Quelltext der Seite Bellsche Ungleichung

Die '''Bellsche Ungleichung''' ist eine Ungleichung zwischen Korrelationen von Messergebnissen. Mit ihrer Hilfe lässt sich durch Experimente nachweisen, dass es keine [[Physik#Theoriengebäude|physikalische Theorie]] geben kann, die alle [[Quantenphysik|quantenphysikalischen Beobachtungen]] beschreibt und gleichzeitig lokal und realistisch ist. „[[Lokalität (Physik)|Lokal]]“ bedeutet hier, dass keine Information oder Wirkung schneller übertragen werden kann als mit [[Lichtgeschwindigkeit]]. Mit „realistisch“ ist gemeint, dass die momentanen Werte der an einem [[Physikalisches System|physikalischen System]] messbaren [[Physikalische Größe|Größen]] unabhängig davon existieren, ob sie gemessen werden oder nicht. Sie sind also reale Eigenschaften des Systems. Diese beiden Annahmen entsprechen dem Alltagsverständnis physikalischer Vorgänge und gehören zu den Grundvoraussetzungen der [[Klassische Physik|klassischen Physik]]. Dennoch muss mindestens eine von ihnen falsch sein.

Gemäß der Originalarbeit von [[John Stewart Bell]] aus dem Jahr 1964 gilt für die statistischen [[Korrelation]]en wiederholt erhobener Messwerte bestimmter Größen eine universelle [[Ungleichung]], wenn für das beobachtete System die beiden Annahmen der Lokalität und des Realismus zutreffen und die Messungen sich physikalisch nicht gegenseitig beeinflusst haben. Die [[Quantenmechanik]] sagt hingegen bei Messungen an einem [[Quantenmechanik#Verschränkung, EPR-Experiment|verschränkten]] System, z.&nbsp;B. Messungen der [[Polarisation]]srichtungen zweier gleichzeitig erzeugter [[Photon]]en, stärkere Korrelationen voraus, als diese Ungleichung erlaubt.<ref name=Bell1964>{{cite journal | last1 = Bell | first1 = J. S. | author-link = John Stewart Bell | language=en | year = 1964 | title = On the Einstein Podolsky Rosen Paradox | url = https://cds.cern.ch/record/111654/files/vol1p195-200_001.pdf | journal = Physics Physique Fizika | volume = 1 | issue = 3| pages = 195–200 | doi = 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 }}</ref>

In der Folge wurden weitere Ungleichungen ähnlicher Art aufgestellt und insgesamt als Bellsche Ungleichungen bezeichnet. Entsprechende Experimente, sog. [[Bell-Test]]s, wurden mit zunehmender Präzision ab den 1970er Jahren durchgeführt. Dabei wurden die Möglichkeiten einer gegenseitigen physikalischen Beeinflussung der Messungen mit zunehmender Sicherheit ausgeschlossen. Die Ergebnisse lagen außerhalb des Bereichs, der nach der Bellschen Ungleichung durch eine lokal-realistische Theorie erklärt werden kann, und bestätigten darüber hinaus ausnahmslos quantitativ die Vorhersagen der Quantenmechanik. Dies wurde 2022 mit dem [[Nobelpreis für Physik|Physiknobelpreis]] für [[Alain Aspect]], [[John Clauser]] und [[Anton Zeilinger]] gewürdigt.

== Realismus und Lokalität ==
Die Bellsche Ungleichung zeigte zunächst, dass die Vorhersagen der Quantenmechanik in Widerspruch stehen zur gleichzeitigen Annahme von [[Realismus (Philosophie)|Realismus]] und [[Lokalität (Physik)|Lokalität]].<ref>Sheldon Goldstein u. a.: [http://www.scholarpedia.org/article/Bell%27s_theorem ''Bell’s theorem.''] In: ''scholarpedia.org.''2011, abgerufen am 16.&nbsp;Juni 2024 (englisch).</ref>

# Eine physikalische Theorie ist ''[[Realismus (Philosophie)|realistisch]]'', wenn sie davon ausgeht, dass Messungen nur Eigenschaften ablesen, die unabhängig von der Messung vorliegen. Das heißt, das Ergebnis jeder denkbaren Messung steht schon fest, bevor es durch die Messung bekannt wird.
# Eine physikalische Theorie ist [[Lokalität (Physik)|''nicht lokal'']], wenn die Messergebnisse an zwei Teilchen korreliert sind, indem sie eine dem Zufall widersprechende Beziehung zeigen, ohne dass dies mit objektiv vorliegenden Eigenschaften der Teilchen oder durch einen Einfluss der Messung an einem Teilchen auf das andere erklärt werden könnte. So ein Einfluss ist durch die [[spezielle Relativitätstheorie]] ausgeschlossen, wenn die beiden Messungen in [[raumartig]]er Relation zueinander stehen, so dass eine etwaige Signalübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit erfolgen müsste.

Die Verwendung dieser beiden Begriffe in der Analyse der Quantenmechanik stammt aus dem Aufsatz, mit dem [[Albert Einstein]], [[Boris Podolsky]] und [[Nathan Rosen]] 1935 das [[Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon]] (kurz EPR-Paradoxon) vorstellten.

„Klassische“ Theorien wie die [[klassische Mechanik]], die spezielle Relativitätstheorie oder die [[Elektrodynamik|Maxwellsche Elektrodynamik]] sind lokal-realistisch. Die Bellsche Ungleichung ist eine direkte Folge aus dem lokalen Realismus und gilt daher in der klassischen Physik ohne Einschränkung. Die Quantenmechanik ist keine lokal-realistische Theorie. In bestimmten Fällen verletzen quantenmechanisch berechnete Mittelwerte die Bellsche Ungleichung. Da diese Verletzungen durch geeignete Experimente nachgewiesen werden konnten, kann die Quantenmechanik nicht zu einer lokalen ''und'' realistischen Theorie vervollständigt werden, auch nicht –&nbsp;im Gegensatz zu einer Annahme von Einstein und anderen&nbsp;– durch Hinzufügen von verborgenen Variablen.

