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'''Banachalgebren''' (nach [[Stefan Banach]]) sind mathematische Objekte der [[Funktionalanalysis]], die einige bekannte [[Funktionenraum|Funktionenräume]] und [[Operatoralgebra|Operatorenalgebren]] anhand wesentlicher gemeinsamer Eigenschaften verallgemeinern, z.&nbsp;B. Räume [[Stetige Funktion|stetiger]] oder [[Integrierbare Funktion|integrierbarer]] Funktionen oder Algebren stetiger [[Linearer Operator|linearer Operatoren]] auf [[Banachraum|Banachräumen]].

Eine Banachalgebra ist ein [[Vektorraum]], in dem zusätzlich auch eine Multiplikation und eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] so definiert sind, dass gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind.

== Definition ==
Ein [[Vektorraum]] <math>(\mathcal{A},+)</math> über dem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math> \mathbb K = \R </math> oder <math>\Complex</math> der [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] mit einer [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math> \left\| \cdot  \right\| </math> und einem [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] <math> \circ\colon \mathcal{A} \times \mathcal{A} \to \mathcal{A} </math> ist eine Banachalgebra, wenn gilt:
* <math> ( \mathcal{A},+, \left\| \cdot  \right\| ) </math> ist ein [[Banachraum]], also ein [[Vollständiger Raum|vollständiger]] [[Normierter Raum|normierter Vektorraum]],
* <math> ( \mathcal{A},+, \circ ) </math> ist eine assoziative <math>\mathbb K</math>-[[Algebra (Struktur)|Algebra]],
* <math> \|A \circ B\| \le \|A\|\cdot\|B\| </math> für alle <math>A,B\in \mathcal{A}</math>, d.&nbsp;h. die Norm ist [[Submultiplikativität|submultiplikativ]].
Wie auch in der Algebra allgemein üblich wird das Symbol für das Produkt gern weggelassen, nur im Falle der [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] wird oft das Symbol <math>*</math> oder <math>\star</math> verwendet.
Verlangt man von <math> ( \mathcal{A},+, \left\| \cdot  \right\| ) </math> nur, dass es sich um einen normierten Raum handelt, das heißt, man verzichtet auf die Vollständigkeit, so erhält man den allgemeineren Begriff der [[Normierte Algebra|normierten Algebra]].

== Spezielle Klassen von Banachalgebren ==
=== Banach-*-Algebra oder involutive Banachalgebra ===
Eine Banach-*-Algebra <math>\mathcal{A}</math> (über <math>\Complex</math>) ist eine Banachalgebra über <math>\Complex</math> zusammen mit einer [[Involution (Mathematik)|Involution]] <math>^* \colon \mathcal{A}\to\mathcal{A},\, a\mapsto a^*</math>, so dass
{| style="height:5em;"
|-
|
* <math>\forall a\in \mathcal{A}:(a^*)^*=a</math>
||(involutiv)
|-
|
* <math>\forall a,b\in \mathcal{A}:(ab)^*=b^* a^*</math>
||(anti-multiplikativ)
|-
|
* <math>\forall a,b\in \mathcal{A}: \forall z,w\in \Complex:(za+wb)^*=\bar z a^* +\bar w b^*</math> &nbsp; &nbsp;
||(semilinear, anti-linear oder [[Komplexe Zahl#Komplexe Konjugation|konjugiert]] linear)
|-
|
* <math>\forall a\in \mathcal{A}: \|a\|=\|a^*\|</math>
||(isometrisch)
|}

In anderen Worten, eine Banach-*-Algebra ist eine Banachalgebra und zugleich eine *-Algebra mit einer isometrischen Involution. Manche Autoren lassen die Bedingung der Isometrie fort und sprechen dann gegebenenfalls von einer ''Banach-*-Algebra mit isometrischer Involution''. Die meisten in natürlicher Weise auftretenden Involutionen auf Banachalgebren sind allerdings isometrisch.

