Quelltext der Seite Bilinearform

Als '''Bilinearform''' bezeichnet man in der [[lineare Algebra|linearen Algebra]] eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], welche zwei [[Vektor]]en einen [[Skalar (Mathematik)|Skalarwert]] zuordnet und die [[lineare Abbildung|linear]] in ihren beiden Argumenten ist.

Die beiden Argumente können verschiedenen [[Vektorraum|Vektorräumen]] <math>V, W</math> entstammen, denen jedoch ein gemeinsamer [[Skalarkörper]] <math>K</math> zugrunde liegen muss; eine Bilinearform ist eine Abbildung <math>B\colon V\times W\to K</math>. Eine Bilinearform ist eine [[Linearform]] bezüglich ihres ersten als auch ihres zweiten Arguments und somit insbesondere eine [[Multilinearform]] mit zwei Argumenten.

== Definition ==
Es seien <math>V,W</math> [[Vektorraum|Vektorräume]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> (oder allgemeiner ein Links[[modul (Mathematik)|modul]] <math>V</math> und ein Rechtsmodul <math>W</math> über einem nicht notwendigerweise [[Kommutativer Ring|kommutativen Ring]]).

Eine Abbildung
:<math>B\colon V\times W\to K,\quad (v,w)\mapsto B(v,w)=\langle v,w\rangle</math>
heißt ''Bilinearform'', wenn die zwei Bedingungen einer [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung ]] (Additivität und Homogenität) in beiden Argumenten gelten:
* <math>\langle v_1+v_2,w\rangle=\langle v_1,w\rangle+\langle v_2,w\rangle</math>,
* <math>\langle v,w_1+w_2\rangle=\langle v,w_1\rangle+\langle v,w_2\rangle</math>,
* <math>\langle \lambda v,w\rangle=\lambda\langle v,w\rangle</math>,
* <math>\langle v,w\lambda\rangle=\langle v,w \rangle \lambda</math>.
Dabei sind <math>v,v_1,v_2\in V</math>, <math>w,w_1,w_2\in W</math> und <math>\lambda\in K</math>.

== {{Anker|symmetrisch}} Symmetrieeigenschaften im Fall ''V'' = ''W'' ==

Wenn beide Argumente der Bilinearform aus dem gleichen Vektorraum <math>V</math> stammen, bezeichnet man
<math>B(x,x),x\in V</math> als den ''Formwert'' des Vektors <math>x</math> (bezüglich <math>B</math>). Die Bilinearform <math>B\colon V\times V\to K</math> kann zusätzliche Symmetrieeigenschaften haben:
* {{Anker|Symmetrische Bilinearform }}Eine Bilinearform <math>B</math> heißt [[Symmetrische Funktion|''symmetrisch'']], wenn
::<math>B( x,y)=B(y,x)</math>
:für alle <math>x,y\in V</math> gilt.
:Für eine symmetrische Bilinearform ist stets <math>2\cdot B(x,y)=B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)</math> ([[Polarisationsformel]]). Daraus folgt, dass die Bilinearform durch die Gesamtheit der Formwerte vollständig bestimmt ist, falls der zugrundeliegende Körper <math>K</math> eine [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] ungleich <math>2</math> hat <math>(\operatorname{char}(K)\neq 2)</math>.
* {{Anker|alternierend|Alternierende Bilinearform}}Eine Bilinearform <math>B</math> heißt ''alternierend'', wenn alle Formwerte in Bezug auf <math>B</math> verschwinden, wenn also
::<math>B(x,x)=0</math>
:für alle <math>x\in V</math> gilt.

* {{Anker|antisymmetrisch|Antisymmetrische Bilinearform}}Eine Bilinearform <math>B</math> heißt [[Antisymmetrische Funktion|''antisymmetrisch'']] oder schiefsymmetrisch, wenn
::<math>B(x,y)=-B(y,x)</math>
:für alle <math>x,y\in V</math> gilt.

Jede alternierende Bilinearform ist auch antisymmetrisch. Ist <math>\operatorname{char}(K)\neq 2</math>, was zum Beispiel für <math>K=\R</math> und <math>K=\mathbb C</math> erfüllt ist, gilt auch die Umkehrung: Jede antisymmetrische Bilinearform ist alternierend. Betrachtet man allgemeiner Moduln über einem beliebigen kommutativen Ring, sind diese beiden Begriffe äquivalent, wenn der Zielmodul keine 2-[[Torsion (Algebra)|Torsion]] besitzt.

