Quelltext der Seite Bahnformel

Die '''Bahnformel''' ist ein [[Satz (Mathematik)|mathematischer Satz]] aus der [[Gruppentheorie]]. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

== Der Bahnensatz ==

=== Formulierung ===

Sei <math>\ (G, \cdot)</math> eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] und <math>\circ: G \times M \rightarrow M</math> eine [[Gruppenoperation|Operation]] von <math>G</math> auf einer Menge <math>M</math>. Dann ist für jedes <math>x\in M</math> die Abbildung
: <math>G/G_x \rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_x \mapsto g \circ x</math>
eine [[Wohldefiniertheit|wohldefinierte]] [[Bijektion]].
Dabei bezeichnet
* <math>G \circ x := \{g \circ x\ |\ g \in G\} \subseteq M</math> die [[Bahn (Mathematik)|Bahn]] von <math>x</math>,
* <math>G_x := \{g \in G\ |\ g \circ x = x \} \leq G</math> den [[Gruppenoperation#Stabilisator|Stabilisator]] von <math>x</math> und
* <math>G/G_x := \{g\cdot G_x \ |\ g \in G \} \subseteq \mathcal{P}(G)</math> die Menge der [[Nebenklasse (Mathematik)|Linksnebenklassen]] der Untergruppe <math>G_x</math> in <math>G</math>.

=== Beweis ===

''Siehe:'' [[Datei:Wikibooks-logo.svg|16px]] [[b:Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Bahnensatz|Beweis des Bahnensatzes im ''Beweisarchiv'']]

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

=== Bahnformel ===

Im Fall <math>|G \circ x| < \infty</math> ist <math>(G:G_x) = |G \circ x|</math>. Dabei bezeichnet <math>\ (G:G_x) := |G/G_x|</math> den [[Index (Gruppentheorie)|Index]] von <math>G_x</math> in <math>G</math>. Für endliche Gruppen <math>G</math> gilt daher die ''Bahnformel''
: <math>\ |G|=|G \circ x|\cdot|G_x|</math>.

== Beispiele ==
=== Konjugation ===
Jede Gruppe <math>G</math> operiert auf sich selber vermöge der [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugationsoperation]] <math>g \circ x := gxg^{-1}</math>. Die Bahn <math>G \circ x := \{gxg^{-1}\ |\ g \in G\}</math> eines Elements <math>x \in G</math> bezeichnet man als ''Konjugationsklasse'' von <math>x</math>. Der Stabilisator <math>G_x := \{g \in G\ |\ gxg^{-1} = x\} = \{g \in G\ |\ gx = xg\}</math> heißt [[Zentralisator]] von <math>x</math> und wird mit <math>Z_G(x)</math> bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen <math>G</math>
: <math>|G| = |G \circ x| \cdot |Z_G(x)|</math>.

=== Transitive Operation ===
Ist die Operation einer endlichen Gruppe <math>G</math> auf <math>M</math> [[Transitive Operation|transitiv]], so ist
:<math>|M| = |G\circ x| = (G:G_x)</math>.
In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von <math>M</math> ein Teiler der [[Gruppenordnung]] sein.

== Siehe auch ==
* [[Gruppenoperation]]
* [[Satz von Lagrange]]
* Eine elegante Anwendung der Bahnformel zeigt der [[Satz von Wedderburn#Ernst Witt (1931)|Beweis von Ernst Witt (1931)]] des [[Satz von Wedderburn|(kleinen) Satzes von Wedderburn (1905)]]: „Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ.“

== Literatur ==
* Kurt Meyberg: ''Algebra''. Teil 1. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 67
* Rainer Schulze-Pillot: ''Elementare Algebra und Zahlentheorie''. ISBN 978-3-540-45379-6, S. 121–124

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=GroupOrbit |title= Bahn (Orbit) und Bahnformel}} (englisch)

[[Kategorie:Gruppentheorie]]