Quelltext der Seite Cauchy-Kriterium

[[Datei:Cauchy sequence illustration.svg|mini|Eine Folge konvergiert, wenn der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge beliebig klein wird.]]
[[Datei:Cauchy sequence illustration2.svg|mini|Wenn der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge nicht beliebig klein wird, dann divergiert die Folge.]]
Das '''(Bolzano-)Cauchy-Kriterium''' (auch: ''Konvergenzprinzip, [allgemeines] Kriterium von Bolzano-Cauchy'' oder ''Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy'') ist ein [[Mathematik|mathematisches]] [[Konvergenzkriterium]] für [[Folge (Mathematik)|Folgen]] und [[Reihe (Mathematik)|Reihen]] und von grundlegender Bedeutung für die [[Analysis]]. Mit ihm kann auch ohne Kenntnis des Grenzwerts entschieden werden, ob eine Folge oder Reihe [[Reelle Zahl|reeller]] oder [[Komplexe Zahl|komplexer]] Zahlen [[Grenzwert (Folge)|konvergent]] oder divergent ist. Allgemeiner kann das Cauchy-Kriterium auch auf Folgen von Elementen eines [[Vollständiger Raum|vollständigen]] [[Metrischer Raum|metrischen Raums]] oder auf Reihen von [[Vektor]]en eines [[Banachraum]]s angewandt werden. Es handelt sich bis heute um eines der wenigen Kriterien, die eine hinreichende und notwendige Bedingung für die Konvergenz von Reihen angeben.<ref>{{Literatur |Autor=Robert E. Bradley, C. Edward Sandifer |Titel=Cauchy's Cours d'analyse. An Annotated Translation |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2009 |ISBN=978-1-4419-0548-2 |Seiten=87 |Fundstelle=Fußnote 2}}</ref> Das Cauchy-Kriterium ist nach dem französischen Mathematiker [[Augustin Louis Cauchy]] benannt, der es 1821 in seinem Lehrbuch [[Cours d'analyse|''Cours d’Analyse'']] veröffentlichte.<ref>Siehe die [http://hsm.stackexchange.com/a/2861/1772 Antwort auf die Frage „Origin of Cauchy convergence test“] der Q&A Website „History of Science and Mathematics“</ref>

== Cauchy-Kriterium für Folgen ==

=== Kriterium ===
Eine Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} = a_1, a_2, \ldots</math> [[Reelle Zahl|reeller]] oder [[Komplexe Zahl|komplexer]] Zahlen konvergiert genau dann gegen einen reellen bzw. komplexen [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]], wenn sie die folgende Eigenschaft hat: Zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> gibt es einen Index <math>N</math>, sodass der [[Abstand]] zweier beliebiger Folgenglieder ab diesem Index kleiner als <math>\varepsilon</math> ist.

Diese Eigenschaft wird in der Literatur auch als ''Cauchy-Bedingung'' bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Konrad Königsberger |Titel=Analysis 1 |Auflage=6. |Verlag=Springer |Ort=Berlin  / Heidelberg / New York |Datum=2004 |ISBN=978-3-540-40371-5 |Seiten=97}}</ref> Formal liest sie sich als
: <math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m,n \ge N \colon \quad \left|a_m-a_n \right|<\varepsilon </math>.
Eine Folge, welche die Cauchy-Bedingung erfüllt, ist eine [[Cauchy-Folge]]. Das Kriterium lässt sich somit prägnant formulieren durch:

:Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.<ref group="A">Manchmal wird auch nur die Teilaussage „Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen konvergiert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.“ als Cauchy-Kriterium bezeichnet (siehe Courant, S. 35). </ref>
Das Beispiel <math display="inline">a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math> ([[Harmonische Reihe]]) zeigt, dass es im Cauchy-Kriterium wirklich auf den Abstand zweier ''beliebiger'' Folgenglieder ab dem Index <math>N</math> ankommt und nicht nur auf den Abstand aufeinanderfolgender Folgenglieder.<ref group="A">Obwohl die Abstände aufeinanderfolgender Glieder wegen <math display="inline">a_{n+1}-a_{n}=\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \frac{1}{n+1}</math> beliebig klein werden, divergiert die harmonische Reihe (siehe [[Cauchy-Kriterium#Beispiele|Beispiel]]). </ref>

=== Beispiel ===
Die Folge reeller Zahlen <math>(a_n)</math> sei rekursiv durch

: <math>a_{n+1} = \tfrac12 (1 - a_n^2)</math>

gegeben, wobei <math>a_0=0</math> ist. Um die Konvergenz dieser Folge mit dem Cauchy-Kriterium zu zeigen, berechnet man zunächst