Bei zahlreichen verschränkten Quantensystemen, darunter verschränkten [[Photon]]en<nowiki />paaren, ist bei den Korrelationen zwischen den Teilchen die Verletzung der Bellschen Ungleichung in Messungen bestätigt worden. Die Korrelationen sind daher nicht mit der Annahme der gleichzeitigen Gültigkeit von Realität und Lokalität verträglich. Sie stimmen in allen Fällen mit der Quantenmechanik überein. Dies bedeutet, dass ''nicht alle Messwerte vor der Messung feststehen können'' oder dass die Werte aus verschiedenen Messungen ''nichtlokal korreliert sein müssen''.

[[John von Neumann]] veröffentlichte 1932 eine mathematische Widerlegung der Theorie verborgener Variablen, die lange als unbestritten galt. John S. Bell fand in den Voraussetzungen dieser Widerlegung jedoch einen grundlegenden Fehler und veröffentlichte 1966 einen Hinweis auf die fehlerhafte Annahme der linearen [[Additivität]] bestimmter [[Erwartungswert]]e.<ref name="Bell1966">{{cite journal | last1 = Bell | first1 = J. S. | title = On the problem of hidden variables in quantum mechanics | journal = Reviews of Modern Physics | volume = 38 | issue = 3 | pages = 447–452 | year = 1966 | language=en | doi = 10.1103/revmodphys.38.447 |bibcode = 1966RvMP...38..447B }}</ref> In seinem Aufsatz von 1964, der die Bellschen Ungleichungen einführte, wollte er zeigen, dass die eigentliche Grundannahme, an der Theorien verborgener Variablen scheitern, die Lokalität ist. Eine schon 1952 veröffentlichte [[De-Broglie-Bohm-Theorie|Theorie verborgener Variablen]] von [[David Bohm]] war stark nicht-lokal.

== Versuchsaufbau ==
Die ursprüngliche Überlegung war bei John S. Bell nur ein Gedankenexperiment mit quantenmechanisch verschränkten Elektronen. Der Versuchsaufbau wurde von Bell nur theoretisch beschrieben.<ref name=Bell1964 /> Etliche Jahre später wurde aber ein vergleichbarer Versuchsaufbau mit verschränkten Photonen real umgesetzt, um die Überlegungen des Gedankenexperimentes experimentell zu überprüfen.

In einer Quelle wird ein verschränktes Photonenpaar erzeugt, wobei sich die Photonen in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Die beiden Photonen treffen auf je einen Filter; die Filter sind unabhängig voneinander auf die Messrichtung <math>\mathbf a,\,\mathbf b</math> oder <math>\mathbf c</math> eingestellt.<ref name="FC72">{{Literatur |Autor=S. J. Freedman, J. F. Clauser |Titel=Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=28 |Nummer=14 |Datum=1972 |Seiten=938–941 |DOI=10.1103/PhysRevLett.28.938}}</ref><ref name="Giustina15" /><ref>Dietrich Dehlinger, M. W. Michell: [https://arxiv.org/abs/quant-ph/0205171 ''Entangled photons, nonlocality and Bell inequalities in the undergraduate laboratory''], 27. Mai 2002, arxiv.org.</ref> Normalerweise werden für die Messrichtungen <math>\mathbf a,\,\mathbf b,\,\mathbf c</math> die folgenden Werte gewählt:
* Messrichtung <math>\mathbf a</math>: Filter lässt horizontal polarisierte Photonen durch. Vertikal polarisierte Photonen werden reflektiert.
* Messrichtung <math>\mathbf b</math>: Filter ist um <math>\pi/6 = +30^\circ</math> gegenüber Messrichtung <math>\mathbf a</math> gedreht.
* Messrichtung <math>\mathbf c</math>: Filter ist um <math>\pi/6 = +30^\circ</math> gegenüber Messrichtung <math>\mathbf b</math> gedreht. (Das heißt, er ist um <math>\pi/3 = +60^\circ</math> gegenüber Messrichtung <math>\mathbf a</math> gedreht.)

Für beide Filter wird zufällig bestimmt, in welcher dieser drei Richtungen der Filter ausgerichtet ist. Dabei wird die zufällige Bestimmung für beide Filter unabhängig voneinander durchgeführt. Das heißt, aus der Richtung des ersten Filters lässt sich nicht auf die Richtung des zweiten Filters schließen.
Die Richtung des Filters wird festgelegt, nachdem das Photonenpaar erzeugt wurde, aber bevor es den Filter erreicht.

Anschließend wird für beide Photonen gemessen, ob sie den Filter passiert haben oder ob sie reflektiert wurden.

Dieses Experiment wird mehrere Male hintereinander ausgeführt. Bei Durchgängen, in denen beide Filter zufällig in die gleiche Richtung ausgerichtet sind, wird in beiden Detektoren das gleiche Ergebnis gemessen. Sie spielen im Zusammenhang mit der Bellschen Ungleichung keine Rolle. Für die Durchgänge, in denen beide Filter in unterschiedliche Richtungen ausgerichtet sind, wird gemessen, wie häufig die beiden Photonen des Photonenpaares sich gleich bzw. unterschiedlich verhalten haben.

Insbesondere wird gemessen:
* <math>W(\mathbf a_h,\mathbf b_h)</math>: Anteil der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung <math>\mathbf a</math> passiert und das andere Photon den Filter mit Messrichtung <math>\mathbf b</math> passiert hat.
* <math>W(\mathbf b_h,\mathbf c_v)</math>: Anteil der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung <math>\mathbf b</math> passiert und das andere Photon vom Filter mit Messrichtung <math>\mathbf c</math> reflektiert wurde.
* <math>W(\mathbf a_h,\mathbf c_h)</math>: Anteil der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung <math>\mathbf a</math> passiert und das andere Photon den Filter mit Messrichtung <math>\mathbf c</math> passiert hat.

