Quelltext der Seite Bernoullische Annahmen

Die '''Bernoullischen Annahmen''' sind Vereinfachungen der [[physik]]alischen [[Balkentheorie]], die sich als Teilgebiet der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] mit dem Verhalten [[Belastung (Physik)|belasteter]] [[Balken]] beschäftigt. Sie werden auch als '''Bernoulli-Hypothese'''<ref name="Uni-Siegen">Script, Kapitel [https://www.bau.uni-siegen.de/subdomains/bauinformatik/lehre/tm2/arbeitsblaetter/geradebiegung.pdf 3.2 Grundgleichungen der geraden Biegung], Lehrstuhl für Baustatik, Universität Siegen. In: Bau.Uni-Siegen.de. Abgerufen im Juni 2021</ref> oder '''Bernoullische Hypothese'''<ref>[https://baulexikon.beuth.de/BERNOULLISCHE.HTM Bernoullische Hypothese], Beuth Verlag GmbH. In: Baulexikon.Beuth.de. Abgerufen im Juni 2021</ref> oder '''Normalenhypothese von Bernoulli'''<ref>[https://www.ingenieurkurse.de/baustatik-1/verformungen/verformung-infolge-biegung/verformung-infolge-reiner-biegung/normalenhypothese-von-bernoulli.html Baustatik 1 - Normalenhypothese von Bernoulli]. examio GmbH. In: Ingenieurkurse.de. Abgerufen im Juni 2021</ref> bezeichnet und sind benannt nach [[Jakob I Bernoulli]], von dem sie aufgestellt und dann in die Theorie übertragen wurden.

== Inhalt der Annahmen ==
Vorausgesetzt wird, dass der Balken ''schlank'' ist. Seine Länge ist wesentlich größer als seine [[Querschnitt (Mechanik)|Querschnitts]]<nowiki/>[[abmessung]]en.

Bernoulli geht von einem schubstarren Balken <math>G\cdot\tilde A=\infty</math> aus. Dabei steht <math>G</math> für das [[Schubmodul]], <math>\tilde A</math> für die Querschnittsfläche. Es tritt also ausschließlich Biegung auf und die Schubverformung hat keinen weiteren Einfluss.<ref name="Spura">Christian Spura: [https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-658-25216-8_3 Herleitung der Euler-Bernoulli-Balkentheorie]. In: Einführung in die Balkentheorie nach Timoshenko und Euler-Bernoulli. essentials. Seiten 17–18. 23. Februar 2019. {{DOI|10.1007/978-3-658-25216-8_3}}, Herausgeber Springer Vieweg, Wiesbaden. Print ISBN 978-3-658-25215-1, Online ISBN 978-3-658-25216-8. In: Link.Springer.com</ref>

1. Bernoulli’sche Hypothese: Senkrechtbleiben der Querschnitte

Balkenquerschnitte, die vor der Verbiegung senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Verbiegung senkrecht auf der [[Verformung|deformierten]] Balkenachse.<ref name="Spura" />
(Aus dem Winkelerhalt folgt, dass Schubstarrheit <math>G\cdot\tilde A=\infty</math> gefordert wird.)

2. Bernoulli’sche Hypothese: Ebenbleiben der Querschnitte

Die Querschnitte bleiben auch nach der Verbiegung in sich eben und verwölben sich nicht.<ref name="Spura" />
(Unter Berücksichtigung von Gleichgewicht folgt die Forderung nach Schubstarrheit <math>G\cdot\tilde A=\infty</math>.)<!--  <<  Wie ist das gemeint "Unter Berücksichtigung von Gleichgewicht? ..  -->

== Anwendung ==
{{Hauptartikel|Balkentheorie}}
In der schubstarren Balkentheorie 1. Ordnung gibt es unter den Bernoullischen Annahmen folgende [[Differentialgleichung]]en für die Queranteile:
* <math> \frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x} = -q(x)</math><ref name="pichler2016baustatik">{{Literatur |Autor=Pichler, Bernhard. Eberhardsteiner, Josef |Hrsg=TU Verlag |Titel=''Baustatik VO'' ''LVA-Nr 202.065'' |Auflage=SS2016 |Verlag=TU Verlag |Ort=Wien |Datum=2016 |ISBN=978-3-903024-17-5 |Kapitel=''Lineare Stabtheorie ebener Stabtragwerke'' |Online=[https://www.grafischeszentrum.com/index.php?option=com_content&id=54 Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien] |Umfang=520&#8239;Seiten |Abruf=2016-09-08 }} {{Webarchiv|url=http://www.grafischeszentrum.com/index.php?option=com_content&id=54 |wayback=20160313142036 |text=Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien |archiv-bot=2019-08-26 23:53:19 InternetArchiveBot }}</ref>

* <math> \frac{\mathrm{d}M(x)}{\mathrm{d}x} =  V(x)+m(x)</math><ref name="pichler2016baustatik" />

* <math> \frac{\mathrm{d}\varphi(x)}{\mathrm{d}x} = -\left[\frac{M(x)}{E \cdot I(x)}+\kappa^e(x)\right]</math><ref name="pichler2016baustatik" />

* <math> \frac{\mathrm{d}w(x)}{\mathrm{d}x} = \varphi(x)</math>
mit
* der Laufkoordinate&nbsp;x entlang der Balkenachse
* dem [[Elastizitätsmodul]]&nbsp;E
* dem [[Flächenträgheitsmoment]]&nbsp;<span style="font-family:geneva;">I</span><!--um es von einem kleinen l zu unterscheiden-->(x)
* V(x) der [[Querkraft]]
* q(x) der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit<ref name="pichler2016baustatik" />)
* M(x) dem [[Biegemoment]]

* m(x) dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit<ref name="pichler2016baustatik" />)
* φ(x) der Verdrehung
* κ<sup>e</sup>(x) der eingeprägten Krümmung
* w(x) der Durchbiegung.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Balkentheorie]]
[[Kategorie:Bernoulli (Familie)]]