: <math>| a_{n+1} - a_n | = | \tfrac12 (1 - a_n^2) - \tfrac12 (1 - a_{n-1}^2) | = \tfrac12 | a_n^2 - a_{n-1}^2 | = \tfrac12 | a_n + a_{n-1} | \, | a_n - a_{n-1} | \leq \tfrac12 | a_n - a_{n-1} |</math>,

wobei die letzte Abschätzung aus der [[Dreiecksungleichung]]

: <math>| a_n + a_{n-1} | \leq | a_n | + | a_{n-1} | \leq 1</math>

folgt, da die einzelnen Folgenglieder durch <math>\tfrac12</math> beschränkt sind. Wendet man die Ungleichung <math>n</math>-mal an, erhält man mit <math>q=\tfrac12</math>

: <math>| a_{n+1} - a_n | \leq q^n | a_1 - a_0 | = q^{n+1}</math>.

Allgemein gilt nun für <math>m>n</math>

: <math>| a_m - a_{m-1} | \leq q | a_{m-1} - a_{m-2} | \leq \cdots \leq q^{m-n-1} | a_{n+1} - a_n |</math>

und durch wiederholte Anwendung der Dreiecksungleichung sowie der [[Geometrische Reihe|geometrischen Summenformel]]

: <math>| a_m - a_n | \leq \sum_{i=0}^{m-n-1} q^i | a_{n+1} - a_n | \leq \frac{1-q^{m-n}}{1-q} q^{n+1} \leq \frac{1}{1-q} q^{n+1} = 2 q^{n+1} = q^n < \varepsilon</math>

für alle <math>n,m > N = \tfrac{\ln \varepsilon}{\ln q}</math>. Damit ist die Folge <math>(a_n)</math> eine Cauchy-Folge und somit konvergent.

=== Cauchy-Kriterium und Vollständigkeit ===
Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen dem Cauchy-Kriterium und der [[Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] der reellen und komplexen Zahlen. Ein [[metrischer Raum]] ist per Definition vollständig, wenn jede Cauchy-Folge von Elementen des Raums in ihm konvergiert.<ref>{{Literatur |Autor=Otto Forster |Titel=Analysis 2 |Auflage=10. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2013 |ISBN=978-3-658-02356-0 |Seiten=17}}</ref> Demzufolge besagt der „Dann-Teil“ des Cauchy-Kriteriums, dass die reellen bzw. komplexen Zahlen vollständig sind. Das Cauchy-Kriterium kann somit als [[Vollständigkeitsaxiom]] für die reellen oder komplexen Zahlen herangezogen werden.<ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=190}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Konrad Königsberger |Titel=Analysis 1 |Auflage= |Verlag= |Seiten=53}}</ref>

=== Beweis ===
Ist <math>\left(a_n\right)</math> eine konvergente Folge mit Grenzwert <math>a</math>, so muss für beliebig kleines <math>\varepsilon > 0</math> nach der Definition der Konvergenz <math display="inline">|a-a_n|<\varepsilon/2</math> und <math display="inline">|a-a_m|<\varepsilon/2</math> für hinreichend große <math>n</math> und <math>m</math> sein. Mit der Dreiecksungleichung folgt hieraus <math>|a_n - a_m|=|(a-a_m)-(a-a_n)|\leq |a-a_m|+|a-a_n| < \varepsilon.</math> Also ist die Cauchy-Bedingung erfüllt.

Der Beweis der Rückrichtung hängt von der Wahl des Vollständigkeitsaxioms ab. Wird das Cauchy-Kriterium selbst als Vollständigkeitsaxiom gesetzt, so muss nichts gezeigt werden. Wird der [[Satz von Bolzano-Weierstraß]] als Vollständigkeitsaxiom zugrunde gelegt und ist <math>( a_n )</math> eine Cauchy-Folge, dann kann man zu <math>\varepsilon = 1</math> einen Index <math>N \in \N</math> finden, sodass

: <math>| a_n | = | a_n - a_N + a_N | \leq | a_n - a_N | + | a_N | \leq 1 + | a_N |</math>

für alle <math>n \geq N</math> ist. Also ist die Cauchy-Folge durch

: <math>\max \{ | a_1 |, | a_2 |, \ldots , | a_{N-1} |, 1 + | a_N | \}</math>

beschränkt. Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt nun, dass die Folge <math>( a_n )</math> einen [[Häufungspunkt]] <math>a</math> besitzt. Bezeichnet <math>( a_{n_i} )_{i \in \N}</math> eine [[Teilfolge]], die gegen <math>a</math> konvergiert, ergibt sich mit

: <math>| a_n - a | \leq | a_n - a_{n_i} | + | a_{n_i} - a |</math>,

dass <math>a</math> der Grenzwert der gesamten Folge sein muss.

