Quelltext der Seite Arens-Fort-Raum

Der '''Arens-Fort-Raum''', benannt nach den Mathematikern [[Richard Friederich Arens|R. F. Arens]] und [[Marion Kirkland Fort|M. K. Fort]], ist ein speziell konstruiertes Beispiel eines [[Topologischer Raum|topologischen Raumes]], der auf Grund seiner Eigenschaften oft als Gegenbeispiel verwendet wird.

== Definition ==
[[Datei:ArensFortSpace ZeroNeighbourhood.svg|300px|mini|Typische Nullumgebung, nur die Spalten 2,3 und 5 enthalten nicht fast alle Punkte (unter der Annahme, dass das Muster der obersten 6 Punkte fortgesetzt wird).]]

Die zugrunde liegende Menge ist <math>\N^2</math>, also die Menge aller Paare <math>(m,n)</math> natürlicher Zahlen <math>m,n = 0,1,2,3,4,....</math>.
Die Teilmenge <math>\{(m,n); n\in \N\}</math> heißt <math>m</math>-te Spalte.
Die Menge <math>\N^2</math> wird zu einem topologischen Raum, dem ''Arens-Fort-Raum'', indem die folgenden Mengen als [[Offene Menge|offen]] erklärt werden:
* Jede Menge in <math>\N^2</math>, die den Nullpunkt <math>(0,0)</math> nicht enthält.
* Jede Menge, die den Nullpunkt und alle bis auf endlich viele Punkte in allen außer endlich vielen Spalten enthält.

== Topologische Eigenschaften ==
* Der Arens-Fort-Raum ist ein [[Normaler Raum|normaler]] [[Hausdorff-Raum]].
* Jeder Punkt ist [[Abzählbarkeit|abzählbarer]] Durchschnitt [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossener]] [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]].
* Der Arens-Fort-Raum ist ein [[Lindelöf-Raum]].
* Genau die endlichen Teilmengen sind [[Kompakter Raum|kompakt]].
* Der Arens-Fort-Raum ist [[Hemikompakter Raum|hemikompakt]].<ref>Joshi 1983, Chapter 4, Section 2, Example 10</ref>

== Fehlende Eigenschaften ==
* Der Arens-Fort-Raum genügt weder dem ersten noch dem zweiten [[Abzählbarkeitsaxiom]].
* Der Arens-Fort-Raum ist nicht [[Metrisierbarkeit|metrisierbar]].
* Der Arens-Fort-Raum ist nicht kompakt.

== Gegenbeispiele ==
* In metrischen Räumen folgt aus der [[Separabler Raum|Separabilität]] das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Der Arens-Fort-Raum zeigt, dass dies im Allgemeinen nicht gilt, denn er ist separabel (er besteht selbst nur aus abzählbar vielen Punkten), genügt aber nach Obigem nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
* Zählt man die Punkte aus <math>\N^2\setminus \{(0,0)\}</math> wie bei [[Cantors erstes Diagonalargument|Cantors erstem Diagonalargument]] ab, so erhält man eine Folge <math>(x_n)_n</math>, die immer wieder Folgenglieder in jeder Spalte und damit in jeder Nullumgebung hat.
::<math>
  \begin{array}{cccccccccc}
     x_6 \\
     \uparrow & \searrow \\
     x_5 & & x_7 & & \ddots \\
     & \nwarrow & & \searrow & & \nwarrow \\
     x_1 & & x_4 & & x_8 & & x_{11} \\
     & \searrow & & \nwarrow & & \searrow & & \nwarrow \\
     & & x_2 & \rightarrow & x_3 & & x_9 & \rightarrow & x_{10}
  \end{array}
</math>
: <math>(0,0)</math> ist einziger [[Häufungspunkt]] dieser Folge, aber keine [[Teilfolge]] dieser Folge konvergiert gegen <math>(0,0)</math>.
* Unterräume von [[Kelley-Raum|Kelley-Räumen]] sind im Allgemeinen keine Kelley-Räume. Der Arens-Fort-Raum ist kein Kelley-Raum, denn die kompakten Teilmengen sind genau die endlichen, er ist aber mittels [[Stone-Čech-Kompaktifizierung]] Unterraum eines kompakten und damit eines Kelley-Raums.
* Aus der [[Kompakte Konvergenz|kompakten Konvergenz]] folgt nicht die [[lokal gleichmäßige Konvergenz]]. Betrachtet man die durch
::<math>f_k(m,n)=\begin{cases} 1 & \mbox{falls } m+n \mbox{ ungerade und } m+n\le k\\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}</math>
:und
::<math>f(m,n)=\begin{cases} 1 & \mbox{falls } m+n \mbox{ ungerade} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}</math>
:definierten Funktionen <math>\N^2\rightarrow \R</math>, so konvergiert die Funktionenfolge <math>(f_k)_{k\in \N}</math> punktweise gegen <math>f</math>. Da genau die endlichen Mengen kompakt sind, liegt sogar kompakte Konvergenz vor. Jede Funktion <math>f_k</math> ist stetig, denn sie ist auf der Nullumgebung <math>\{(0,0)\}\cup (\N^2\setminus \{0,\ldots, k\}^2)</math> konstant gleich 0, aber die Grenzfunktion <math>f</math> ist unstetig, da sie in jeder Nullumgebung den Wert 1 annimmt. Insbesondere liegt keine lokal gleichmäßige Konvergenz vor, denn sonst müsste die Grenzfunktion stetig sein.

== Literatur ==

* [[Richard Arens]]: ''Note of Convergence in Topology.'' In: ''[[Mathematics Magazine]].'' Bd. 23, Nr. 5, 1950, S. 229–234, [[doi:10.2307/3028991]].
* [[Lynn Arthur Steen]], J. Arthur Seebach: ''Counterexamples in Topology.'' 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1978, ISBN 0-387-90312-7.
* {{cite book |last=Joshi |first=K. D. |title=Introduction to General Topology |publisher=New Age International |year=1983 |language=en |isbn=978-0-47027-556-6}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Topologischer Raum]]