenden Wahrscheinlichkeit an: Wie wahrscheinlich ist es, dass von allen noch lebenden Individuen nun ausgerechnet <math>i\;</math> stirbt? Formal lässt sie sich als

:<math>p_i(\beta) := \frac{\exp(z_i' \beta)}{\sum_{j \in R_i} \exp(z_j' \beta)}</math>

berechnen. <math>R_i\;</math> bezeichnet dabei diejenigen Individuen, die zum Zeitpunkt des Todes von <math>i\;</math> noch leben, einschließlich von <math>i\;</math> selbst.

Um eine Art [[Maximum-Likelihood-Schätzer]] für <math>\beta\;</math> zu finden, wird nun in Abhängigkeit von <math>\gamma\;</math> die [[Likelihood-Funktion]]

:<math>p(\gamma) := \prod_{i=1}^{n} p_i(\gamma)^{\delta_i}</math>

maximiert. Dabei wird durch das Potenzieren der einzelnen bedingten Wahrscheinlichkeiten mit <math>\delta_i\;</math> der Tatsache Rechnung getragen, dass nur die Beobachtung eines Todesfalls und nicht die des Endes der Studie Informationen über <math>\beta\;</math> liefert.

== Literatur ==
* David Cox: ''Regression models and life tables''. Journal of the Royal Statistical Society B, 34 (1972), S. 187–220. {{JSTOR|2985181}}
* A. Ziegler, S. Lange & R. Bender: ''Überlebenszeitanalyse. Die Cox-Regression''. [[Deutsche Medizinische Wochenschrift]], 132(S 01) (2007), e42–e44. {{DOI|10.1055/s-2007-959039}}

[[Kategorie:Regressionsmodell]]
[[Kategorie:Ereigniszeitanalyse]]