Quelltext der Seite Ausfallrate

{{Dieser Artikel|beschreibt die Ausfallrate als technische Kenngröße. Ausfallrate bezeichnet außerdem verschiedene Formen von [[Drop-out]].}}

Die '''Ausfallrate''' ist eine [[Dimensionslose Kennzahl|Kenngröße]] für die [[Zuverlässigkeit (Technik)|Zuverlässigkeit]] eines Objektes. Sie gibt an, wie viele Objekte in einer Zeitspanne durchschnittlich ausfallen. Sie wird angegeben in 1/Zeit, also Ausfall pro Zeitspanne. Wenn die Ausfallrate zeitlich konstant ist, wird sie üblicherweise mit [[Lambda|λ]] bezeichnet. Dann ist λ der [[Kehrwert]] der mittleren Lebensdauer [[MTTF]], bei reparablen Objekten die mittlere Zeit zwischen zwei Ausfällen [[Mean Time Between Failures|MTBF]]. Eine spezielle Einheit für die Ausfallrate ist ''FIT'' [[Failure In Time]] mit der Einheit „Ausfälle pro 10<sup>9</sup> Stunden“.

Die Ausfallrate wird in der [[Ereigniszeitanalyse]] in der [[Statistik]] auch als '''Hazardrate''' ({{enS}} ''hazard'': Gefahr, Zufall, Risiko) bezeichnet. Daraus lässt sich die [[Wahrscheinlichkeit]] dafür ermitteln, dass zu einem festen Zeitpunkt ein bestimmtes Ereignis (beispielsweise Tod einer Person, Verkauf einer Ware, Zerfall eines radioaktiven Elements) eintritt. Man spricht auch von einer ''momentanen Neigung zum Zustandswechsel''.

Für den Vergleich zweier Ausfallraten kann ein Quotient gebildet werden, das '''Hazard-Verhältnis''' ({{enS}} ''hazard ratio'', kurz: ''HR''), das das Risiko einer Hazardrate im Vergleich zur anderen abbildet. Dieses ''Hazard-Verhältnis'' wird insbesondere in [[Randomisierte kontrollierte Studie|randomisierten kontrollierten Studien]] zum Vergleich zweier oder mehrerer Medikamente eingesetzt.

== Ausfallrate und Zuverlässigkeit ==
Die Ausfallrate ist, abgesehen vom [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]], der Quotient aus der [[Zeitableitung]] der Zuverlässigkeit und der Zuverlässigkeit selbst:

:<math>h(t) = - \frac{\frac{dR(t)}{dt}}{R(t)}</math>.

Umgekehrt kann die Zuverlässigkeit durch die [[Überlebensfunktion]] <math>R(t)</math>, auch als Zuverlässigkeitsfunktion bezeichnet, bestimmt werden zu:

:<math>R(t) = e^{- {\int\limits_{0}^{t} h(x)dx}}</math>

Beispiel: Hält ein Objekt mit konstanter Ausfallrate, dies entspricht einer [[Exponentialverteilung]] der Zuverlässigkeitsfunktion und in diesem Fall ist <math>h(t) = \lambda</math>, im Durchschnitt 100 Stunden, ist die Ausfallrate λ = 1/360000s.

Das Inverse der Ausfallrate ist der [[Mills-Quotient]].

== Veränderungen in der Ausfallrate ==
{{Lückenhaft|1=Allgemeine Darstellung der Anwendungsmöglichkeiten, über den Ausfall von Maschinen hinaus|2=In diesem Absatz}}
Die Ausfallrate hängt zunächst davon ab, ob das Objekt im Einsatz steht oder nicht. Beispielsweise wird bei Motoren die Ausfallrate pro Betriebsstunde angegeben. Die Ausfallrate hängt stark von der Umgebung, insbesondere von der Temperatur ab. Nach der [[RGT-Regel]] verdoppelt sich die Ausfallrate für eine Temperatursteigerung um etwa 10&nbsp;°C. Temperaturzyklen (Wärme-Kälte) erhöhen die Ausfallrate massiv (vergleiche dynamische Belastung in [[Wöhlerversuch]]). Auch Erschütterungen, Strahlung (Sonnenlicht, Höhenstrahlung), Feuchtigkeit oder chemische Stoffe (z. B. salzige Luft) erhöhen die Ausfallrate. Dies wird in Alterungstest, wie dem [[Highly Accelerated Life Test]], bewusst ausgenutzt.

