Quelltext der Seite Bändermodell

{{Dieser Artikel|erläutert quantenmechanische Modelle zur Beschreibung von elektronischen Energiezuständen. Molekülmodelle von Proteinstrukturen werden unter [[Bändermodell (Proteine)]] erläutert.}}
Das '''Bändermodell''' oder '''Energiebändermodell''' ist ein [[Quantenmechanik|quantenmechanisches]] [[Modell]] zur Beschreibung von elektronischen [[Energie]]<nowiki />zuständen in einem idealen [[Einkristall]]. Dabei liegen die [[Atomrumpf|Atomrümpfe]] in einem streng periodischen Gitter vor. Es gibt mehrere Energiebereiche, in denen viele [[quantenphysik]]alisch mögliche Zustände existieren, die energetisch so dicht beieinander liegen, dass sie als [[Kontinuum (Physik)|Kontinuum]] – als [[Bandstruktur|Energieband]] – angesehen werden können. Die zugehörige Darstellung wird als '''Banddiagramm''' bezeichnet. Das Energiebändermodell eines Festkörpers ist dann die im [[Impulsraum]] dargestellte [[Bandstruktur]] (siehe unten bei ''E-k-Diagramm'').

== Entstehung der Bänder ==
[[Datei:Bändermodell-Potentialtöpfe-Mg.svg|mini|hochkant=1.5|Bändermodell mit Potentialtöpfen am Beispiel des Metalls Magnesium]]
Betrachtet man ein einzelnes [[Atom]], liegen die [[Energieniveau]]s der Elektronen im Feld des Atomkerns in diskreter Form vor. Dies gilt auch für weit voneinander entfernte Atome. Nähert man zwei Atome einander an, so ist der beobachtete Effekt ähnlich wie bei [[Gekoppelte Pendel|gekoppelten Pendeln]], bei denen sich die Anzahl der möglichen Schwingungsfrequenzen erhöht. Bei Atomen im Gitter und bei der Annäherung ab einem gewissen Abstand spalten sich die atomaren Elektronenniveaus aufgrund der elektrostatischen Wechselwirkung der [[Elektron]]en (dem entspricht die Koppelfeder der gekoppelten Pendel) der beiden Atome auf. Die Energieniveaus verschieben sich jeweils leicht nach oben und unten (siehe [[Zweizustandssystem]]). Betrachtet man nun einen [[Kristall]], bei dem eine Vielzahl von Atomen miteinander wechselwirken, steigt die Anzahl der erlaubten Energiezustände entsprechend, sie verschmelzen zu gemeinsamen Energiebändern.

Dies ist die vereinfachte, anschaulichere Erläuterung. Physikalisch exakt entstehen die Bänder nicht durch elektrostatische Wechselwirkung der Elektronen, sondern durch die Bewegung der Elektronen im Feld der periodisch angeordneten [[Ion]]enrümpfe. Die [[Periode (Physik)|Periodizität]] der Ionenrümpfe überträgt sich auf die Periodizität des resultierenden elektrostatischen Potentials, welches wiederum eine Periodizität der [[Wellenfunktion]] des Elektrons induziert. Es ist aber gerade die Eigenschaft der Periodizität der Wellenfunktion, welche zur Entstehung von quasi-kontinuierlichen, aber diskreten Energiespektren, d.&nbsp;h. Energiebändern führt. Das ist die Grundaussage des [[Bloch-Theorem]]s.

Die Breite der Energiebänder ist für die unterschiedlichen atomaren Energieniveaus nicht gleich. Der Grund dafür ist die unterschiedlich starke Bindung der Elektronen an ihr Atom. Elektronen auf niedrigen Energieniveaus sind stärker gebunden und wechselwirken weniger mit Nachbaratomen. Dies führt zu schmalen Bändern. Die Valenzelektronen im [[Valenzband]] sind leichter gebunden und können daher die Potentialberge zwischen den Atomen einfacher überwinden. Sie wechselwirken stark mit denen der Nachbaratome und lassen sich in einem Kristall nicht mehr einem einzelnen Atom zuordnen, diese Bänder werden dabei breiter, siehe Abbildung.