Im klassischen Modell kann zusammen mit der Annahme von Realismus und Lokalität die Bellsche Ungleichung für die Wahrscheinlichkeiten hergeleitet werden. Im quantentheoretischen Modell können die Wahrscheinlichkeiten für alle Einstellungen der Filter berechnet und mit dem Experiment verglichen werden. Das durchgeführte Experiment ist mit dem klassischen Modell nicht vereinbar, weil die Messwerte die Bellsche Ungleichung nicht erfüllen. Die Vorhersagen der quantentheoretischen Rechnung werden durch das Experiment dagegen bestätigt.

== Die Ungleichung bei der Annahme verborgener Variablen ==
Ein aus mehreren Komponenten (α und β) zusammengesetztes System muss in der Quantentheorie häufig als ''ein'' Objekt (α,β) mit eigenen Zuständen behandelt werden. Unter den möglichen Zuständen gibt es dann stets auch solche, die ''nicht'' beschrieben werden können, indem man einen Zustand von α und einen von β benennt. In einem solchen Zustand des Systems heißen α und β miteinander [[Quantenverschränkung|verschränkt]]. So können zwei Photonen α und β derart miteinander verschränkt sein, dass bei einem Test an parallelen Polarisationsfiltern stets beide passieren oder beide absorbiert werden, und dies für jede beliebige Orientierung der (parallelen) Filter. Ein verschränktes System bleibt ''ein'' Quantenobjekt, auch, wenn die Komponenten räumlich voneinander getrennt werden. Die Tests an α und β können daher räumlich wie zeitlich beliebig entfernt voneinander stattfinden. Ob die zwei Photonen das eine oder das andere Schicksal haben, ist nicht vorhersehbar. In dem hier betrachteten Experiment wird ein Strom von derart verschränkten Photonenpaaren erzeugt und davon jeweils ein Photon an das Labor von Alice, das andere an das davon entfernte Labor von Bob verschickt. Alice testet die lineare Polarisation ihrer Photonen in zufälliger Wahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einer von drei Messrichtungen <math>\mathbf a,\,\mathbf b,\,\mathbf c</math>. Bob misst ebenso zufällig in den gleichen Richtungen <math>\mathbf a,\,\mathbf b,\,\mathbf c</math>. Der gewählte Zustand bewirkt, dass Alices und Bobs Photonen gleich reagieren, wenn sie in der gleichen Richtung getestet werden.

Die beiden möglichen mit einem Filter bestimmten Werte der linearen Polarisation werden in der Literatur üblicherweise mit <math>h</math> für ''horizontal'' und <math>v</math> für ''vertikal'' bezeichnet. Die Hypothese besteht in der Annahme, dass jedes Photon eine Art von individuellen Eigenschaften besitzt, die verborgenen Variablen, die ihm für jede Messrichtung vorgeben, ob es bei einem Test als horizontal oder vertikal polarisiert reagieren wird. Das korrelierte Verhalten verschränkter Photonen beruht nach dieser Hypothese darauf, dass ihre [[Verborgene Variablen|verborgenen Variablen]] entsprechend korreliert sind. Zu den drei Orientierungen <math>\mathbf a,\,\mathbf b,\,\mathbf c</math> der Filter in dem betrachteten Experiment hat demnach jedes der einlaufenden Photonen eine Voreinstellung auf ''horizontal'' oder ''vertikal'', in Zeichen <math>\mathbf a_h,\,\mathbf a_v,\,\dots\,\mathbf c_v</math>. Jede Messung offenbart die entsprechende Voreinstellung, und diese Voreinstellungen sind wegen der Verschränkung für Alices und Bobs Photon identisch.<ref>{{Literatur |Autor=[[Eugene P. Wigner]] |Titel=On hidden variables and quantum mechanical probabilities |Sammelwerk=[[Journal of Physics|J. Phys.]] |Band=38 |Nummer=1005 |Datum=1970 |DOI=10.1119/1.1976526}}</ref>

Für diesen Absatz sollen anschauliche Codeworte die mathematischen Zeichen ersetzen: groß/klein statt <math>\mathbf a_h,\, \mathbf a_v</math>, blond/dunkel für <math>\mathbf b_h,\,\mathbf b_v</math> und Frau/Mann für <math>\mathbf c_h,\,\mathbf c_v</math>. Bezüglich jeder dieser drei Eigenschaften bilden Alices und Bobs Photonen je ein Paar von identischen Zwillingen. Beide sind zum Beispiel groß, blond und weiblich. Jedes der beiden Photonen lässt sich nur in einer Messrichtung testen. Jede Messung ermittelt also entweder die Größe oder die Haarfarbe oder das Geschlecht eines Zwillings. Wenn nun Alice ihrem Photon eine und Bob seinem Photon eine andere Frage stellt, erfahren sie zwei der drei Eigenschaften des Paares. Damit lässt sich eine einfache kombinatorische Feststellung treffen: Unter den insgesamt von Alice und Bob vermessenen Photonen-Zwillingen ist die Anzahl der großen blonden Zwillinge gleich der Anzahl der großen blonden Männer plus der Anzahl der großen blonden Frauen. Lässt man für beide Gruppen jeweils eine der drei einschränkenden Eigenschaften (groß oder nicht, blond oder nicht, Frau oder nicht) weg, so bleiben die gefundenen Anzahlen entweder gleich oder werden größer. Die Anzahl der großen Blonden ist also kleiner oder gleich der Anzahl an blonden Männern plus der Anzahl an großen Frauen. Mit dem Zeichen <math>N</math> für ''Anzahl'' und zurückübersetzt in die Formelzeichen ist das die hier passende Variante der Bellschen Ungleichung:
:<math>N(\mathbf a_h,\mathbf b_h) \leq N(\mathbf b_h,\mathbf c_v) + N(\mathbf a_h,\mathbf c_h).</math>
Diese Ungleichung müssen die Messwerte des beschriebenen Experiments also erfüllen, wenn das Polarisationsverhalten verschränkter Photonen auf lokalen verborgenen Variablen beruht.

