Quelltext der Seite Bornsche Näherung

{{Dieser Artikel|behandelt die Bornsche Näherung in der Streutheorie. Für die ebenfalls nach Max Born benannte Näherung der Mehrteilchen-Schrödingergleichung siehe [[Born-Oppenheimer-Näherung]].}}

Die nach [[Max Born]] benannten Methode '''Bornsche Näherung''' ist die einfachste [[Störungstheorie|störungstheoretische]]-Näherung zur Berechnung von [[Streuung (Physik)|Streuproblemen]].<ref>{{Literatur |Autor=Max Born |Titel=Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge |Sammelwerk=Zeitschrift für Physik |Band=37 |Nummer=12 |Datum=1926-12 |ISSN=1434-6001 |DOI=10.1007/BF01397477 |Seiten=863–867 |Online=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01397477 |Abruf=2023-04-02}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Pál Gombás|P. Gombás]], D. Kisdi |Titel=Die einfachsten Näherungsverfahren und ihre Anwendungen |Sammelwerk=Einführung in die Quantenmechanik und ihre Anwendungen |Verlag=Springer Vienna |Ort=Vienna |Datum=1970 |ISBN=978-3-7091-7976-5 |DOI=10.1007/978-3-7091-7975-8_7 |Seiten=201–247 |Online=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-7091-7975-8_7 |Abruf=2023-04-02}}</ref>

== Anschauliches Beispiel ==
Anschaulich kann man sich die Bornsche Näherung am Beispiel der Streuung von [[Radar]]wellen an einem Plastikstab vorstellen. Man nimmt dazu an, dass die durch das äußere [[Feld (Physik)|Feld]] [[Polarisation|polarisiert]]en [[Atom]]e im Plastikstab (die als kleine Sender zum Gesamtfeld beitragen) im Takt des äußeren Treiberfeldes der einfallenden Radarwellen schwingen.

Dass die Atome dabei selbst elektromagnetische Wellen-Felder erzeugen, die wiederum die anderen Atome beeinflussen (Mehrfachstreuung), wird in dieser Näherung vernachlässigt. Dementsprechend gilt die Bornsche Näherung als gute Näherung, wenn das Streupotential klein ist im Vergleich zur Energie des einfallenden Wellenfeldes und damit das an einem einzigen Atom gestreute Feld klein im Vergleich zum einfallenden Feld.

== Anwendungen und Weiterentwicklungen ==
Die Methoden findet vielseitige Anwendungen und Erweiterungen bzw. Anpassungen in einzelnen Fachgebieten an dortige Probleme, z. B. auch in der Theorie der Streuung [[elektromagnetische Wellen|elektromagnetischer Wellen]].<ref>{{Literatur |Autor=[[Max Born]], Emil Wolf |Titel=Principles of Optics: 60th Anniversary Edition |Auflage=7 |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2019-12-19 |Sprache=en |ISBN=978-1-108-76991-4 |DOI=10.1017/9781108769914 |Online=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/9781108769914/type/book |Abruf=2023-04-02}}</ref>

=== Born-Näherung der Lippmann-Schwinger-Gleichung ===
Die [[Lippmann-Schwinger-Gleichung]] für den Streuungs-[[Zustand (Quantenmechanik)|Zustand]] <math>\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle</math> mit [[Impuls]] <math>\mathbf{p}</math> und aus- oder einlaufender Richtung (<math>\pm</math>) lautet:

:<math>\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle =  \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^0}\rangle + G^0(E_p \pm i\varepsilon) V \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle</math>

mit
* der [[Greensche Funktion|greenschen Funktion]] <math>G^0</math> des [[freies Teilchen|freien Teilchens]]
* einem kleinen positiven Parameter <math>\varepsilon</math>
* dem Wechselwirkungspotential <math>V</math>
* dem einfallenden Feld <math>\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^0}\rangle</math>; man kann es als Lösung des Streuproblems ohne Streuer deuten.
* dem Term <math>\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle</math> auf der rechten Seite der Gleichung als Treiber.

Diese Gleichung kann im Sinne der Bornschen Näherung vereinfacht werden zu

:<math>\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle =  \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^0}\rangle + G^0(E_p \pm i\varepsilon) V \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^0}\rangle</math>,

sodass die rechte Seite nicht mehr vom unbekannten Zustand  <math>\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle</math> abhängt.

Für die explizite Form in [[Ortsdarstellung]] siehe [[Lippmann-Schwinger-Gleichung]].

=== Distorted Wave (Born) Approximation (DWBA bzw. DWA) ===
Manchmal wird ein Teil&nbsp;A des Streuprozesses getrennt auf analytischem oder numerischem Weg berechnet, und die Streuung an einem Rest-Potential (Teil&nbsp;B), das als Störung in Bornnäherung behandelt wird, hinzuaddiert. In diesem Fall werden die „gestörten“ (distorted) Wellen – im Gegensatz zu den in der üblichen Anwendung der Bornnäherung verwendeten ebenen oder Kugelwellen – aus Teil&nbsp;A als Ausgangs[[wellenfunktion]]en für die Störungsentwicklung von Teil&nbsp;B genommen. Man spricht von ''Distorted Wave (Born) Approximation''.<ref>{{Literatur |Autor=[[Philip G. Burke]] |Titel=Potential Scattering |Sammelwerk=R-Matrix Theory of Atomic Collisions |Band=61 |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2011 |Sprache=en |ISBN=978-3-642-15930-5 |DOI=10.1007/978-3-642-15931-2_1 |Seiten=3–55 |Online=https://link.springer.com/10.1007/978-3-642-15931-2_1 |Abruf=2023-04-02}}</ref>

Ist <math>V_1</math> das Potential von Teil&nbsp;A , <math>V_2</math> das Potential von Teil&nbsp;B und <math>\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{1}}^{(\pm)}\rangle</math> die Lösung des Streuproblems aus Teil&nbsp;A (mit der auch die Greensfunktion <math>G^1</math> berechnet wird), so ergibt sich die DWBA-Lösung aus:

:<math>\vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{(\pm)}}\rangle =  \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{1}}^{(\pm)}\rangle + G^1(E_p \pm i\varepsilon) V_{2} \vert{\Psi_{\mathbf{p}}^{1}}^{(\pm)}\rangle .</math>

Beispielsweise können bei einigen Problemen der Streuung von geladenen Teilchen an anderen geladenen Teilchen (wie bei [[Bremsstrahlung]] oder dem [[photoelektrischer Effekt|photoelektrischen Effekt]]) als Ansatz für Teil&nbsp;A analytische Lösungen für [[Coulomb-Streuung]] (Streuung in einem [[Coulombpotential]]) gewählt werden, die dann als einfallende Welle in die Bornnäherung von Teil&nbsp;B einfließen. Bei einigen [[Kernreaktion]]en wird z.&nbsp;B. häufig die numerisch berechnete Streuung in einem [[optisches Potential|optischen Potential]] für den Teil&nbsp;A gewählt.

== Literatur ==
{{Siehe auch|Störungstheorie|Quantenmechanik}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4273055-7|LCCN=sh85015862}}

{{SORTIERUNG:Bornsche Naherung}}
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Computerchemie]]
[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Streutheorie]]