''Siehe auch:'' [[Modell der quasifreien Elektronen]]

== Grundlagen für den Leitungsvorgang von elektrischen Ladungen ==
[[Datei:Bändermodel Anregung.png|mini|Die Anregung eines Halbleiters durch thermische Energie.]]
Bei der Betrachtung der elektrischen Eigenschaften eines Kristalls ist es von Bedeutung, ob die Energieniveaus in den äußeren, energetisch höchsten Energiebändern (dem Valenz- und dem Leitungsband) des Kristalls nicht besetzt, teilweise oder voll besetzt sind. Ein voll besetztes Band trägt, genau wie ein unbesetztes Band, nicht zum Ladungstransport bei. Die Ursache dafür ist, dass Elektronen in vollbesetzten Bändern keine Energie, z.&nbsp;B. durch ein elektrisches Feld, aufnehmen können, denn es gibt für sie keine unbesetzten Zustände mit etwas höherer Energie. Erst ein teilbesetztes Band ermöglicht im elektrischen Feld einen von Null verschiedenen Nettostrom. Dies ist aber nur eine notwendige Bedingung für den Stromfluss, wie sogenannte [[Mott-Isolator]]en mit teilbesetzten Bändern aufzeigen, zu deren Erklärung elektronische Korrelationseffekte berücksichtigt werden müssen, die außerhalb der Gültigkeit des Bändermodells als „Ein-Elektronen-Dispersion“ des Festkörpers liegen.

Die gute [[elektrische Leitfähigkeit]] von [[Metall]]en (auch bei tiefen Temperaturen) kommt durch das nur teilweise besetzte Leitungsband zustande (einwertige Metalle). Bei mehrwertigen Metallen kann es zwar vorkommen, dass das entsprechende Band theoretisch voll besetzt wäre, dieses Band überlappt jedoch bei Metallen mit dem nächsthöheren Band. In beiden Fällen sind nur teilweise besetzte Bänder vorhanden, so dass freie Energieniveaus für den Ladungstransport zur Verfügung stehen. Das [[Fermi-Niveau]] liegt in beiden Fällen im äußeren noch besetzten Band.

Auch bei Halbleitern und Isolatoren am [[Absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkt]] (Temperatur) ist das höchste Energieband vollständig mit Elektronen besetzt, dieses Band wird ''Valenzband'' genannt.<ref name="Bargel2008">{{Literatur |Hrsg=Hans-Jürgen Bargel, Hermann Hilbrans |Titel=Werkstoffkunde |Auflage=10., bearbeitete |Verlag=Springer |Ort=Berlin u.&nbsp;a. |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-79296-3 |Seiten=11 |Online={{Google Buch |BuchID=pKsoPh0lbpEC |SeitenID=PT30}}}}</ref><ref name="Demtröder_EP3_2005">{{Literatur |Autor=[[Wolfgang Demtröder]] |Titel=Atome, Moleküle und Festkörper |Reihe=Experimentalphysik |BandReihe=3 |Auflage=3., überarbeitete |Verlag=Springer |Ort=Berlin u.&nbsp;a. |Datum=2005 |ISBN=3-540-21473-9 |Seiten=441 |Online={{Google Buch |BuchID=UmrfixbVs_AC |Seite=441}}}}</ref> Im Gegensatz zu Metallen überlappt dieses Band nicht mit dem nächsthöheren Band, dem am absoluten Nullpunkt unbesetzten Leitungsband. Zwischen beiden Bändern liegt ein [[Quantenmechanik|quantenmechanisch]] „verbotener Bereich“, der [[Bandlücke]] genannt wird. Da das Valenzband bei 0&nbsp;K voll besetzt ist, kann kein Ladungstransport stattfinden. Führt man dem Material durch Temperaturerhöhung oder Lichteinstrahlung ausreichend Energie zu, können Elektronen die Bandlücke überwinden und ins Leitungsband angehoben werden. Auf diese Weise kann ein unbesetztes Leitungsband teilbesetzt werden. Diese Elektronen und die im Valenzband zurückbleibenden [[Defektelektron|Löcher]] tragen beide zum elektrischen Strom bei ([[Eigenleitung]]).