== Verletzung der Ungleichung in der Quantentheorie ==
Da Alice und Bob unabhängig voneinander die drei Orientierungen der Filter jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit (=&nbsp;1/3) verwenden, wird jede der Kombinationen <math>\mathbf a/\mathbf b,\,\mathbf b/\mathbf c,\,\mathbf a/\mathbf c</math> mit geringen Fehlern in gleicher Häufigkeit <math>N_T</math> getestet, wenn die Gesamtzahl der Messungen hinreichend groß ist. Mit wachsender Zahl von Messungen nähern sich ferner die Quotienten <math>N(\mathbf a_h,\mathbf b_h)/N_T</math> etc. nach der Formel (Anzahl Erfolge)/(Anzahl Versuche) beliebig genau der jeweiligen Wahrscheinlichkeit <math>W(\mathbf a_h,\mathbf b_h)</math> etc. Damit nimmt die Ungleichung die Form
:<math>W(\mathbf a_h,\mathbf b_h) \leq W(\mathbf b_h,\mathbf c_v) + W(\mathbf a_h,\mathbf c_h)</math>
an.

Für die quantentheoretisch berechnete Wahrscheinlichkeit für ein Paar von Messergebnissen an den zwei hier betrachteten Photonen ist es nun egal, ob im Experiment zwei Photonen eines speziell verschränkten Zustands mit zwei Filtern verwendet werden oder ein einzelnes Photon nach zwei hintereinander geschalteten Polarisationsfiltern nachgewiesen wird. Für die Rechnung ist der Fall eines einzelnen Photons hinter zwei Filtern aber leichter zu beschreiben und soll nun gezeigt werden.

Ein einzelnes linear polarisiertes Photon kann an einem [[Polarisationsfilter]] <math>\mathbf a</math> entweder transmittiert oder reflektiert werden. Die zugehörige [[Observable]] der Polarisation besitzt damit genau zwei Eigenzustände, die im Folgenden mit <math>|t\rangle</math> und <math>|r\rangle</math> bezeichnet werden können. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgerichtetes Photon an diesem Filter transmittiert wird, beträgt

:<math>W(\mathbf a_h) = 0{,}5.</math>

Ein transmittiertes Photon wird an einem zweiten um 90° gedrehten Polarisationsfilter <math>\mathbf b</math> immer reflektiert. Wird der zweite Polarisationsfilter dagegen um einen Winkel <math>\theta</math> gedreht, so kann der Zustand des ursprünglich transmittierten Photons als [[Superposition (Physik)|Superposition]] der beiden genannten Eigenzustände beschrieben werden:<ref>Kris Heyde, John L. Wood:
[https://iopscience.iop.org/book/978-0-7503-2179-2/chapter/bk978-0-7503-2179-2ch1 ''Quantum Mechanics for Nuclear Structure, Volume 1. Chapter 1: A theory of polarized photons.''] In: ''iopscience.IOP.org.'' [[Institute of Physics]], 2019, abgerufen am 16.&nbsp;Juni 2024.</ref>
:<math>|\theta \rangle = \cos \theta \;|t \rangle + \sin \theta \;|r \rangle</math>
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Photon am zweiten Polarisationsfilter transmittiert wird, berechnet sich nun gemäß der [[Bornsche Regel|bornschen Regel]] und in Übereinstimmung mit dem klassisch begründeten [[Gesetz von Malus]] gemäß
:<math>W(\mathbf b_h) = \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf b).</math>
Das Photon wird entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit
:<math>W(\mathbf b_v) = \sin^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf b)</math>
reflektiert.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein einzelnes unpolarisiertes Photon an beiden Polarisationsfiltern transmittiert wird, ist also
:<math>W(\mathbf a_h,\mathbf b_h) = W(\mathbf a_h) \cdot W(\mathbf b_h) = 0{,}5 \cdot \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf b)</math>

Damit können nun wiederum alle benötigten Terme der Bellschen Ungleichung berechnet werden.

Es gilt <math>W(\mathbf a_h,\mathbf b_h) = 0{,}5 \cdot \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf b)</math> und <math>W(\mathbf a_h,\mathbf c_h) = 0{,}5 \cdot \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf c)</math>. Dagegen ist <math>W(\mathbf b_h,\mathbf c_v) = 0{,}5 \cdot \sin^2\!\!\angle(\mathbf b,\mathbf c)</math>, denn <math>\mathbf c_v</math> bedeutet, dass das Photon reflektiert wurde.

Insgesamt ergibt sich
:<math>0{,}5 \cdot \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf b)\,\,\leq\,\,0{,}5\cdot\sin^2\!\!\angle(\mathbf b,\mathbf c)
+ 0{,}5\cdot\cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf c)</math>
:<math>\Leftrightarrow \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf b)\,\,\leq\,\,\sin^2\!\!\angle(\mathbf b,\mathbf c)
+ \cos^2\!\!\angle(\mathbf a,\mathbf c)</math>.

Tatsächlich gilt dies nun aber nicht für beliebige <math>\mathbf a,\,\mathbf b,\,\mathbf c</math>. Wählt man <math>\angle(\mathbf a,\mathbf b) = \angle(\mathbf b,\mathbf c) = \pi/6 = 30^\circ</math>, <math>\angle(\mathbf a,\mathbf c) = \pi/3 = 60^\circ</math> mit <math>\cos^2(\pi/6) = 3/4,\,\sin^2(\pi/6) = \cos^2(\pi/3) = 1/4</math>, so ergibt sich
:<math>\frac34\,\,\le\,\,\frac14 + \frac14,</math>
was offenbar falsch ist.

Gemäß der Quantentheorie gilt die Bellsche Ungleichung also nicht immer.