Die Ausfallrate hängt auch vom Alter des Objekts ab. Typischerweise verfolgt die Ausfallrate eine [[Badewannenkurve]]: Am Anfang des Lebens ist die Ausfallrate hoch infolge von „Kinderkrankheiten“: Produktionsfehlern und Einschaltstress. Objekte, die diese Phase überlebt haben, zeigen danach zunächst eine kleinere Ausfallrate. Daher werden Objekte – insbesondere in der Elektronik – nach der Herstellung einem Temperaturstress vor dem Testen unterworfen, um Objekte auszulesen, welche die Kinderkrankheiten bereits hinter sich haben („Burn-In“).

Danach bleibt die Ausfallrate eine ziemlich lange Zeit konstant, dies ist der Boden der Badewanne.
Diese konstante Ausfallrate ist die Basis der meisten Zuverlässigkeitsberechnungen, weil sie mathematisch einfach zu behandeln ist.

Mit zunehmendem Alter vergrößert sich die Ausfallrate wieder infolge „Alterskrankheiten“: mechanischer Verschleiß, chemische Zersetzung der Materialien, Isolationsdurchbruch bei elektrischen Anlagen, Einwirkung von UV-Strahlung oder Neutronenbeschuss auf die Materialfestigkeit.

Schließlich hängt die Ausfallrate von der Qualität der Wartung ab.

== Ermittlung der Ausfallrate ==
{{Hauptartikel|Ereigniszeitanalyse}}
[[Datei:Ausfallrate.jpg|hochkant=1.5|mini|Ausfallratemessungen an Glühlampen<br>'''oben:''' Kurve der funktionierenden Exemplare über der Zeit<br>'''unten''': Ausfallrate, es ergibt sich hier ein auch für viele andere Produkte typisches [[Badewannenkurve|Badewannenprofil]] der Ausfallwahrscheinlichkeit]]
Die Ausfallrate kann nicht an einem einzelnen Objekt gemessen werden. Sie wird aus Beobachtungen an einer größeren Anzahl gleicher Objekte geschätzt. In einem solchen [[Statistik|statistischen]] Experiment wird die empirische [[Verteilungsfunktion]] der Lebensdauer bestimmt. Die [[empirische Verteilungsfunktion]] ist eine Stufenfunktion mit einer Stufe für jeden ermittelten Ausfallzeitpunkt. Der [[Kaplan-Meier-Schätzer]] ist besser als der naive Schätzer, wenn zensierte Daten vorliegen.

Die Ausfallrate zu einer bestimmten Zeit ist dann gegeben durch die Anzahl Objekte, die in einem bestimmten Zeitintervall (z.&nbsp;B. einen Tag) ausfallen, dividiert durch die Anzahl guter Objekte am Anfang des Zeitintervalls.

Zum Beispiel werden 10.000 Glühlampen gemessen (Bild). Am 19. Tag blieben noch 9.600 Birnen übrig, und an diesem Tag fielen fünf Glühlampen aus. Die Ausfallrate am 19. Tag war also 5/9600/24 = 21,7 pro Million Stunden = 21&nbsp;700 FIT.

Statistisch gesehen ist es nämlich gleichwertig, ob die Ausfallrate in Ausfall pro Stunde eines bestimmten Objektes oder in Anzahl ausgefallene Objekte pro Stunde einer großen Menge angegeben ist.

Oft wird diese Messung unter erhöhtem Temperaturstress und insbesondere unter Temperaturzyklen oder unter Bestrahlung durchgeführt, um die Lebenszeit zu verkürzen und schneller zu Resultaten zu kommen.

Damit lassen sich Kataloge der Ausfallrate der Bauteile erstellen, wie z.&nbsp;B. die MIL-HDBK-217 der USA
Streitkräfte. Die darin enthaltene Ausfallraten werden für verschiedene Einsatzgebiete (Gebäude, Fahrzeuge, Schiffe, Helikopter, …) und Temperaturen angegeben.