== Einteilung anhand der Lage der Bänder ==
=== {{Anker|Isolatoren}}{{Anker|Halbleiter}}Isolatoren und Halbleiter ===
Ein kristalliner [[Nichtleiter]] (auch als ''Isolator'' bezeichnet) hat ein nicht besetztes Leitungsband und eine so große Bandlücke (''E''<sub>G</sub>&nbsp;>&nbsp;3&nbsp;eV)<ref>{{Literatur |Autor=Rudolf Gross, Achim Marx |Titel=Festkörperphysik |Verlag=Walter de Gruyter GmbH & Co KG |Datum=2014 |ISBN=978-3-11-035870-4 |Online={{Google Buch |BuchID=pK_oBQAAQBAJ |Seite=469}} |Abruf=2016-12-23}}</ref>, dass bei Raumtemperatur und auch bei deutlich höheren Temperaturen nur sehr wenige Elektronen vom Valenz- ins Leitungsband thermisch angeregt werden.<ref>{{Literatur |Autor=Heinrich Frohne, Karl-Heinz Löcherer, Hans Müller, Franz Moeller |Titel=Moeller Grundlagen der Elektrotechnik |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2005 |ISBN=3-519-66400-3 |Online={{Google Buch |BuchID=M7JZXmnRCu0C |Seite=485}} |Abruf=2016-12-23}}</ref> Der [[Spezifischer Widerstand|spezifische Widerstand]] eines solchen Kristalls ist sehr hoch. Durch Zufuhr von ausreichend viel [[Energie]], also bei (sehr) hohen Temperaturen oder durch Anlegen einer genügend hohen Spannung, kann jedoch jeder Isolator zum Leiter werden, wobei dieser dann allerdings zerstört wird.<ref>{{Literatur |Autor=Hansgeorg Hofmann, Jürgen Spindler |Titel=Werkstoffe in der Elektrotechnik: Grundlagen – Struktur – Eigenschaften – Prüfung – Anwendung – Technologie |Verlag=Carl Hanser Verlag GmbH & Company KG |Datum=2013 |ISBN=978-3-446-43748-7 |Online={{Google Buch |BuchID=LUBQAgAAQBAJ |Seite=105}} |Abruf=2016-12-23}}</ref>

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 Bändermodell eines Nichtleiters mit Leitungsband und Valenzband.svg
 Bändermodell eines Halbleiters mit Leitungsband und Valenzband.svg
 Bändermodell eines Leiters mit Leitungsband und Valenzband.svg
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Ähnlich liegen die Verhältnisse bei einem kristallinen [[Halbleiter]], jedoch ist die Bandlücke hier so klein (0,1&nbsp;eV&nbsp;<&nbsp;''E''<sub>G</sub>&nbsp;<&nbsp;3&nbsp;eV<ref name="HollemanWiberg1313">{{Holleman-Wiberg |Auflage=101. |Startseite=1313}}</ref>), dass sie durch thermische Energiezufuhr oder Absorption eines Photons ([[Photohalbleiter]]) gut überwunden werden kann. Ein Elektron kann ins Leitungsband angehoben werden und ist hier beweglich. Zugleich hinterlässt es im Valenzband eine Lücke, die durch benachbarte Elektronen aufgefüllt werden kann. Somit ist im Valenzband die Lücke beweglich. Man bezeichnet sie auch als ''[[Defektelektron]]'', ''Elektronenfehlstelle'' oder ''Loch'' (siehe [[Löcherleitung]]). Bei Raumtemperatur weist ein Halbleiter dadurch eine geringe [[Eigenleitfähigkeit]] auf, die durch Temperaturerhöhung gesteigert werden kann.