== Experimentelle Untersuchungen ==
=== Anforderungen ===
Um die Verletzung der Bellschen Ungleichung nachzuweisen, muss ein Experiment folgende Anforderungen erfüllen:<ref name="Kofler15" />

# Die Messungen an den beiden Photonen jedes Paares müssen [[raumartig]] voneinander getrennt sein: Es muss ausgeschlossen sein, dass die Wahl der einen Messrichtung bei der Wahl der anderen bekannt ist. Dies wurde erstmals von [[Gregor Weihs]] und Mitarbeitern in der Gruppe von [[Anton Zeilinger]] sichergestellt,<ref name="Weihs98" /><ref group="A">Ein früheres, sehr einflussreiches Experiment von [[Alain Aspect]] und Mitarbeitern (Aspect et al. 1982) ''änderte'' zwar die Einstellung der Messungen schnell genug für raumartige Trennung, allerdings folgte die Änderung an beiden Detektoren je einem deterministischen (periodischen) Prozess und war damit im Prinzip vorhersagbar, sodass das Schlupfloch nicht strikt geschlossen wurde.</ref> indem die Richtungen erst so spät zufällig gewählt wurden, dass man von dieser Wahl selbst mit lichtschnellen Signalen bei der anderen Messung noch nichts wissen konnte. Es darf also kein ''Lokalitätsschlupfloch'' bezüglich unterlichtschneller oder lichtschneller Signale geben.
# Bei den Photonexperimenten gibt es aber noch ein zweites Problem: Jeder Photodetektor weist nur einen Bruchteil der Photonen nach (im Experiment von Weihs nur 5 Prozent). Man muss zusätzlich annehmen, dass die nicht nachgewiesenen Photonen dieselben Eigenschaften wie die nachgewiesenen haben. Das ist das sogenannte ''Nachweis-'' oder ''[[Repräsentativität|Fair-Sampling]]-Schlupfloch''. Es wird beim Experiment von Rowe geschlossen.<ref name="Rowe01" />
# Ein drittes Schlupfloch, das erst spät identifiziert wurde, ist das ''Wahlfreiheitsschlupfloch''. Es bezieht sich darauf, dass bei der Ableitung der Bellschen Ungleichung angenommen wird, dass die Einstellungen der Detektoren bei jeder Messung unabhängig voneinander und unabhängig von möglichen verborgenen Variablen gewählt werden können. Falls dagegen die verborgenen Variablen auch die Detektoreinstellungen vorherbestimmen, lässt sich leicht ein lokal-realistisches Modell mit Verletzung der Bellschen Ungleichung konstruieren.<ref name="Kofler15" /> Strenggenommen lässt sich dieses Schlupfloch nicht schließen, da man „Superdeterminismus“ (die Annahme, dass alles von Anfang an vorherbestimmt ist) nicht ausschließen kann. Stattdessen versucht man, den Zeitpunkt, zu dem diese Vorherbestimmung stattgefunden haben müsste, immer weiter hinauszuschieben. Die bisher erreichte Grenze liegt bei 7,8 Milliarden Jahren.<ref>{{Literatur |Autor=D. Rauch, J. Handsteiner et al. |Titel=Cosmic Bell Test using Random Measurement Settings from High-Redshift Quasars |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=121 |Datum=2018 |Seiten=080403 |arXiv=1808.05966}}</ref>
# Gelegentlich werden noch weitere, technische Schlupflöcher (wie das ''Koinzidenz-Schlupfloch'' oder das ''Speicher-Schlupfloch'') diskutiert,<ref name="Kofler15" /> die sich aber durch geeignete Bestimmung des Zeitfensters bei der Detektion und Auswahl der statistischen Auswertungsmethoden schließen lassen.

=== Experimente zum Test der Bellschen Ungleichung ===
{{Hauptartikel|Bell-Test}}
Seit Ende der 1960er-Jahre wurden Experimente durchgeführt, um die Verletzung einer Bellschen Ungleichung nachzuweisen:

* C. A. Kocher und [[Eugene Commins]] (1967) beobachteten Korrelationen in Photonenpaaren, die von angeregten Kalziumatomen ausgesandt werden.<ref>{{Literatur |Autor=C. A. Kocher, E. D. Commins |Titel=Polarization Correlation of Photons Emitted in an Atomic Cascade |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=18 |Nummer=15 |Datum=1967 |Seiten=575–577 |DOI=10.1103/PhysRevLett.18.575}}</ref>
* [[Stuart J. Freedman]] und [[John Clauser]] (1972) benutzten diesen Prozess, um eine erste Verletzung einer Bellschen Ungleichung zu demonstrieren.<ref name="FC72" />
* [[Alain Aspect|Aspect]], [[Jean Dalibard|Dalibard]] und [[Gérard Roger|Roger]] (1982) benutzten einen anderen Prozess im Kalziumatom, der höhere Zählraten und dadurch eine signifikantere Verletzung ergab. Außerdem waren beide Polarisationsfilter 12&nbsp;m entfernt, und die Wahl ihrer Messrichtungen erfolgte durch zwei unabhängige, aber deterministische Prozesse zu von der Messung (am jeweils anderen Dektektor) raumartig getrennten (d.&nbsp;h. kausal nicht verbundenen) Zeitpunkten.<ref name="Aspect82">{{Literatur |Autor=Alain Aspect, Jean Dalibard, Gérard Roger |Titel=Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analyzers |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=49 |Nummer=25 |Datum=1982 |Seiten=1804-1807 |DOI=10.1103/PhysRevLett.49.1804}}</ref>
* [[Anton Zeilinger]] und Mitarbeiter (1998) benutzten polarisationsverschränkte Photonen, die durch spontane parametrische Fluoreszenz erzeugt worden waren. Die Polarisationsfilter waren 400&nbsp;m entfernt, und die Polarisationsrichtung wurde mittels unabhängiger physikalischer [[Zufallszahlengenerator]]en so kurz vor der Messung festgelegt, dass eine Informationsübertragung über die Messrichtung wegen der endlichen Lichtgeschwindigkeit nicht möglich war.<ref name="Weihs98">{{Literatur |Autor=[[Gregor Weihs]], [[Thomas Jennewein]], [[Christoph Simon]], [[Harald Weinfurter]], [[Anton Zeilinger]] |Titel=Violation of Bell’s Inequality under Strict Einstein Locality Conditions |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=81 |Nummer=23 |Datum=1998 |Seiten=5039-5043 |arXiv=quant-ph/9810080v1 |DOI=10.1103/PhysRevLett.81.5039}}</ref>
* [[David Wineland]] und Mitarbeitern (2001) demonstrieren eine Verletzung der Ungleichung anhand von Messungen an Ionen in einer Falle. Dabei konnten alle Ereignisse detektiert werden (siehe: [[#Anforderungen|Anforderungen an das Experiment]]).<ref name="Rowe01">{{Literatur |Autor=M. A. Rowe, D. Kielpinski, V. Meyer, C. A. Sackett, W. M. Itano, C. Monroe, D. J. Wineland |Titel=Experimental violation of a Bell’s inequality with efficient detection |Sammelwerk=Nature |Band=409 |Nummer=6822 |Datum=2001 |Seiten=791–4 |DOI=10.1038/35057215}}</ref>
* [[Ronald Hanson]] und Mitarbeitern (August 2015)<ref name="Hensen15">{{Literatur |Autor=B. Hensen, H. Bernien, R. Hanson et al. |Titel=Experimental loophole-free violation of a Bell inequality using entangled electron spins separated by 1.3 km |Sammelwerk=Nature |Band=526 |Datum=2015 |Seiten=682–686 |arXiv=1508.05949}}</ref> und kurz darauf Zeilinger et al.<ref name="Giustina15">{{Literatur |Autor=M. Giustina, M. A. M. Versteegh, A. Zeilinger et al. |Titel=Significant-Loophole-Free Test of Bell’s Theorem with Entangled Photons |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=115 |Datum=2015 |Seiten=250401 |arXiv=1511.03190}}</ref> und [[Sae Woo Nam]] et al.<ref name="Shalm15">{{Literatur |Autor=L. K. Shalm, E. Meyer-Scott, Sae Woo Nam et al. |Titel=Strong Loophole-Free Test of Local Realism |Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. |Band=115 |Datum=2015 |Seiten=250402 |arXiv=1511.03189}}</ref> (beide November 2015) schlossen in ihren Experimenten gleichzeitig das Locality- und das Fair-sampling-Schlupfloch<ref name="Kofler15">{{Literatur |Autor=Johannes Kofler |Titel=Endspiel für den lokalen Realismus |Sammelwerk=[[Physik in unserer Zeit]] |Band=46 |Nummer=6 |Datum=2015 |Seiten=288 |Sprache=de |DOI=10.1002/piuz.201501412}}</ref> und gestatten keine „Schlupfloch-Interpretationen“ mit ihren extrem kleinen p-Werten mehr.<ref>{{Literatur |Autor=O. Gühne |Titel=Keine Ausreden mehr |Sammelwerk=[[Physik Journal]] |Band=15 |Nummer=2 |Datum=2016 |Seiten=18–19 |Sprache=de |Online=https://pro-physik.de/zeitschriften/download/12105 |Format=PDF |Abruf=2026-04-05 }}</ref> Hanson, Sae Woo Nam und Zeilinger erhielten dafür 2017 den [[John Stewart Bell Prize]].
* Weitere Tests wurden an einem weiterentwickelten Experiment, basierend auf dem Gedankenexperiment [[Wigners Freund#Weiterentwicklung des Experiments|„Wigners Freund“]] (2020) durchgeführt.<ref name="SA-20200817">{{cite news |last=Merali |first=Zeeya |url=https://www.scientificamerican.com/article/this-twist-on-schroedingers-cat-paradox-has-major-implications-for-quantum-theory/ |title=This Twist on Schrödinger’s Cat Paradox Has Major Implications for Quantum Theory. A laboratory demonstration of the classic „Wigner’s friend“ thought experiment could overturn cherished assumptions about reality |work=[[Scientific American|ScientificAmerican.com]] |date=2020-08-17 |accessdate=2024-06-16}}.</ref><ref name="SM-20200817">{{cite news |last=Musser |first=George |url=https://www.sciencemag.org/news/2020/08/quantum-paradox-points-shaky-foundations-reality |title=Quantum paradox points to shaky foundations of reality |work=[[Science]] |language=en |date=2020-08-17 |accessdate=2024-06-16}}</ref><ref name="NAT-20200817">{{cite journal |author=Kok-Wei Bong et al. |url=https://www.nature.com/articles/s41567-020-0990-x |title=A strong no-go theorem on the Wigner’s friend paradox |date=2020-08-17 |journal=[[Nature Physics]] |volume=27 |language=en |doi=10.1038/s41567-020-0990-x |accessdate=2024-06-16}}</ref>

Die Resultate der jeweiligen Experimente zeigen explizit, dass die bellsche Ungleichung verletzt ist. Sie zeigen auch, dass die relevante Physik der beteiligten Quantenphänomene entweder in einem superdeterministischen Universum stattfindet oder ''nicht lokal'' oder ''nicht-realistisch'' ist. In Anerkennung ihrer Beiträge zum Nachweis der Verletzung der bellschen Ungleichung erhielten Alain Aspect, John Clauser und Anton Zeilinger im Jahr 2022 den [[Nobelpreis für Physik|Physiknobelpreis]].

=== Folgerungen ===
Die Bellsche Ungleichung folgt aus Einsteins Postulaten und ist mit experimentellen Befunden nicht vereinbar. Nach der [[Kopenhagener Interpretation|Kopenhagener Deutung]], die unter Physikern vorherrscht, kann die Quantenmechanik die Ergebnisse einzelner Messungen nicht vorhersagen, sondern nur Wahrscheinlichkeiten angeben. Daher liegt es nahe, Einsteins Postulate, insbesondere die Vorstellung ''verborgener Variablen'', aufzugeben und hinzunehmen, dass die Wellenfunktion nur die ''Wahrscheinlichkeit'' der Messwerte festlegt, nicht aber, welcher Messwert in jedem Einzelfall auftritt. Nach der Kopenhagener Deutung ist die Quantenmechanik ''nicht-real'', im Gegensatz zu den Vorstellungen von Einstein, Podolski und Rosen (siehe [[Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon]]), weil eine Messung nicht einfach eine Eigenschaft ''abliest'', sondern ''feststellt'' (präziser: ''herstellt''), was zuvor nicht feststand. Und die Quantenmechanik ist ''nicht-lokal'', weil sich der quantenmechanische Zustand des Photonenpaares über beide Messplätze erstreckt.