Die Ingenieure können auch diese Ausfallraten korrigieren oder schätzen aus Erfahrungen der Reparaturwerkstatt.

Auch können mathematische Modelle die Ausfallrate voraussagen, z.&nbsp;B. durch Berechnung von [[Risswachstum]] an Turbinenschaufeln.

== Systeme von Objekten ==
Bei einem System von Objekten wird die Ausfallrate des Systems berechnet als die Summe der Ausfallrate der einzelnen Elemente. Dabei wird davon ausgegangen, dass der Verlust irgendeines Elements zum Ausfall des Systems führt, was nicht der Fall ist, wenn das System Redundanz enthält (siehe [[MTBF]]).

Zum Beispiel besteht eine Blinklampe aus
* 20 Widerstände: 20 · 0,1 FIT
* 3 Transistoren: 3 · 1 FIT
* 2 Kondensatoren: 2 · 0,5 FIT
* 1 Batterie: 200 FIT.

Die totale Ausfallrate ist Summe aus allen Ausfallraten und somit 206 FIT.
Die mittlere Lebensdauer beträgt demnach 554 Jahre.
Dieser Wert für die mittlere Lebensdauer gilt aber nur unter der Voraussetzung, dass die Batterie regelmäßig ausgewechselt wird: Die Batterie hat zu Anfang eine kleine Ausfallrate, die aber mit zunehmendem Alter stark ansteigt.

== Zusammenhänge ==
Wenn <math>f(t)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] für einen Ausfall zur Zeit <math>t</math> ist, dann bestimmt die Funktion

:<math>h(t) = \frac{f(t)}{1-F(t)}</math>

mit der Lebensdauer <math>t</math> als reeller Variablen die Ausfallrate <math>\lambda</math> zu einem Zeitpunkt <math>t</math>. Die Ausfallwahrscheinlichkeit <math>F(t)</math> ist:

:<math>F(t) = \int\limits_{0}^{t}f(\tau)\,\mathrm{d}\tau</math>.

Alternativ kann man die Ausfallrate im Zusammenhang zur [[Überlebensfunktion]] <math>R(t)</math> ausdrücken als:

:<math>h(t) = \frac{f(t)}{1-F(t)} = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}F(t)}{R(t)} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left( 1 - R(t) \right)}{R(t)} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \ln\left(R(t)\right)</math>.

Damit ergibt sich:

:<math>h(t) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\ln(1-F(t))</math>

und damit

:<math>F(t) = 1 - e^{-\int\limits_{0}^{t}h(\tau)\,\mathrm{d}\tau}</math>.

[[Datei:Exponential pdf.svg|mini|rechts|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von Exponentialverteilungen mit unterschiedlichen Ausfallraten]]
Bei der [[Exponentialverteilung]] (die bei der [[Ereigniszeitanalyse]] von Bedeutung ist) gilt

:<math>f(t) = \lambda e^{-\lambda t}</math>,

und es gilt folgender Zusammenhang:

:<math>F(t)=\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda \tau}\, \mathrm{d}\tau = 1 - e^{-\lambda t}</math>.

Damit ergibt sich bei der Exponentialverteilung eine zeitlich konstante Ausfallrate:

:<math>h(t) = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda </math>.

== Kreditwesen ==
Die Ausfallrate bestimmt sich nach den [[Rating (Finanzwesen)|eingestuften]] Krediten, multipliziert mit deren [[Ausfallwahrscheinlichkeit (Finanzwesen)|Ausfallwahrscheinlichkeit]].

== Literatur ==
* {{BibISBN|9783446419667}}

== Weblinks ==
* [http://lamspeople.epfl.ch/kirrmann/Pubs/FaultTolerance/Fault_Tolerance_Tutorial_HK.pdf Fault Tolerant Computing in Industrial Automation by Hubert Kirrmann, ABB Research Center, Switzerland] (PDF; 1,16&nbsp;MB)

[[Kategorie:Fehlergröße]]
[[Kategorie:Risikomanagement]]
[[Kategorie:Ereigniszeitanalyse]]