Durch [[Dotierung]] kann ein Halbleiter gezielt mit [[Ladungsträger (Physik)|Ladungsträgern]] ausgestattet werden. Der Halbleiterkristall beruht auf einem Kristallgitter aus 4-[[Wertigkeit (Chemie)|wertigen]] Atomen, die jeweils durch vier Elektronenpaare gebunden sind. Dotierung mit 5-wertigen Atomen hinterlässt im Gitter ein für die Bindung nicht erforderliches Elektron, das somit nur locker gebunden ist (Abbildung unten, Bild a). Mit nur geringer Energie kann es daher ins Leitungsband angehoben werden und ist hier beweglich (Bild b). Ein solches Atom nennt man einen [[Halbleiter#Donatoren und Akzeptoren|Elektronen-Donator]] ({{laS|donare}} ‚geben‘). Der Kristall wird mit beweglichen negativen Ladungsträgern ausgestattet, man spricht von einer n-Dotierung. Zugleich bleibt ein positiver Atomrumpf im Gitter zurück. Lässt man den Hintergrund der neutralen Grundsubstanz außer Betracht (Bild c), so hat man eine positive feste und eine negative bewegliche Ladung ins Gitter eingebracht. Energetisch liegt ein Donator knapp unterhalb des Leitungsbandes, da wegen der schwachen Bindung des „zusätzlichen“ Elektrons wenig Energie zur Anregung ins Leitungsband vonnöten ist (Bild d).

Dotierung mit 3-wertigen Atomen führt zu einer ungesättigten Bindung, in der ein Elektron fehlt. Dieses kann mit geringem Energieaufwand aus einer anderen Bindung gerissen werden. Ein solches Atom nennt man einen [[Halbleiter#Donatoren und Akzeptoren|Elektronen-Akzeptor]] (lat. ''{{lang|la|accipere}}'' ‚annehmen‘), das energetisch knapp oberhalb des Valenzbandes liegt. Es entsteht eine negative ortsfeste Ladung. Zugleich hinterlässt das Elektron im Kristall eine Lücke, die durch ein anderes Elektron aufgefüllt werden kann, also eine bewegliche Elektronenfehlstelle. Im Resultat hat man eine negative feste und eine positive bewegliche Ladung eingebracht. Man spricht dann von p-Dotierung.

[[Datei:Halbleiter1.PNG|zentriert|mini|hochkant=3|Dotierung von Halbleitern]]

Eine wichtige Anwendung finden die dotierten Kristalle in der [[Mikroelektronik]], deren Strukturen vor allem auf [[Diode|Halbleiterdioden]] beruhen. Diese werden aus einem [[p-n-Übergang]] gebildet, das heißt aus einer Kombination eines p-dotierten mit einem n-dotierten Kristall.

Es gibt jedoch auch Halbleiter (und Isolatoren), auf die das Bändermodell nicht anwendbar ist. Dazu gehören beispielsweise sogenannte [[Hopping-Leitfähigkeit|Hopping]]-Halbleiter,<ref>{{Literatur |Autor=[[Erwin Riedel]], [[Christoph Janiak]] |Titel=Anorganische Chemie |Auflage=7. |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin u.&nbsp;a. |Datum=2007 |ISBN=978-3-11-018903-2 |Seiten=724 ff.}}</ref> bei ihnen ist der dominierende Mechanismus für den Ladungsträgertransport das ''{{lang|en|Hopping}}'' (englisch für ‚hüpfen‘). Die Elektronen „wandern“ daher nicht durch das Leitungsband von einem Ort zum anderen, sondern „springen“ sozusagen von Atom zu Atom.

=== Metalle und Halbmetalle ===
In einem [[Metalle|Metall]] spricht man meist nicht von Leitungs- bzw. Valenzband. Dennoch gilt auch hier, das höchste vollständig besetzte Band ist das Valenzband. Das darüberliegende teilweise besetzte Band kann als Leitungsband bezeichnet werden.<ref name="Bargel2008" /><ref name="Demtröder_EP3_2005" />

Bei einwertigen Metallen ist das höchste besetzte Energieband zur Hälfte aufgefüllt. Bei mehrwertigen Metallen überlappen sich die äußeren Energiebänder teilweise. Elektronen können daher beim Anlegen von beliebig kleinen elektrischen Feldstärken in einen höheren Energiezustand wechseln (sich sozusagen frei bewegen) und zum elektrischen Stromfluss beitragen, deswegen sind Metalle gute elektrische Leiter. Eine Temperaturerhöhung führt im Allgemeinen zur Verringerung der Leitfähigkeit des Kristalls, da die erhöhte [[Streuung (Physik)|Streuung]] der Elektronen eine niedrigere mittlere Geschwindigkeit bedingt. Das Ferminiveau liegt bei Metallen bzw. Halbmetallen innerhalb des höchsten besetzten Bandes bzw. im Überlappungsbereich der Bänder.