=== C*-Algebren und Von-Neumann-Algebren ===
{{Hauptartikel|C*-Algebra|Von-Neumann-Algebra}}
Die Banachalgebra <math>B(H)</math> der stetigen [[Linearer Operator|linearen Operatoren]] über einem [[Hilbertraum]] <math>H</math> motiviert die folgende Definition:
Eine Banachalgebra <math>\mathcal{A}</math>, auf der zusätzlich eine semilineare antimultiplikative Involution <math>*\colon\mathcal{A} \to \mathcal{A}, x\mapsto x^*</math> gegeben ist, heißt [[C*-Algebra]], wenn die sogenannte C*-Bedingung erfüllt ist:
* <math>\|x^*x\| = \|x\|^2</math> für alle <math>x \in \mathcal{A}</math>
Solche Banachalgebren lassen sich auf [[Hilbertraum-Darstellung|Hilberträumen darstellen]]. Sind diese dann in einer gewissen Topologie in der [[Operatoralgebra|Operatorenalgebra]] über dem Hilbertraum [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]], so nennt man sie [[Von-Neumann-Algebra|Von-Neumann-Algebren]].

== Beispiele ==
* Jeder Banachraum wird mit der Null-Multiplikation, d.&nbsp;h. <math>xy</math>=0 für alle Elemente <math>x,y</math> des Banachraums, zu einer Banachalgebra.

* Sei <math>K</math> ein [[kompakter Raum]] und <math>{\mathcal C}(K)</math> der Raum der stetigen Funktionen <math>f\colon K\to \Complex</math>. Mit den punktweisen Operationen und der durch <math>f^*(x) := \overline{f(x)}</math> ([[komplexe Konjugation]]) definierten Involution und der Supremumsnorm <math>\|f\| := \sup_{x\in K}|f(x)|</math> wird <math>{\mathcal C}(K)</math> zu einer kommutativen C<sup>*</sup>-Algebra. Ebenso lassen sich der Raum der [[Beschränkte Funktion|beschränkten]] [[Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]] auf einem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] (was mittels der [[Stone-Čech-Kompaktifizierung]] gleichwertig ist) oder der Raum der [[C0-Funktion|C<sub>0</sub>-Funktionen]], der stetigen Funktionen auf einem [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakten Raum]], die im Unendlichen verschwinden, betrachten.

* Sei <math>D</math> der Einheitskreis in <math>\Complex</math>. Es sei <math>A(D)</math> die Algebra mit stetigen Funktionen <math>f\colon D\to \Complex</math>, die im [[Innerer Punkt|Inneren]] von D [[Holomorphie|holomorph]] sind. Mit den punktweisen Operationen und der durch <math>f^*(z) := \overline{f(\overline{z})}</math> ([[komplexe Konjugation]]) definierten Involution und der Supremumsnorm wird <math>A(D)</math> zu einer kommutativen Banach-*-Algebra, die keine C<sup>*</sup>-Algebra ist. Diese Banachalgebra nennt man auch die [[Diskalgebra]].

* Ist <math>V</math> ein Banachraum, so ist die Algebra <math>B(V)</math> der stetigen, [[Linearer Operator|linearen Operatoren]] auf <math>V</math> eine Banachalgebra, die im Falle <math>\dim V>1</math> nicht kommutativ ist. Ist <math>V</math> ein [[Hilbertraum]], so ist <math>B(V)</math> eine C<sup>*</sup>-Algebra.

* Die [[Spurklasse]] und die [[Hilbert-Schmidt-Klasse]], oder allgemeiner die [[Schatten-Klasse]]n, sind Beispiele für nicht-kommutative Banach-*-Algebren, die keine C<sup>*</sup>-Algebren sind.

* In der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analyse]] werden die Banach-*-Algebren <math>L^1(G)</math>, das heißt die [[Faltung (Mathematik)|Faltungsalgebren]] über einer [[Lokalkompakte Gruppe|lokalkompakten Gruppe]] <math>G</math> betrachtet.