== Beispiele ==
* Ein [[Skalarprodukt]] auf einem reellen Vektorraum ist eine [[#Nicht ausgeartete Bilinearform|nicht ausgeartete]], symmetrische, [[positiv definit]]e Bilinearform.
* Ein Skalarprodukt <math>B</math> auf einem komplexen Vektorraum <math>V</math> ist keine Bilinearform, sondern eine [[Sesquilinearform]]. Fasst man jedoch <math>V</math> als reellen Vektorraum auf, so ist
::<math>V\times V\to\mathbb R,\quad (x,y)\mapsto\operatorname{Re}B(x,y)</math>
: eine symmetrische Bilinearform und
::<math>V\times V\to\mathbb R,\quad (x,y)\mapsto\operatorname{Im}B(x,y)</math>
: eine alternierende Bilinearform.
* Es gibt eine kanonische nicht ausgeartete Bilinearform
::<math>V\times V^*\to K,\quad (v,f)\mapsto\langle v,f\rangle=f(v).</math>

== Ausartungsraum ==
=== Definition des Ausartungsraums ===
Sei <math>B \colon V \times W \to K</math> eine Bilinearform. Die Menge
:<math>^\perp W\colon=\left\{v\mid\forall w\in W\colon B(v,w)=0\right\}\subseteq V</math>
ist ein [[Untervektorraum]] von <math>V</math> und heißt ''Linkskern'' oder ''Linksradikal'' der Bilinearform. Die Symbolik „<math>^\perp W</math>“ soll andeuten, dass Elemente des Linkskerns gerade die sind, welche (im Sinne der Bilinearform) orthogonal zum gesamten Raum <math>W</math> sind. Entsprechend heißt
:<math>V^\perp\colon=\left\{w\mid\forall v\in V\colon B(v,w)=0\right\}\subseteq W</math>
''Rechtskern'' oder ''Rechtsradikal''. Ist eine Bilinearform <math>B\colon V\times V\to K</math> symmetrisch, so stimmen Rechtskern und Linkskern überein und man nennt diesen Raum den Ausartungsraum von <math>B</math>.

Die Schreibweisen <math>R^\perp</math> und <math>^\perp S</math> werden mit analoger Definition auch für Teilmengen <math>R\subseteq V</math> beziehungsweise <math>S\subseteq W</math> benutzt.

=== Nicht ausgeartete Bilinearform ===
Jede Bilinearform <math>B</math> definiert zwei lineare Abbildungen
:<math>B_l\colon V\to W^*,\quad v\mapsto\left(w\mapsto B(v,w)\right)</math>
und
:<math>B_r\colon W\to V^*,\quad w\mapsto\left(v\mapsto B(v,w)\right).</math>
Rechts- und Linkskern sind die [[Kern (Algebra)|Kerne]] dieser Abbildungen:
:<math>\ker B_l={}^\perp W</math>
:<math>\ker B_r=V^\perp</math>
Sind beide Kerne [[Kern (Algebra)#Bedeutung|trivial]] (die beiden Abbildungen <math>B_l</math> und <math>B_r</math> also [[Injektivität|injektiv]]), so heißt die Bilinearform ''nicht ausgeartet'' oder ''nicht entartet''. Andernfalls heißt die Bilinearform ''ausgeartet'' oder ''entartet''. Sind die Abbildungen <math>B_l</math> und <math>B_r</math> sogar [[Bijektivität|bijektiv]], also [[Isomorphismus|Isomorphismen]], so heißt die Bilinearform ''perfekte Paarung''. Bei endlichdimensionalen Vektorräumen gilt dies immer, die Begriffe ''nicht ausgeartet'' und ''perfekt'' sind in diesem Fall also synonym verwendbar.

Die Bilinearform ist somit genau dann nicht ausgeartet, wenn Folgendes gilt:
* Zu jedem Vektor <math>v\in V\setminus\{0\}</math> existiert ein Vektor <math>w\in W</math> mit <math>B(v,w)\neq 0</math> und
* zu jedem Vektor <math>w\in W\setminus\{0\}</math> existiert ein Vektor <math>v\in V</math> mit <math>B(v,w)\neq 0.</math>

Ist die Bilinearform symmetrisch, so ist sie genau dann nicht ausgeartet, wenn ihr Ausartungsraum der [[Nullvektorraum]] ist.

== Koordinatendarstellung ==
Für endlichdimensionale Vektorräume <math>V, W, </math> mit <math>\dim(V)=n, \dim(W)=m,</math> existieren [[Basis (Vektorraum)|Basen]] <math> \{ e_1,\ldots,e_n \}</math> und <math>\{ f_1,\ldots,f_m \} </math>.