Bei [[Halbmetalle]]n liegt die Unterkante des Leitungsbands nur wenig tiefer als die Oberkante des Valenzbandes. Diese geringe Überlappung führt bereits bei Temperaturen um den absoluten Nullpunkt zu einer geringen Konzentration von Elektronen im Leitungsband und Löchern im Valenzband.

== E-k-Diagramm ==
In den Abbildungen oben sind die Energieniveaus eindimensional über der Ortskoordinate <math>x</math> aufgetragen. Für die Betrachtung der Vorgänge beim Sprung eines Elektrons von einem Band zum anderen hat sich dagegen die Darstellung über dem [[Wellenvektor]] <math>\vec k</math> bewährt. Dies wird unter dem Stichwort [[Bandstruktur]] genauer erläutert.

== Geschichte ==
Das Bändermodell der Elektronenleitung in Metallen wurde 1928 von [[Felix Bloch]]<ref>{{Literatur |Autor=Felix Bloch |Titel=Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern |Sammelwerk=Zeitschrift für Physik |Band=52 |Nummer=7–8 |Datum=1929-07-01 |Seiten=555–600 |DOI=10.1007/BF01339455}}</ref> entwickelt (in seiner Dissertation bei Werner Heisenberg in Leipzig), damals noch als Einelektronenmodell in periodischem Potential, er betrachtete nur das Grundzustands-Band und keine Wechselwirkung der Elektronen untereinander. Unabhängig und gleichzeitig geschah das 1928 durch [[Hans Bethe]] in seiner Münchner Dissertation bei Arnold Sommerfeld. In den darauffolgenden Jahren wurde es von [[Rudolf Peierls]] (ab 1929 bei Heisenberg in Leipzig), [[Léon Brillouin]] und [[Alan Herries Wilson]] (1931) weiterentwickelt. Wilson betrachtete anhand der Bandstruktur auch Isolatoren und zeigte die theoretische Möglichkeit von Halbleitern.<ref>{{Literatur |Autor=Kai Christian Handel |Titel=Anfänge der Halbleiterforschung und -entwicklung |Ort= Dissertation der [[RWTH]] Aachen |Datum=1999 |Online=https://publications.rwth-aachen.de/record/94503 |Abruf=2023-02-22}}</ref> Realistische Bandstruktur-Berechnungen setzten mit einer Arbeit von [[Eugene Wigner]] und [[Frederick Seitz]] über das Natrium-Gitter 1933 ein, in der auch die [[Wigner-Seitz-Zelle]] eingeführt wurde. Zu den frühen Forschern auf diesem Gebiet zählten [[John C. Slater]] am MIT und [[Nevill Mott]] und [[Harry Jones (Physiker, 1905)|Harry Jones]] in Bristol.<ref>Zur Geschichte: [[Lillian Hoddeson]] u.&nbsp;a. (Hrsg.): ''Out of the Crystal Maze. Chapters in the history of solid state physics''. Oxford University Press 1992, Kapitel 2: Lillian Hoddeson, Gordon Baym, Michael Eckert: ''The development of the quantum mechanical electron theory of metals 1926–1933.'' S. 88–181, Kapitel 3: Paul Hoch: ''The development of the band theory of solids 1933–1960.'' S. 182–235.<br /> Siehe auch: {{Literatur |Autor=Lillian Hoddeson, Gordon Baym, Michael Eckert |Titel=The development of the quantum-mechanical electron theory of metals: 1928–1933 |Sammelwerk=Reviews of Modern Physics |Band=59 |Nummer=1 |Datum=1987 |Seiten=287–327 |DOI=10.1103/RevModPhys.59.287}}</ref>

== Literatur ==
{{Siehe auch|Festkörperphysik|Halbleiter}}

== Weblinks ==
* {{Webarchiv |url=http://fmsg.bildung-rp.de/infoschul/infoschul/html/bandermodell.html |text=Was ist das Bändermodell? |wayback=20100501000811}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4143892-9}}

{{SORTIERUNG:Bandermodell}}
[[Kategorie:Festkörperphysik]]