* [[H*-Algebra|H*-Algebren]] sind involutive Banachalgebren, die gleichzeitig Hilberträume sind, zusammen mit einer Zusatzbedingung, die die Involution mit der Hilbertraumstruktur verknüpft.

== Grundlagen ==
Es werden einige Grundlagen der Theorie der Banachalgebren besprochen, die ein Zusammenspiel zwischen algebraischen und topologischen Eigenschaften zeigen.

=== Das Einselement ===
Viele der oben genannten Beispiele sind Banachalgebren ohne ein [[Einselement]].
Wird dennoch ein Einselement benötigt, so kann man eines [[Adjunktion (Einselement)|adjungieren]].
In vielen Fällen gibt es in diesen Banachalgebren [[Approximation der Eins|Approximationen der Eins]]; dies ist ein topologisches Konstrukt, das oft einen Ersatz für das fehlende Einselement darstellt.
Das gilt insbesondere für C*-Algebren und die Gruppenalgebren <math>L^1(G)</math>.

=== Die Gruppe der invertierbaren Elemente ===
Ist <math>A</math> eine Banachalgebra mit Einselement 1, so ist die Gruppe <math>A^\times</math> der invertierbaren Elemente [[Offene Menge|offen]]. Ist nämlich <math>b\in A</math> invertierbar und <math>a\in A</math> mit <math>\|a-b\| < \tfrac{1}{\|b^{-1}\|}</math>, so ist auch <math>a</math> invertierbar, denn leicht überlegt man sich, dass <math>\textstyle b^{-1}\sum_{n=0}^\infty ((b-a)b^{-1})^n</math> konvergiert und das Inverse zu <math>a</math> ist. Ferner ist das Invertieren <math>a\mapsto a^{-1}</math> als Abbildung auf der Gruppe der invertierbaren Elemente stetig. Daher ist <math>A^\times</math> eine [[topologische Gruppe]].

=== Das Spektrum ===
In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] spielt die Menge der [[Eigenwert]]e einer Matrix eine wichtige Rolle bei der Untersuchung der Matrizen, d.&nbsp;h. der Elemente der Banachalgebra <math>B({\mathbb K}^n)</math>.
Dies verallgemeinert sich zum Begriff des Spektrums:

Sei <math>A</math> eine <math>\Complex</math>-Banachalgebra mit Einselement.
Für <math>a\in A</math> ist das [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] von <math>a</math>, <math>\sigma(a):=\{\lambda \in {\mathbb C}: a-\lambda\cdot 1 \notin A^\times\}</math>, [[Kompakter Raum|kompakt]] und nach dem [[Satz von Gelfand-Mazur]] nicht leer. Für den Spektralradius <math>r(a) := \sup \{|\lambda| : \lambda \in \sigma(a)\}</math> gilt die Formel <math>\textstyle r(a) = \lim_{n\to\infty}\|a^n\|^{1/n}</math>.
Diese Formel ist erstaunlich, da der Spektralradius eine rein algebraische Größe ist, die lediglich den Begriff der Invertierbarkeit verwendet, die rechte Seite der Spektralradiusformel hingegen ist durch die Norm der Banachalgebra gegeben.

Für den Rest dieses Abschnitts sei <math>A</math> kommutativ mit Einselement. Die Menge <math>X_A</math> aller multiplikativen [[Funktional]]e <math>A\to \Complex</math> bezeichnet man als das ''Spektrum'' von <math>A</math>, oder nach [[Israel Gelfand|Gelfand]] auch als ''Gelfand-Spektrum'' oder ''Gelfand-Raum'' von <math>A</math>. Das Spektrum von <math>A</math> ist mit der [[Teilraumtopologie|relativen]] [[schwach-*-Topologie]] ein kompakter Raum und die [[Gelfand-Transformation]] vermittelt einen Homomorphismus <math>A\rightarrow C(X_A)</math> von <math>A</math> in die Banachalgebra der stetigen komplexwertigen Funktionen auf <math>X_A</math>. Jedem Element <math>a\in A</math> wird so eine stetige Funktion <math>\hat{a}\colon X_A\to \Complex</math> zugeordnet, wobei <math>\hat{a}(\varphi) = \varphi(a)</math>. Das Spektrum eines Elementes <math>a\in A</math> und das Spektrum der Algebra hängen dann über die Formel <math>\sigma(a) = \hat{a}(X_A)</math> zusammen. Das ist im Artikel über die Gelfand-Transformation ausgeführt.

