Quelltext der Seite Bhaskara I.

{{Dieser Artikel| befasst sich mit dem indischen Mathematiker und Astronom Bhāskara, der im 7. Jahrhundert lebte; für den gleichnamigen Mathematiker des 12. Jahrhunderts siehe [[Bhaskara II.|Bhaskara II]].}}
'''Bhaskara''', auch '''Bhaskara I.''', (* um [[600]] in [[Kathiawar|Saurashtra]] ?, [[Gujarat]]; † um [[680]] in [[Ashmaka]]) war ein [[Indien|indischer]] [[Mathematiker]] und [[Astronom]].

== Leben ==
Über Bhaskaras Leben ist fast nichts bekannt. Seine astronomische Ausbildung erhielt er von seinem Vater. Bhaskara gilt als bedeutendster Vertreter der von [[Aryabhata]] begründeten astronomischen Schule.

== Darstellung von Zahlen ==
Bhaskaras vielleicht wichtigste mathematische Leistung betrifft die Darstellung von Zahlen in [[Stellenwertsystem]]en. Die ersten Stellenwertdarstellungen sind indischen Astronomen bereits um [[500]] bekannt. Die Zahlen sind aber noch nicht in Ziffern, sondern in Wortzahlen oder Sinnbildern abgefasst und in Versen gehalten. So wird beispielsweise für die Zahl 1 der Mond angegeben, da es ihn nur einmal gibt; für die Zahl 2 gelten Flügel, Zwillinge oder Augen, da sie immer als Paar auftreten; für die Zahl 5 stehen die (fünf) Sinne (vgl. heutige [[Zahl-Form-System|Mnemotechniken]]). Diese Worte werden ähnlich wie unserem heutigen [[Dezimalsystem]] aneinandergereiht, nur begann man mit den Einern und endete mit der höchsten Zehnerpotenz, entgegen der ursprünglichen [[Brahmi-Schrift|Brahmi]]-Schreibweise.
Zum Beispiel ist

: 1052 = Flügel Sinne Leere Mond.

Warum verwendeten die indischen Wissenschaftler Zahlwörter und nicht die damals ebenfalls bekannten [[Brahmi-Zahl]]en? Die Texte wurden in [[Sanskrit]], der „Sprache der Götter“, geschrieben, das in Indien eine ähnliche Rolle wie [[Latein]] heute in Europa spielte, gesprochen wurden ganz andere Dialekte. Vermutlich wurden zunächst die im Alltagsgebrauch verwendeten Brahmi-Ziffern als zu vulgär für die Götter empfunden (Ifrah 2000, S. 431).

[[Aryabhata]] bediente sich später um [[510]] aber einer anderen Methode („[[Aryabhata-Code]]“), indem er die Zahlen durch Silben bezeichnete. Sein System basiert zudem auf der Basis 100, und nicht 10 (Ifrah 2000, S. 449). Bhaskara modifizierte [[629]] in seinem Kommentar zur ''[[Aryabhatiya]]'' Aryabhatas silbenhafte Ziffernschreibweise zu einem [[Stellenwertsystem]] zur Basis 10, das eine [[Null]] enthält. Er benutzt jedoch festgelegte Zahlwörter, fängt mit den Einern an, dann mit den Zehnern usw., beispielsweise schreibt er die Zahl 4320000 als

{| class="wikitable"
|-
| ''viyat''
| ''ambara''
| ''akasha''
| ''sunya''
| ''yama''
| ''rama''
| ''veda''
|-
| Himmel
| Atmosphäre
| Äther
| Leere
| Urpaar ([[Yama (Todesgott)|Yama]] und [[Yami (Mythologie)|Yami]])
| [[Rama (Mythologie)|Rama]]
| [[Veda]]
|-
| 0
| 0
| 0
| 0
| 2
| 3
| 4
|}