In ihrer Kopenhagener Deutung genügt die Quantenmechanik also ''nicht'' Einsteins Forderungen an eine vollständige, reale und lokale Beschreibung der Physik. Dies hatte Albert Einstein erkannt und bemängelt. Aber er irrte in der Annahme, die Quantenmechanik könne durch Hinzufügen ''verborgener Variablen'' real und lokal zugleich werden.

Man kann allerdings die [[Lokalität (Physik)|Lokalität]] aufgeben und trotzdem an der Realität festhalten, wie beispielsweise in der [[De-Broglie-Bohm-Theorie]]. David Bohm deutet die Wellenfunktion als nicht-lokales Führungsfeld klassischer Teilchen, sodass u.&nbsp;a. das Erklärungsdilemma zur Problematik Welle-Teilchen-Dualismus entfällt sowie die Problematik der Beeinflussung durch den Messvorgang. Daher hatte auch John S.&nbsp;Bell die Bohmsche Theorie aufgrund ihrer größeren Einfachheit und Widerspruchsfreiheit bezüglich des Welle-Teilchen-Dualismus befürwortet.<ref>John S. Bell: [https://informationphilosopher.com/solutions/scientists/bell/Impossible_Pilot_Wave.pdf ''On the Impossible Pilot Wave.''] In: ''InformationPhilosopher.com,'' abgerufen am 16.&nbsp;Juni 2024. Foundations of Physics, 12 (10), 1982, S. 989–999; darin S.&nbsp;997.</ref>

== Verwandtes ==
Die CHSH-Ungleichung (1969 von John Clauser, Michael Horne, [[Abner Shimony]] und Richard Holt entwickelt)<ref>{{Literatur |Autor=J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt |Titel=Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=23 |Nummer=15 |Datum=1969 |Seiten=880–884 |DOI=10.1103/PhysRevLett.23.880}}</ref> ist ähnlich der Bellschen Ungleichung. Sie betrachtet jedoch nicht Häufigkeiten von Teilchen, sondern beliebige [[Observable]]. Sie lässt sich ebenfalls aus dem Konzept des lokalen Realismus herleiten und wird auch nach den Vorhersagen der Quantenmechanik und experimentell verletzt.

[[Daniel Mordechai Greenberger|Greenberger]], [[Michael Horne|Horne]] und [[Anton Zeilinger|Zeilinger]] beschrieben 1989 einen Versuchsaufbau, das [[GHZ-Experiment]] mit drei Beobachtern und drei Elektronen, um mit einer einzigen Gruppe von Messungen die Quantenmechanik von einer quasi-klassischen Theorie mit verborgenen Variablen zu unterscheiden.<ref>{{Literatur |Autor=M. Kafatos |Titel=Bell’s Theorem, Quantum Theory and Conceptions of the Universe |Auflage=2 |Verlag=Springer-Verlag GmbH |Datum=1989 |ISBN=0-7923-0496-9}}</ref>

L. Hardy untersuchte 1993 eine Situation, mit der theoretisch Nicht-Lokalität gezeigt werden kann.

Die Experimente zur Verletzung der Bellschen Ungleichung lassen offen, ob (wie in der ''Kopenhagener Interpretation'') neben der Annahme der Lokalität auch die Annahme einer „objektiven Realität“ aufgegeben werden muss. [[Anthony James Leggett|Leggett]] formulierte 2003 eine Ungleichung, die unabhängig von der Annahme der Lokalität gilt und die Annahme objektiver Realität zu überprüfen erlauben soll.<ref name="Leggett2003">{{Literatur |Autor=A. J. Leggett |Titel=Nonlocal Hidden-Variable Theories and Quantum Mechanics: An Incompatibility Theorem |Sammelwerk=Foundations of Physics |Band=33 |Nummer=10 |Datum=2003 |Seiten=1469–1493 |DOI=10.1023/A:1026096313729}}</ref> Aktuelle Experimente von Gröblacher et al. deuten darauf hin, dass die leggettsche Ungleichung verletzt wird.<ref name="Gröblacher2006">Simon Gröblacher, Tomasz Paterek, Rainer Kaltenbaek, Caslav Brukner, Marek Zukowski, Markus Aspelmeyer, [[Anton Zeilinger]]: ''An experimental test of non-local realism.'' In: ''Nature.'' 446, Nr. 7138, 2007, S. 871–875. ([[doi:10.1038/nature05677]], {{arXiv|0704.2529}}).</ref> Die Deutung der Ergebnisse ist jedoch strittig.<ref>{{Literatur |Autor=Alain Aspect |Titel=To be or not to be local |Sammelwerk=Nature |Band=446 |Nummer=7137 |Datum=2006 |Seiten=866 |DOI=10.1038/446866a}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=[[Ulf von Rauchhaupt]] |url=http://www.faz.net/aktuell/wissen/physik-chemie/weltbild-der-physik-die-wirklichkeit-die-es-nicht-gibt-1436113.html |titel=Weltbild der Physik: Die Wirklichkeit, die es nicht gibt |werk=[[FAZ]].net |datum=2007-04-22 |abruf=2024-06-16 |kommentar=Zitat von Tim Maudlin}}</ref>

