Quelltext der Seite Ausgabenfunktion

Die '''Ausgabenfunktion''' ist eine in der [[Mikroökonomik]] verwendete [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die angibt, wie viel ein Konsument minimal ausgeben muss, um ein gegebenes [[Nutzen (Wirtschaft)|Nutzenniveau]] zu erreichen. [[Nutzenfunktion (Mikroökonomie)|Nutzenfunktion]] und Preise der Güter, mit denen der Nutzen erzielt werden kann, sind dabei vorgegeben.

== Definition und Bedeutung ==
Der Ausgangspunkt für die Herleitung der Ausgabenfunktion ist derselbe wie der zur Herleitung der [[Hicks’sche Nachfragefunktion|Hicks’schen Nachfrage]]. Er besteht im '''Ausgabenminimierungsproblem'''
:<math>\min_{(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{R}_{+}^{n}}\sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i} </math> unter den <math>n</math> Nebenbedingungen <math>u(x_{1},\ldots,x_{n})\geq\overline{u} </math>.
(Details hierzu finden sich im Artikel ''[[Hicks’sche Nachfragefunktion#Definition und Bedeutung|Hicks’sche Nachfragefunktion]].'') Eine Lösung dieses mittels der [[Kuhn-Tucker-Bedingungen|Kuhn-Tucker-Methode]] lösbaren Optimierungsproblems bezeichnet man als Hicks’sche Nachfrage <math>\mathbf{x}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})</math>, wobei <math>\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)</math> der Vektor der nachgefragten Gütermengen, <math>\mathbf{p}=(p_{1},\ldots,p_{n})</math> der dazugehörige Preisvektor und <math>\overline{u}</math> ein ex ante gefordertes (Mindest)nutzenniveau ist. In Worten handelt es sich bei dieser Nachfrage also um diejenige Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen –, die erforderlich ist, um möglichst kostengünstig ein vorgegebenes Nutzenniveau <math>\overline{u}</math> zu erreichen. Setzt man die Hicks’sche Nachfrage <math>\mathbf{x}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})</math> nun wieder in die minimierte Funktion ein, so bezeichnet man die resultierende Funktion als ''Ausgabenfunktion'' <math>e</math>. Es ist also
:<math>e\equiv\sum_{i=1}^{n}\left[p_{i}\cdot x_{i}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})\right]\overset{\mathrm{(vektoriell)}}{=}\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}^{h}(\mathbf{p},\overline{u}) </math>.
Während die Hicks’sche Nachfragefunktion die Gütermengen liefert, die im Ausgabenminimum nachgefragt werden, liefert die Ausgabenfunktion die Höhe der Ausgaben, welche dafür notwendig sind; mit anderen Worten ist <math>\mathbf{x}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})</math> das Argument des Minimums, während <math>e</math> das tatsächliche Minimum ist, weshalb man bereits bei der obigen Darstellung des Minimierungsproblems direkt hätte postulieren können, dass es gleich der Ausgabenfunktion ist.

== Eigenschaften ==
Es lässt sich zeigen, dass <math>e(\mathbf{p},\overline{u})</math> unter den üblichen Voraussetzungen – <math>u(\cdot)</math> stetig und streng monoton steigend – unter anderem folgende Eigenschaften aufweist<ref>Vgl. hierfür weitgehend Geoffrey A. Jehle/Philip J. Reny, ''Advanced Microeconomic Theory'', 2011, S. 32–39</ref> Einige der Eigenschaften folgen auch schon unter der schwächeren Annahme der lokalen [[Nichtsättigungsaxiom|Nichtsättigung]] der zugrunde liegenden Präferenz-Indifferenz-Relation <math>R</math>.<ref>Andreu Mas-Colell/Michael Whinston/Jerry Green, ''Microeconomic Theory'', 1995, S. 59</ref> (Man bezeichnet eine Präferenzordnung als lokal nicht gesättigt, wenn für beliebiges <math>x_{a}\in X</math> und für jede <math>\epsilon</math>-Umgebung <math>U_{\epsilon}</math> um <math>x_{a}</math> ein <math>z\in U_{\epsilon}</math> existiert, mit dem <math>zPx_{a}</math>. Vgl. den Artikel ''[[Präferenzordnung]].)'':

* ''[[Homogene Funktion|homogen vom Grade eins]] in <math>\mathbf{p}</math>,'' sodass <math>e(\alpha\mathbf{p},\alpha y)=\alpha e(\mathbf{p},y)\;\forall\mathbf{p},y</math> und <math>\alpha>0</math>;
* ''[[Monotone Funktion|monoton steigend]] in <math>\mathbf{p}</math>;''
* ''[[Streng monoton steigende Funktion|streng monoton steigend]] in <math>\overline{u}</math> für <math>\mathbf{p} > \mathbf{0}</math>;''
* ''[[Konkave Funktion|konkav]] in  <math>\mathbf{p}</math>.''

== Zusammenhang zur indirekten Nutzenfunktion ==
{{Hauptartikel|Indirekte Nutzenfunktion#Zusammenhang zur Ausgabenfunktion|titel1=„Zusammenhang zur Ausgabenfunktion“ im Artikel Indirekte Nutzenfunktion}}

== Herleitung der Nutzenfunktion ==
Die Ausgabenfunktion wurde oben aus der Nutzenfunktion heraus konstruiert. Unter bestimmten Voraussetzungen ist es darüber hinaus auch möglich, aus der Ausgabenfunktion die Nutzenfunktion zu konstruieren.
{{Kasten|''Herleitung der Nutzenfunktion aus der Ausgabenfunktion''<ref>Zum Beweis: Martin Browning, ''Dual Approaches to Utility'', in: Salvador Barberà/Peter J. Hammond/Christian Seidl (Hrsg.), ''Handbook of Utility Theory'', Band 1, 1999, S. 129 f.</ref>: Sei die Nutzenfunktion ''u'' stetig, streng monoton steigend in <math>\mathbf{x}</math> und quasi-konkav in <math>\mathbf{x}</math>. Sei <math>e(\mathbf{p},\overline{u})</math> die Ausgabenfunktion. Dann ist die ursprüngliche, für die Konstruktion von <math>e(\mathbf{p},\overline{u})</math> verwendete Nutzenfunktion wie folgt gegeben:
:<math>u(\mathbf{x})=\max_{\overline{u}}\left\{ \overline{u}\left|\forall\mathbf{p}:\;\sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\geq e(\mathbf{p},\overline{u})\right.\right\}</math>}}

== Literatur ==
* Friedrich Breyer: ''Mikroökonomik.'' Eine Einführung. 5. Aufl. Springer, Heidelberg u.&nbsp;a. 2011, ISBN 978-3-642-22150-7.
* Martin Browning: ''Dual Approaches to Utility.'' In: Salvador Barberà, Peter J. Hammond und Christian Seidl (Hrsg.): ''Handbook of Utility Theory.'' Bd. 1. Kluwer Academic Publishers, Boston 1998, ISBN 0-7923-8174-2.
* Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: ''Advanced Microeconomic Theory.'' 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
* Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: ''Microeconomic Theory.'' Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Haushaltstheorie]]
[[Kategorie:Entscheidungstheorie]]
[[Kategorie:Mikroökonomie]]