Sein System ist echt positionell, da dieselben Worte, die beispielsweise
eine 4 darstellen (wie hier ''veda''), auch den Wert 40 oder 400 haben können (van der Waerden 1966, S. 90). Sehr bemerkenswert aber ist, dass er oft nach einem solchen Zahlwort mit den Worten
''ankair api'' („in Ziffern lautet dies“) dieselbe Zahl mit den ersten neun [[Brahmi-Zahl]]en und einem kleinen runden Kreis für die [[Null]] schreibt (Ifrah 2000, S. 415). Entgegen der Zahlwortschreibweise schreibt er jedoch die Ziffern in absteigender
Wertigkeit von links nach rechts, genau wie wir es heute tun. Damit ist unser heutiges [[Dezimalsystem]] den indischen Gelehrten spätestens ab [[629]] bekannt. Bhaskara hat es vermutlich nicht erfunden, sondern hatte als erster keine Bedenken, die Ziffern in einem wissenschaftlichen Werk in [[Sanskrit]] zu verwenden.

Der Erste allerdings, der mit der [[Null]] als Zahl rechnete und negative Zahlen kannte, war Bhaskaras Zeitgenosse [[Brahmagupta]].

== Sonstiges Werk ==
[[Datei:Sphère armillaire.jpg|mini|Modell der von Bhaskara beschriebenen [[Armillarsphäre]].]]
Bhaskara schrieb drei astronomische Arbeiten. Im Jahre [[629]] kommentierte er das in Versform verfasste Werk ''Aryabhatiya'' über mathematische Astronomie, und zwar genau diejenigen 33 Verse, die sich mit Mathematik befassten. Er betrachtete darin unbestimmte Gleichungen ersten Grades und trigonometrische Formeln.

Sein Werk ''Mahabhaskariya'' teilt sich in acht Kapitel über mathematische Astronomie. In Kapitel 7 gibt er eine bemerkenswert genaue Approximationsformel für <math>\sin x</math> an, nämlich
:<math> \sin x \approx \frac{16x (\pi - x)}{5 \pi^2 - 4x (\pi - x)}, \qquad (0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} )</math>
die er [[Aryabhata]] zuschreibt. Sie ergibt einen relativen Fehler von weniger als 1,9 % (die größte Abweichung <math>\frac{16}{5\pi} - 1 \approx 1{,}859\%</math> ergibt sich für <math>x \approx 0</math>). An den Randpunkten <math>x = 0</math> und <math>\pi/2</math> ist die Näherung exakt (ergibt also 0 bzw. 1). Ferner werden Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus sowie zwischen dem Sinus eines Winkels <math>>90^\circ</math>, <math>>180^\circ</math> oder <math>>270^\circ</math> und dem Sinus eines Winkels <math><90^\circ</math> aufgeführt.
Teile der ''Mahabhaskariya'' sind später ins Arabische übersetzt worden.

Bhaskara beschäftigte sich bereits mit der Aussage: Ist <math>p</math> eine Primzahl, so ist <math>1 + (p-1)!</math> durch <math>p</math> teilbar. Sie wurde später von [[Alhazen|Al-Haitham]] erstmals bewiesen, von [[Fibonacci]] erwähnt und ist heute als [[Satz von Wilson]] bekannt.

Ferner formulierte Bhaskara Sätze über die Lösungen der heute so genannten [[Pellsche Gleichung|Pellschen Gleichung]]. So stellte er die Aufgabe: „Sag mir, O Mathematiker, wie lautet das Quadrat, das mit 8 multipliziert zusammen mit der Einheit ein Quadrat ergibt?“ In heutigen Bezeichnungen ist nach der Lösung der [[Pellsche Gleichung|Pellschen Gleichung]] <math>8x^2 + 1 = y^2</math> gefragt. Sie hat die einfache Lösung <math>x = 1</math>, <math>y = 3</math>, oder kurz <math>(x,y) = (1,3)</math>, woraus man weitere Lösungen konstruieren kann, z.&nbsp;B. <math>(x,y) = (6,17)</math>.

