Quelltext der Seite Auflösung (Blockplan)

Eine '''Auflösung'''<ref name="BP">Beutelspacher (1982)</ref> eines 2-[[Blockplan]]es (einer speziellen [[Inzidenzstruktur]]) ist in der [[Endliche Geometrie|endlichen Geometrie]] eine Verallgemeinerung des ''Parallelismus'' von Blockplänen. So ist die Partition der Menge der ''d''-dimensionalen Unterräume als Blöcke einer [[Affine Geometrie|affinen Geometrie]] <math>AG_d(n,q)</math> in Parallelenscharen eine 1-Auflösung dieser Geometrie als 2-Blockplan. Ein Blockplan, der eine Auflösung zulässt, heißt '''auflösbarer Blockplan''',<ref name="BP" /> zerfällt bei dieser Auflösung die Blockmenge in eine maximale Anzahl ''c'' von ''verallgemeinerten Parallelen-''Scharen, dann spricht man von einer '''starken Auflösung'''<ref name="BP" /> und nennt den Blockplan '''stark auflösbar'''.<ref name="BP" />

== Definitionen ==
* Sei <math>\mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I)</math> ein <math>2-(v,k,\lambda)</math>-Blockplan. Eine ''Auflösung'' von <math>\mathcal{I}</math> ist eine Partition der Blockmenge <math>\mathfrak{B}</math> von <math>\mathcal{I}</math> in ''Scharen'' <math>\{\mathfrak{B}_1,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math>, so dass es positive ganze Zahlen <math>\{ \rho_1,\ldots,\rho_c\}</math> gibt mit der Eigenschaft, dass jeder Punkt in <math>\mathfrak{p}</math> auf genau <math>\rho_i</math> Blöcken von <math>\mathfrak{B}_i</math> liegt. Die Zahlen <math>\rho_1,\ldots,\rho_c</math> heißen die ''Parameter'' der Auflösung. Sind alle Parameter einer Auflösung gleich <math>\rho</math>, so spricht man von einer <math>\rho</math>-Auflösung.
* Ein Blockplan heißt ''auflösbar'' bzw. <math>\rho</math>-''auflösbar'', wenn er eine Auflösung bzw. eine <math>\rho</math>-Auflösung besitzt.
* Ist <math>\mathcal{I}</math> ein auflösbarer Blockplan mit ''c'' Klassen und gilt <math>b+1 = v+c</math>, dann wird diese Auflösung ''starke Auflösung'' des Blockplanes und der Blockplan ''stark auflösbar'' genannt.
* Sind <math>B,C\in\mathfrak{B}_i</math> zwei Blöcke eines auflösbaren Blockplanes in derselben Klasse <math>\mathfrak{B}_i</math>, dann schreibt man auch <math>B\parallel C</math> und nennt die Blöcke ''parallel bezüglich der Auflösung''. Der so definierte verallgemeinerte Parallelismus ist offenbar eine [[Äquivalenzrelation]] auf der Menge der Blöcke.
* Für eine Auflösung <math>\{\mathfrak{B}_1,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math> setzt man <math>m_i=|\mathfrak{B}_i|, 1\leq i\leq c</math> für die Anzahl der Blöcke in der Schar <math>\mathfrak{B}_i</math>.

== Eigenschaften ==
Sei <math>\mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I)</math> ein <math>2-(v,k,\lambda)</math>-Blockplan, der eine Auflösung <math>\{\mathfrak{B}_1,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math> mit den Parametern <math>\rho_1,\ldots,\rho_c</math> besitzt. Dann gilt<ref>Beutelspacher (1982), Lemma 5.1.1</ref>
# <math>m_i\cdot k = v\cdot \rho_i,\quad (1\leq i\leq c),</math>
# <math>\rho_1+\cdots+\rho_c=r,\quad m_1+\cdots+m_c=b,</math>
# Besitzt <math>\mathcal{I}</math> eine <math>\rho</math>-Auflösung, so ist ''k'' ein Teiler von <math>v\cdot \rho</math> und jede Klasse hat dieselbe Anzahl ''m'' von Blöcken.
* Ist <math>\mathcal{I}</math> ein auflösbarer Blockplan mit ''c'' Klassen, dann ist <math>b+1\geq v+c</math>.<ref>Beutelspacher (1982), Korollar 5.1.2</ref> Eine ''starke'' Auflösung ist also eine Auflösung mit der für die Blockmenge <math>\mathfrak{B}</math> von <math>\mathcal{I}</math> größtmöglichen Anzahl an Scharen.

=== Satz von Hughes und Piper über starke Auflösungen {{Anker|Satz von Hughes-Piper}} ===
* Der folgende '''Satz von Hughes und Piper'''<ref>Hughes, Piper (1976); Beutelspacher (1982), Hauptsatz 5.1.9</ref> charakterisiert die starken Auflösungen:
: Sei <math>\mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I)</math> ein <math>2-(v,k,\lambda)</math>-Blockplan mit ''b'' Blöcken, der eine Auflösung <math>\{\mathfrak{B}_1,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math> besitzt. Dann gilt <math>b+1\geq v+c</math> und Gleichheit genau dann, wenn es zwei nichtnegative Zahlen <math>\mu_I</math> („innere Schnittzahl“) und <math>\mu_A</math> („äußere Schnittzahl“) mit folgenden Eigenschaften gibt:
::* Je zwei verschiedene Blöcke derselben Klasse haben stets genau <math>\mu_I</math> Schnittpunkte und
::* je zwei Blöcke aus verschiedenen Klassen haben stets genau <math>\mu_A</math> Schnittpunkte.

