Quelltext der Seite Ballistisches Pendel

[[Datei:Ballistisches Pendel.svg|mini|Schematische Darstellung]]
Ein '''Ballistisches Pendel''' ist eine mechanische Vorrichtung, um Geschossgeschwindigkeiten zu messen. Es wurde 1742 von [[Benjamin Robins]] (1707–1751) erfunden.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.britannica.com/biography/Benjamin-Robins |titel=Benjamin Robins {{!}} British engineer and mathematician {{!}} Britannica |sprache=en |abruf=2022-02-22}}</ref>

== Funktionsprinzip ==
[[Datei:Балистический маятник. Иллюстрация к статье «Балистические приборы». Военная энциклопедия Сытина (Санкт-Петербург, 1911-1915).jpg|192px|mini|Ballistisches Pendel]]

Ein schwerer Holzklotz (im Bild eine Holzkugel) wird an einem langen Draht oder einer Stange horizontal drehbar aufgehängt. Das zu messende Geschoss wird auf den Holzklotz abgefeuert, bleibt dort stecken und lenkt ihn aus. Durch Messen der maximalen [[Mathematisches Pendel|Pendelauslenkung]] lässt sich näherungsweise die [[Geschwindigkeit]] des abgefeuerten Geschosses berechnen.

== Berechnung der Geschossgeschwindigkeit ==
Es sind gegeben:
: <math>M</math>: [[Masse (Physik)|Masse]] des Holzklotzes
: <math>m</math>: Masse des Geschosses
: <math>g</math>: [[Schwerebeschleunigung]]
: <math>l</math>: Länge des Pendels von der Aufhängung bis zum [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] des Holzklotzes
Es wird gemessen:
: <math>\varphi_m</math>: Auslenkwinkel des Pendels zur Ruhelage (senkrecht)
Dann beträgt die Geschossgeschwindigkeit:
:<math>v = \left(\frac{M}{m} + 1\right) \sqrt {2 \, g \, l \, (1 - \cos \varphi_m)}</math>
Diese Formel ist ein Spezialfall der unten gegebenen Formel. Allerdings ist es sinnvoll, eine komplette Herleitung zu geben, da nicht immer der Winkel gegeben ist. In der Praxis ist es deutlich leichter, die Auslenkung zu messen. Man kennt den Winkel <math> \varphi </math> also nicht, sondern nur die horizontale Auslenkung <math> L </math>.

== Herleitung ==
Es handelt sich um einen [[Unelastischer Stoß|unelastischen Stoß]], für den der [[Impulserhaltungssatz]] gilt:
: <math> (M + m) \cdot v' = m \cdot v </math>,
wobei <math> v' </math> die Geschwindigkeit der Holzkugel mit dem Geschoss nach dem Stoß bezeichnet. Der [[Energieerhaltungssatz]] liefert hier kein hilfreiches Ergebnis, da ein Teil der [[Kinetische Energie|kinetischen Energie]] des Geschosses beim unelastischen Stoß in Wärme umgewandelt wird. Die Geschwindigkeit des Geschosses berechnet sich mit Hilfe der gemessenen kinetischen Energie der Holzkugel mit dem Geschoss nach dem Stoß, die durch die Pendelvorrichtung möglichst verlustfrei in [[Potentielle Energie|potentiellen Energie]] umgewandelt wird:
: <math> E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} (M + m)\, v'^2 = (M + m)\,g\,h = E_\mathrm{pot} </math>
Für die Höhe <math> h </math> der Auslenkung erhalten wir:
: <math> h=l \cdot \left( 1 - \cos \varphi \right) </math>
Mit dem Winkel

:<math> \varphi = \arcsin \frac{L}{l} </math>

und dem Theorem

: <math> \cos ( \arcsin x ) = \sqrt{1-x^2} </math>

folgt eingesetzt:
: <math> \frac{1}{2} (M+m) \, v'^2 = (M+m) \, g \cdot l \, \left( 1 - \sqrt{1- \left( \frac{L}{l} \right)^2} \right) </math>.
Auflösen nach <math> v' </math> liefert schließlich:
: <math> v'= \sqrt{2\,g\,l\cdot\left( 1 - \sqrt{1- \left( \frac{L}{l} \right)^2} \right)}</math>
Das setzt man in den Impulserhalt des unelastischen Stoßes ein. Das liefert das Ergebnis:
: <math> v=\frac{M+m}{m} \cdot \sqrt{2\,g\,l\cdot\left( 1 - \sqrt{1- \left( \frac{L}{l} \right)^2} \right)} </math>

== Einzelnachweise ==
<references />

== Siehe auch ==
* [[Drall (Waffe)]]

== Literatur ==
* [[Ekbert Hering]], Rolf Martin, Martin Stohrer: ''Physik für Ingenieure''. 4. verbesserte Auflage. VDI-Verlag, Düsseldorf 1992, ISBN 3-18-401227-1.
* [[Beat Kneubuehl]] (Hrsg.), Robin Coupland, [[Markus Rothschild]], Michael Thali: ''Wundballistik. Grundlagen und Anwendungen''. 3. vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Medizin Verlag, Heidelberg, 2008, ISBN 978-3-540-79008-2.

[[Kategorie:Ballistik]]