== Ausgaben ==
* K. S. Shukla: Mahabhaskariya, Lucknow University Press 1960 (Sanskrit mit Kommentar und englischer Übersetzung)
* K. S. Shukla: Laghubhaskariya, Lucknow University Press 1963 (mit engl. Übersetzung)
* K. S. Shukla: Aryabhatiya of Aryabatha, with the commentary of Bhaskara I and Somesvara, [[Indian National Science Academy]], New Delhi 1976
* Agathe Keller: Expounding the mathematical seed. Bhaskara and the mathematical chapter of the Aryabhatiya, 2 Bände, Birkhäuser 2006 (Übersetzung des Kommentars von Bhaskara I zu Aryabathiya mit Kommentar)

== Literatur ==
* Agathe Keller: Bhaskara I., in Helaine Selin (Hrsg.), Encyclopedia of the history of science, technology and medicine in non western cultures, Springer 2008
* [[David Pingree]], Artikel in [[Dictionary of Scientific Biography]]
* {{DictSciBiogr |Autor=David Pingree |Lemma=Bhaskara I |Band=2 |Seiten=114–115}}
* K. S. Shukla: Hindu mathematics in the seventh century as found in Bhaskara I's commentary on the Aryabhatiya, Ganita, Band 22, 1971, Nr. 1, S. 115–130, Nr. 2, S. 61–78, Band 23, 1972, Nr. 1, S. 57–79,  Nr. 2, S. 41–50.
* [[Bibhutibhushan Datta|B. Datta]]: The two Bhaskaras, Indian Historical Quarterly, Band 6, 1930, S. 727–736.
* B. Datta, S. N. Singh: History of Indian Mathematics, Lahore 1938, Asia Publishing House 1986
* Datta, Singh: Indian Geometry, Indian Journal of the History of Science, Band 15, 1980, S. 21–187.
* Datta, Singh: Indian Trigonometry, Indian Journal of the History of Science, Band 18, 1983, S. 39–108.
* T. Hayashi, Michio Yano: A note on Bhaskara I's rational approximation to sine, Historia Scientiarum, Band 42, 1991, S. 45–48.
* R. C. Gupta: Bhaskara I's approximation to sine, Indian J. History Sci., Band 2, 1967, S. 121–136.
* R. C. Gupta: On derivation of Bhaskara I's formula for the sine, Ganita Bharati, Band  8, 1986, S. 39–41.
* H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: ''4000 Jahre Algebra''. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2003, ISBN 3-540-43554-9, §3.2.1.
* S. Gottwald, H.-J. Ilgauds, K.-H. Schlote (Hrsg.): ''Lexikon bedeutender Mathematiker''. Verlag Harri Thun, Frankfurt am Main 1990, ISBN 3-8171-1164-9.
* Georges Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen.'' Campus Verlag, Frankfurt am Main 1986, ISBN 3-593-34192-1.
* [[Bartel Leendert van der Waerden]]: ''Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik''. Birkhäuser-Verlag, Basel Stuttgart 1966.

== Weblinks ==
* {{DNB-Portal|119289261}}
* {{MacTutor|id=Bhaskara_I}}

{{Normdaten|TYP=p|GND=119289261|LCCN=n88241770|VIAF=263956341}}

{{SORTIERUNG:Bhaskara I.}}
[[Kategorie:Indischer Mathematiker]]
[[Kategorie:Astronom der Antike]]
[[Kategorie:Inder]]
[[Kategorie:Geboren im 6. oder 7. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Gestorben im 7. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Bhaskara I.
|ALTERNATIVNAMEN=Bhāskara der Ältere; Bhāskara Ācārya, der Ältere; Bhāskarācārya
|KURZBESCHREIBUNG=indischer Mathematiker
|GEBURTSDATUM=um 600
|GEBURTSORT=unsicher: [[Kathiawar]], [[Gujarat]]
|STERBEDATUM=um 680
|STERBEORT=[[Ashmaka]]
}}