=== Satz von Beker über auflösbare 3-Blockpläne {{Anker|Satz von Beker}} ===
* Der '''Satz von Beker'''<ref>Beker (1977)</ref> klärt die Frage, wann ein stark auflösbarer Blockplan ein 3-Blockplan ist:
:: Die stark auflösbaren 3-Blockpläne sind genau die [[Hadamard-Blockplan|Hadamard 3-Blockpläne]].<ref>Beutelspacher (1982), Satz 5.1.10</ref>

== Beispiele ==
* Jeder Blockplan <math>\mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I)</math> besitzt die ''triviale'' Auflösung <math>\{\mathfrak{B}\}</math>, d.&nbsp;h. jeder Blockplan ist ''r''-auflösbar. – Die Zahl <math>r=b_1</math> gibt bei einem Blockplan an, mit wie vielen Blöcken ein beliebiger Punkt inzidiert.
* Ist <math>\{\mathfrak{B}_1,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math> eine Auflösung von <math>\mathcal{I}</math>, dann erhält man wieder eine Auflösung von  <math>\mathcal{I}</math>, wenn man gewisse Scharen zu einer neuen Schar vereinigt. Zum Beispiel sind <math>\{\mathfrak{B}_1\cup\mathfrak{B}_2,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math> und <math>\{\mathfrak{B}_1\cup\ldots\cup\mathfrak{B}_{c-1},\mathfrak{B}_c\}</math> wieder Auflösungen von <math>\mathcal{I}</math>.
* Ein Blockplan ist genau dann 1-auflösbar, wenn er einen Parallelismus besitzt. Die Auflösung <math>\{\mathfrak{B}_1,\ldots,\mathfrak{B}_c\}</math> ist die Einteilung der Blockmenge in Parallelenscharen und es gilt <math>c=r=b_1</math>, die innere Schnittzahl ist dann <math>\mu_I=0</math>, die äußere Schnittzahl braucht aber nicht konstant sein.
:* Speziell ist eine affine Geometrie  <math>AG_d(n,q)</math> mit ihrem gewöhnlichen Parallelismus 1-auflösbar und es gilt dann <math>m_i=b/r</math>, das heißt die Anzahl der Parallelen in jeder Schar ist gleich, die äußere Schnittzahl ist konstant, falls <math>d=n-1</math>, also die Blockmenge die Menge der [[Hyperebene]]n des Raumes ist.
:* Jeder affine Blockplan ist durch seinen Parallelismus 1-auflösbar, auch hier ist <math>m_i=b/r</math> für jede Parallelenschar gleich.

== Verallgemeinerung: Taktische Zerlegung ==
Jede Auflösung eines 2-Blockplanes liefert zugleich auch eine spezielle [[taktische Zerlegung]] dieses Blockplanes. Bei dieser Verallgemeinerung des Konzeptes „Auflösung eines Blockplanes“ wird im Allgemeinen neben der Partitionierung der Blockmenge in (verallgemeinerte Parallelen-)Scharen auch die Punktmenge in mehrere „Punktklassen“ ''zerlegt''.

== Literatur ==
'''Artikel zu Einzelfragen'''
* {{Literatur
   |Autor=Daniel R. Hughes, Fred C. Piper
   |Titel=On resolutions and Bose’s theorem
   |Sammelwerk=Geom. Dedicata
   |Band=5
   |Datum=1976
   |Seiten=129–133
   |DOI=10.1007/BF00148147}}
* {{Literatur
   |Autor=Henry Beker
   |Titel=On strong tactical decompositions
   |Sammelwerk=Journal of the London Mathematical Society
   |Band=16
   |Datum=1977
   |Seiten=191–196
   |Online= [https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.99.5455 Abstract]
   |Abruf=2013-05-02}}

'''Lehrbücher'''
* {{Literatur
   |Autor=[[Albrecht Beutelspacher]]
   |Titel=Einführung in die endliche Geometrie I
   |TitelErg=Blockpläne
   |Verlag=Bibliographisches Institut
   |Ort=Mannheim / Wien / Zürich / New York
   |Datum=1982
   |ISBN=3-411-01632-9
   |Kapitel=Kapitel 5. Auflösungen und Zerlegungen
   |Seiten=196–240}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Thomas Beth]], [[Dieter Jungnickel]], [[Hanfried Lenz]]
   |Titel=Design Theory
   |Verlag=BI Wissenschaftsverlag
   |Ort=Mannheim
   |Datum=1986
   |ISBN=0-521-33334-2}}
* {{Literatur
   |Autor=D. R. Hughes, F. C. Piper
   |Titel=Projective planes
   |Verlag=Springer
   |Ort=Berlin / Heidelberg / New York
   |Datum=1973
   |Kommentar=Hier wird die Auflösbarkeit nur für die Spezialfälle der affinen Geometrien definiert und untersucht.}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Auflosung #Blockplan}}
[[Kategorie:Endliche Geometrie]]

[[en:Block design#Resolvable 2-designs]]