=== Maximale Ideale ===
Sei <math>A</math> eine kommutative <math>\Complex</math>-Banachalgebra mit Einselement.
Ist <math>\varphi \in X_A</math>, so ist <math>\ker (\varphi) \subset A</math> ein maximales [[Idealoperator|Ideal]] (mit [[Kodimension]] 1).
Ist umgekehrt <math>M\subset A</math> ein maximales Ideal, so ist der Abschluss <math>\overline{M}</math> wegen der Offenheit der Gruppe der invertierbaren Elemente ein echtes Ideal, also muss <math>\overline{M} = M</math> gelten.
Dann ist die Quotientenalgebra <math>A/M</math> eine Banachalgebra, die ein [[Körper (Algebra)|Körper]] ist, und dieser muss nach dem [[Satz von Gelfand-Mazur]] isomorph zu <math>\Complex</math> sein. Daher ist die [[Quotientenabbildung]] <math>A\rightarrow A/M \cong \Complex</math> ein multiplikatives Funktional mit Kern <math>M</math>.
Bezeichnet man also die Menge der maximalen Ideale mit <math>\operatorname{Max}(A)</math>, so hat man eine bijektive Abbildung:

<math>X_A \to \operatorname{Max}(A),\,\,\,\varphi \mapsto \ker(\varphi)</math>

Es besteht damit eine bijektive Beziehung zwischen der Teilmenge <math>X_A</math> des Dualraums und der rein algebraisch definierten Menge der maximalen Ideale.

== Anwendungen ==
* Anwendung finden Banachalgebren u.&nbsp;a. in der [[Linearer Operator|Operatorentheorie]], wie sie z.&nbsp;B. in der Quantenfeldtheorie benutzt wird.
* Ferner gibt es die Erweiterung zu Von-Neumann-Algebren und Hilbert-Moduln und der abstrakten [[K-Theorie von Banachalgebren|K-]] und [[KK-Theorie]], welche auch als [[nichtkommutative Geometrie]] bezeichnet wird.
* Zur Untersuchung lokalkompakter Gruppen zieht man in der harmonischen Analyse die Banachalgebren <math>L^1(G)</math> und die [[Gruppen-C*-Algebra|Gruppen-C*-Algebren]] <math>C^*(G)</math> heran.

== Literatur ==
* [[Frank Bonsall|F. F. Bonsall]], J. Duncan: ''Complete Normed Algebras'' (= ''Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.'' NF Bd. 80). Springer, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-06386-2.
* [[Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[John Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Special Topics.''Academic Press, New York NY u. a.;
** Band 1: ''Elementary Theory'' (= ''Pure and applied mathematics.'' Vol. 100, 1). 1983, ISBN 0-12-393301-3;
** Band 2: ''Advanced Theory'' (= ''Pure and applied mathematics.'' Vol. 100, 2). 1986, ISBN 0-12-393302-1.
* Masamichi Takesaki: ''Theory of Operator Algebras I.'' Springer, Berlin 1979, ISBN 3-540-90391-7 (2nd printing of the 1st edition. (= ''Encyclopaedia of Mathematical Sciences.'' Vol. 124 = ''Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Operator Algebras and Non-Commutative Geometry.'' Vol. 5). Springer, New York u. a. 2002, ISBN 3-540-42248-X).

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]