Quelltext der Seite Artinscher Modul

Der Begriff '''artinscher Ring''' oder '''artinscher Modul''' (nach [[Emil Artin]]) beschreibt im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Algebra]] eine gewisse Endlichkeitsbedingung. Der Begriff weist einige Analogien zum Begriff des [[Noetherscher Ring|noetherschen Rings]] auf, die beiden Begriffe sind aber nicht auf ganz einfache Weise miteinander verbunden. Zum Beispiel ist jeder artinsche Ring noethersch, aber nicht umgekehrt.

== Artinscher Modul ==
=== Definition ===
Ein [[Modul (Mathematik)|Modul]] <math>M</math> über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math> mit <math>1</math> heißt ''artinsch'', wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
* Jede nichtleere Menge von <math>R</math>-Untermoduln von <math>M</math> hat ein minimales Element bezüglich Inklusion.
* Jede absteigende Folge von Untermoduln wird stationär, d.&nbsp;h. in einer Kette <math> M_1\supseteq M_2\supseteq M_3\supseteq\dotsb</math> gibt es einen Index <math>n</math>, so dass für alle <math>i>n</math> gilt: <math>M_i = M_n</math>.
* Für jede Familie <math>\left( M_i \right)_{i \in I}</math> von Untermoduln existiert eine endliche Teilmenge <math>I_0</math> von <math>I</math>, so dass gilt: <math>\bigcap_{i \in I} M_i = \bigcap_{i \in I_0} M_i</math>

=== Beispiele ===
* Jeder endliche Modul ist artinsch.
* Jeder endlich erzeugte Modul über einem artinschen Ring ist artinsch.
* <math> \mathbb{Z} </math> ist '''kein''' artinscher <math> \mathbb{Z} </math>-Modul.
* Eine endliche direkte Summe artinscher Moduln ist artinsch.
* Ist <math>R</math> eine (assoziative) Algebra über einem [[Körpertheorie|Körper]] <math>K</math>, und hat ein <math>R</math>-Modul <math>M</math> endliche <math>K</math>-Dimension, so ist <math>M</math> artinsch. Beispielsweise sind die Ringe <math>K\times K</math> und <math>K[T]/(T^n)</math> artinsch.
* Die [[Prüfergruppe]] <math> \mathbb{Z}\left[\tfrac1p\right]\Big/\mathbb{Z} </math> als <math> \mathbb{Z} </math>-Modul ist artinsch, jedoch nicht <math> \mathbb{Z}\left[\tfrac1p\right] </math>.

=== Eigenschaften ===
* Jeder [[Injektivität|injektive]] [[Endomorphismus]] ist ein [[Automorphismus]].
* Für eine [[exakte Sequenz]] von Moduln <math> 0\rightarrow M_1\rightarrow M_2\rightarrow M_3\rightarrow 0 </math> sind äquivalent:
*# <math> M_2 </math> ist artinsch,
*# <math> M_1,M_3 </math> sind artinsch.
* Für einen (Links-)Modul <math>M</math> über einem (links-)artinschen Ring <math>R</math> sind äquivalent:
**M ist (links-)artinsch,
**M ist (links-)[[Noetherscher Modul|noethersch]],
**M ist endlich erzeugt.

== Artinscher Ring ==
=== Definition ===
Ein Ring <math>R</math> heißt ''linksartinsch'', wenn <math>R</math> artinsch als <math>R</math>-Linksmodul ist.

Ein Ring <math>R</math> heißt ''rechtsartinsch'', wenn <math>R</math> artinsch als <math>R</math>-Rechtsmodul ist.

Ein Ring <math>R</math> heißt ''artinsch'', wenn <math>R</math> links- und rechtsartinsch ist.

(Man beachte: Die Untermoduln sind dann gerade die [[Ideal (Ringtheorie)|(Links- / Rechts-)Ideale]].)

=== Beispiele ===
* Körper sind artinsch.
* Sei <math>K</math> ein Körper, <math>R</math> eine endlich erzeugte <math>K</math>-Algebra (d.&nbsp;h. <math> R \simeq K[X]/I </math> für ein geeignetes Ideal <math> I \subseteq K[X] </math>), dann ist <math>R</math> ein artinscher Ring genau dann, wenn <math> \dim_K(R) < \infty </math>.
* <math> \begin{pmatrix}
    \mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\
    0 & \mathbb{Q}
  \end{pmatrix}
   </math> ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.
* <math> \begin{pmatrix}
    \mathbb{Q} & \mathbb{R} \\
    0 & \mathbb{R}
  \end{pmatrix}
  </math> ist rechtsartinsch, aber nicht linksartinsch.

=== Eigenschaften ===
* Ein artinscher Ring ist [[Noetherscher Ring|noethersch]].
* Jeder injektive Endomorphismus ist ein Automorphismus.<ref>{{Literatur |Autor=Mario Sperl |Titel=Jeder surjektive Endomorphismus eines noetherschen Rings ist bijektiv. |Ort=Schierling |Datum=2022-03-01 |Seiten=4}}</ref>
* Genauer ist ein kommutativer Ring mit Einselement genau dann artinsch, wenn er noethersch und [[Krulldimension|nulldimensional]] ist (also wenn jedes [[Primideal]] ein [[maximales Ideal]] ist).
* Ein artinscher [[Integritätsring]] ist bereits ein Körper. Es gilt sogar folgende stärkere Aussage: Ein Integritätsring, der die absteigende Kettenbedingung für [[Hauptideal]]e erfüllt, ist ein Körper.
* Ist in einem Ring das [[Nullideal]] Produkt [[Maximales Ideal|maximaler Ideale]], so ist der Ring genau dann artinsch, wenn er noethersch ist.
* In einem artinschen Ring existieren nur endlich viele [[Maximales Ideal|maximale Ideale]] (und damit nur endlich viele [[Primideal]]e).
* In einem artinschen Ring ist das [[Radikal (Mathematik)|Nilradikal]] [[Nilpotentes Element|nilpotent]].
* Jeder artinsche Ring ist endliches Produkt artinscher [[Lokaler Ring|lokaler]] Ringe.

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Artinian ring
| Autor = K. A. Zhevlakov
| Url = http://eom.springer.de/a/a013450.htm
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Modul (Mathematik)]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]