=== Verallgemeinerung ===

Allgemeiner kann das Cauchy-Kriterium auch zur Untersuchung der Konvergenz von Folgen von Elementen eines vollständigen [[Metrischer Raum|metrischen Raums]] <math>(X, d)</math> verwendet werden. Eine Folge <math>(x_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Elementen <math>x_n \in X</math> konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert in der Menge <math>X</math>, wenn sie eine Cauchy-Folge bezüglich der Metrik <math>d</math> ist, wenn also gilt:

: <math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\N \quad \forall m,n \geq N \colon \quad d(x_m, x_n) < \varepsilon</math>.

In einem nicht vollständigen metrischen Raum bildet die Cauchy-Bedingung nur eine [[notwendige Bedingung]] für die Konvergenz einer Folge, das heißt: ist eine gegebene Folge keine Cauchy-Folge, so divergiert sie.

== Cauchy-Kriterium für Reihen ==

=== Kriterium ===

Eine Reihe <math display="inline">\sum_{k=1}^{\infty} a_k = a_1 + a_2 + \ldots</math> mit reellen oder komplexen Summanden <math>a_k</math> konvergiert genau dann, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> gibt es einen Index <math>N</math>, so dass jede Summe, die aus (beliebig vielen) Folgengliedern ab diesem Index gebildet wird, vom Betrag her kleiner als <math>\varepsilon</math> ist. Formell liest sich diese Bedingung als

: <math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m > n \ge N \colon \quad | a_{n+1} + a_{n+2} + \ldots + a_m | < \varepsilon.</math>

=== Beispiele ===

Die Reihe <math>1 + \tfrac14 + \tfrac19 + \tfrac1{16} + \ldots</math> konvergiert, da für <math>N > \tfrac1\varepsilon</math> gilt:

: <math>\left| \sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k^2} \right| < \left| \sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k (k-1)} \right| = \left| \sum_{k=n+1}^m \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) \right| = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon</math>.

Hingegen divergiert die [[harmonische Reihe]] <math>1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \ldots </math>, denn wählt man <math>\varepsilon = \tfrac12</math>, <math>N</math> beliebig, <math>n \geq N</math> und <math>m=2n</math>, so gilt immer

: <math>\left| \sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k} \right| = \left| \frac{1}{n+1} + \ldots + \frac{1}{2n} \right| \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \geq \varepsilon</math>.

=== Beweis ===

Das Cauchy-Kriterium für Reihen folgt aus dem Cauchy-Kriterium für Folgen: Man wendet das Cauchy-Kriterium für Folgen auf die Folge <math>(s_n)</math> der [[Partialsumme]]n an und benutzt den Zusammenhang

:<math>| s_m - s_n | = | (a_1 + \ldots + a_m) - (a_1 + \ldots + a_n) | = | a_{n+1} + \ldots + a_m |</math>.

=== Verallgemeinerung ===

Allgemeiner lässt sich das Cauchy-Kriterium auch für Reihen von [[Vektor]]en aus einem [[Banachraum|vollständigen normierten Raum]] <math>(V, \| \cdot \|)</math> fassen:

Eine Reihe <math display="inline">\sum_{k=1}^\infty v_k</math> von Vektoren <math>v_k \in V</math> konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert in <math>V</math>, wenn gilt:

: <math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m > n \ge N \colon \quad \| v_{n+1} + v_{n+2} + \ldots + v_m \| < \varepsilon</math>.

== Siehe auch ==
* [[Monotoniekriterium]]

== Literatur ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer-Verlag, Berlin u.&nbsp;a. 2004, ISBN 3-540-41282-4.
* [[Otto Forster]]: ''Analysis'' Band 1: ''Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen''. 8. Auflage. Vieweg-Verlag, 2006, ISBN 3-528-67224-2.
* [[Richard Courant]]: ''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1''. 4.&nbsp;Aufl., Springer, Berlin / Heidelberg 1971, ISBN 3-540-05466-9.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Folgen und das Cauchy-Kriterium}}
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Kriterium für Reihen}}
* {{EoM|Autor=L.D. Kudryavtsev|Titel=Cauchy criteria|Url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Cauchy_criteria}}
* {{PlanetMath|id=CauchyCriterionForConvergence|title=Cauchy Criterion for Convergence}}
* {{MathWorld|title=Cauchy Criterion|id=CauchyCriterion}}

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Konvergenzkriterium]]