Die darstellende [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] einer Bilinearform <math>B\colon V\times W\to K</math> bezüglich dieser Basen ist <math>M_B\in K^{n \times m}</math> mit
:<math>{(M_B)}_{ij}:=B(e_i,f_j)</math>.
Sind <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinatenvektoren von <math>v\in V</math> bzw. <math>w\in W</math>, d.&nbsp;h.
:<math>v = \sum_{i=1}^n x_i e_i , \; w = \sum_{j=1}^m y_j f_j, \quad </math> so gilt
:<math>B(v,w)=x^TM_B\,y = 
\begin{pmatrix}x_1 \dots x_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} B(e_1,f_1) & \cdots & B(e_1,f_m) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ B(e_n,f_1) & \dots & B(e_n,f_m) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_m\end{pmatrix} </math>,
wobei das [[Matrixprodukt]] eine <math>1\times 1</math>-Matrix liefert, also ein Körperelement.

Ist umgekehrt <math>M</math> eine beliebige <math>n\times m</math>-Matrix, so definiert
:<math>B_M(x,y):=x^TM\,y</math>
eine Bilinearform <math>B_M\colon K^n \times K^m \to K</math>.

=== Basiswechsel ===
Sind <math>e'</math> und <math>f'</math> weitere Basen von <math>V</math> und <math>W</math>, weiterhin <math>{}_{e'}{\mathbf 1}_e</math> die [[Basiswechselmatrix]] von <math>e</math> nach <math>e'</math>. Dann ergibt sich die Matrix von <math>B</math> in der neuen Basis als
:<math>A'={}_{e}{\mathbf 1}_{e'}^T \cdot A \cdot {}_{f}{\mathbf 1}_{f'}</math>
Ist <math>V=W</math>, <math>e=f</math> und <math>e'=f'</math>, dann heißen die Matrizen <math>A</math> und <math>A'</math> zueinander [[Kongruenz (Matrix)|kongruent]].

=== Beispiele/Eigenschaften ===
* Das [[Standardskalarprodukt]] in <math>\mathbb{R}^n</math> hat bezüglich der [[Standardbasis]] als Matrix die [[Einheitsmatrix]].
* Wenn <math>V=W</math> und dieselbe Basis für <math>V</math> und <math>W</math> verwendet wird, so gilt: Die Bilinearform ist genau dann symmetrisch, wenn die Matrix [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] ist, genau dann antisymmetrisch, wenn die Matrix [[Schiefsymmetrische Matrix|antisymmetrisch]] ist, und genau dann alternierend, wenn die Matrix [[Alternierende Matrix|alternierend]] ist.
* Die Abbildung <math>B \mapsto M_B</math> ist eine Bijektion des Raumes der Bilinearformen <math>V\times W\to K</math> auf die <math>n\times m</math>-<math>K</math>-Matrizen. Definiert man die Summe und [[Skalarmultiplikation]] von Bilinearformen auf kanonische Weise (<math>(\lambda B_1 + B_2)(v,w):=\lambda B_1(v,w)+B_2(v,w)</math>), so ist diese Bijektion auch ein Vektorraumisomorphismus.
* Für symmetrische Bilinearformen über Vektorräumen endlicher Dimension existiert eine Basis, in der die darstellende Matrix Diagonalgestalt hat (falls <math>\operatorname{char}(K)\ne 2</math>) (siehe [[Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren]] für den Spezialfall [[Definitheit|positiv definiter]] Bilinearformen).
* Falls weiterhin <math>K=\mathbb R</math>, kann man eine Basis finden, in der zusätzlich auf der Diagonalen nur die Einträge 1, −1 und 0 vorkommen ([[Trägheitssatz von Sylvester]]).

== Weiterführende Bemerkungen ==
* Bilinearformen <math>V\times W\to K</math> entsprechen linearen Abbildungen <math>V\otimes W\to K</math>; ''siehe'' [[Tensorprodukt]].
* Wenn die Abbildung nicht notwendig in den Skalarkörper <math>K</math>, sondern in einen beliebigen Vektorraum erfolgt, spricht man von einer [[bilineare Abbildung|bilinearen Abbildung]].
* Die Verallgemeinerung des Begriffes der Bilinearform auf mehr als zwei Argumente heißt [[Multilinearform]].
* Über dem Körper der [[komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] fordert man oft [[Linearform|Linearität]] im einen und [[Semilinearform|Semilinearität]] im anderen Argument; statt einer Bilinearform erhält man dann eine [[Sesquilinearform]]. Insbesondere ist ein [[Innenproduktraum|inneres Produkt]] über einem reellen Vektorraum eine Bilinearform, über einem komplexen Vektorraum aber nur eine Sesquilinearform.

== Weblinks ==
{{Wikiversity|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 38}}

== Literatur ==
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra'', Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0

[[Kategorie:Lineare Algebra]]