== Sonstiges ==
2001 veröffentlichten [[Karl Hess (Physiker)|Karl Hess]] und der Mathematiker [[Walter Philipp]] Aufsätze, in denen sie auf ein mögliches Schlupfloch im Bellschen Theorem hinwiesen.<ref>{{Literatur |Autor=[[Karl Hess (Physiker)|Karl Hess]], [[Walter Philipp]] |Titel=A possible loophole in the theorem of Bell |Sammelwerk=[[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|Proc. Nat. Acad. Sci. (PNAS)]] |Band=98 |Datum=2001 |Seiten=14224–14227 |DOI=10.1073/pnas.251524998}}<br />
{{Literatur |Autor=Karl Hess, Walter Philipp |Titel=Bell’s theorem and the problem of decidability between the views of Einstein and Bohr |Sammelwerk=PNAS |Band=98 |Datum=2001 |Seiten=14228–14233 |DOI=10.1073/pnas.251525098}}<br />
{{Literatur |Autor=Karl Hess, Walter Philipp |Titel=Breakdown of Bell’s theorem for certain objective local parameter spaces |Sammelwerk=PNAS Science |Band=101 |Datum=2004 |Seiten=1799 |DOI=10.1073/pnas.0307479100}}</ref> Ihr Argument und ihr Modell ist von Zeilinger und anderen kritisiert worden.<ref>{{Literatur |Autor=Richard D. Gill, Gregor Weihs, Anton Zeilinger, Marek Zukowski |Titel=No time loophole in Bell’s theorem; the Hess-Philipp model is non-local |Sammelwerk=ONAS |Band=99 |Datum=2002 |arXiv=quant-ph/0208187}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Kochen-Specker-Theorem]]
* [[Verborgene Variablen]]
* [[Quantenmechanische Messung]]
* [[Interpretationen der Quantenmechanik]]

== Literatur ==
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* J. S. Bell: ''Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics.'' 2. Aufl., Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 978-0-521-52338-7. Mit einer Einführung von Alain Aspect, bündelt Bells Originalaufsätze, dt. Übersetzung: ''Quantenmechanik, Sechs mögliche Welten und weitere Artikel.'' de Gruyter, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-044790-3.
* L. Hardy: ''Nonlocality for 2 particles without inequalities for almost all entangled states.'' In: ''Physical Review Letters.'' 71, Nr. 11, 1993, S. 1665–1668 ([[doi:10.1103/PhysRevLett.71.1665]]).
* A. Aspect: {{Webarchiv |url=http://www-ece.rice.edu/~kono/ELEC565/Aspect_Nature.pdf |text=''Bell’s inequality test: more ideal than ever.'' |wayback=20060614200300}}. In: ''Nature.'' 398, Nr. 6724, 1999, S. 189–190 ([[doi:10.1038/18296]]).
* James T. Cushing (Hrsg.): ''Philosophical consequences of quantum theory: reflections on Bell’s theorem.'' Univ. of Notre Dame Press, Notre Dame, Ind. 1989, ISBN 0-268-01578-3.
* Michael Redhead: ''Incompleteness, nonlocality and realism a prolegomenon to the philosophy of quantum mechanics.'' Clarendon Pr., Oxford 1987, ISBN 0-19-824937-3.
* M. Kafatos (Hrsg.): ''Bell’s Theorem. Quantum Theory and Conceptions of the Universe.'' Kluwer, Dordrecht-Boston-London 1989, ISBN 0-7923-0496-9.
* T. Maudlin: ''Quantum Non-Locality and Relativity''. Blackwell, Oxford U.&nbsp;K. and Cambridge MA, 1993, ISBN 0-631-18609-3.
* A. Peres: ''All the Bell inequalities.'' In: ''Foundations of Physics'' 29 (1999), S. 589–614, (Preprint: {{arXiv|quant-ph/9807017}}).
* A. Ekert: {{Webarchiv |url=http://www.arturekert.org/miscellaneous/lessreality.pdf |text=''Less Reality, More Security.'' |wayback=20180626001601}}. In: ''Physics World,'' September 2009, S. 29–32.
* Hess, K. A: ''Critical Review of Works Pertinent to the Einstein-Bohr Debate and Bell’s Theorem''. Symmetry 2022, 14, 163. https://doi.org/10.3390/sym14010163.

;Lehrbuchdarstellung:
* J. J. Sakurai: ''Modern Quantum Mechanics.'' 2. Auflage, Addison-Wesley, 1993, ISBN 0-201-53929-2, S. 174–187, 223–232.

== Weblinks ==
* [http://www.quantumlab.de/ ''Bellsche Ungleichung mit verschränkten Photonen am interaktiven Experiment.''] Uni Erlangen, 2009.
* Thomas Hausmaninger: [http://thomas.hausmaninger.at/fba.htm ''Polarisierte Photonen.''] Enthält eine Gültigkeitsdiskussion der Bellschen Ungleichung.
* Amos Drobisch: [https://web.archive.org/web/20160514015319/http://llp.ilt.fhg.de/skripten/hausarbeit_drobisch.pdf ''Das EPR-Gedankenexperiment, die Bellsche Ungleichung und der experimentelle Nachweis von Quantenkorrelationen.''] (PDF; 2,9&nbsp;MB), RWTH Aachen, 2009.
* Franz Embacher: [http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Quantentheorie/EPR/ ''EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung.''] Ms. Wien, 2000.
* Norbert Dragon: [https://www.itp.uni-hannover.de/fileadmin/arbeitsgruppen/dragon/qm.pdf ''Anmerkungen zur Quantenmechanik.''] (PDF; 1,1&nbsp;MB). Das Skript enthält eine ausführliche Herleitung der Bellschen Ungleichung für Spin-Messungen an Elektronpaaren.
* {{IEP|http://www.iep.utm.edu/e/epr.htm|The Einstein-Podolsky-Rosen Argument and the Bell Inequalities|László E. Szabó}}
* John Bell: [http://cdsweb.cern.ch/record/1049544/ ''Indeterminism and Nonlocality.''] (Englischsprachiges Video, 1990).
* [https://www.pro-physik.de/nachrichten/heute-messen-morgen-entscheiden ''Heute messen, morgen entscheiden.''] In: ''pro-physik.de'' vom 1. November 2012.
* {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/bell-theorem/|Bell’s Theorem|[[Abner Shimony]]}}.

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

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[[Kategorie:Quanteninformatik]]
[[Kategorie:Ungleichung]]