Quelltext der Seite Analytisches Signal

Ein '''analytisches Signal''' ist in der [[Signaltheorie]] eine [[Komplexe Zahl|komplexwertige]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] der Zeit, deren Imaginärteil die [[Hilbert-Transformation|Hilbert-Transformierte]] des Realteils ist. Die Bezeichnung ''analytisch'' drückt aus, dass die Funktion im Komplexen differenzierbar ist (siehe [[analytische Funktion]]). Hieraus ergibt sich, dass im Spektrum eines analytischen Signals im Gegensatz zu einem reellen Signal keine [[negative Frequenz|negativen Frequenzen]] auftreten. Das analytische Signal stellt einen Spezialfall aus der Gruppe der [[monogenes Signal|monogenen Signale]] dar.

Anwendungen von analytischen Signalen in der [[Signalverarbeitung]] liegen im Bereich der [[Einseitenbandmodulation]].

== Definition ==
[[Datei:Analytisches-signal-uebertragungsfunktion.svg|miniatur|Übertragungsfunktion, durch die ein analytisches Signal gebildet wird.]]
Ist ''x''(''t'') ein reelles Zeitsignal mit seiner [[Fourier-Transformation|Fourier-Transformierten]] ''X''(j&omega;), dann kann daraus ein Spektrum ''X''<sub>a</sub>(j&omega;) mit rein positiven Frequenzen gewonnen werden, indem eine Multiplikation mit der [[Heaviside-Funktion|Sprungfunktion]] &sigma;(&omega;) erfolgt.

:<math>\begin{align}
    X_a(\mathrm{j}\omega) & = X(\mathrm{j}\omega) \cdot 2 \sigma_{\frac{1}{2}}(\omega) \\ & =
    X(\mathrm{j}\omega) + X(\mathrm{j}\omega)\cdot \sgn(\omega)
\end{align}</math>

Dabei bezeichnet &omega; die [[Kreisfrequenz]] und j die [[imaginäre Einheit]]. Die inverse Fourier-Transformation <math>\mathcal{F}^{-1}</math> erfolgt nach der Konvention der unsymmetrischen Normierung. Im Weiteren zeigt sich die Bildungsvorschrift für das analytische Zeitsignal ''x''<sub>a</sub>(''t'') aus dem Zeitsignal ''x''(''t'').

:<math>\begin{align}
    x_a(t) & = x(t) + \mathrm{j}\, x(t) \ast \frac{1}{\pi t}\\
     & = x(t) + \mathrm{j}\, \mathcal{H}\{x(t)\}\\
     & = x(t) + \mathrm{j}\, \hat{x}(t)\\
\end{align}</math>

Dabei stellen <math>\ast</math> die [[Faltung (Mathematik)|Faltungsoperation]] und <math>\mathcal{H}</math> die [[Hilbert-Transformation]] dar. Bei einem analytischen Signal trägt der Imaginärteil in Bezug zu dem Realteil keinen zusätzlichen [[Informationsgehalt]].

;Beispiel:
Das reelle Zeitsignal ''x''(''t''), bestehend aus einer [[Sinusschwingung|Cosinusschwingung]], besitzt das analytische Signal ''x''<sub>a</sub>(''t''). Durch die Fourier-Transformation der [[Eulersche Identität|eulerschen Identität]] zeigt sich, dass ''x''<sub>a</sub>(''t'') ein einseitiges Spektrum ohne [[negative Frequenz]]en besitzt.

:<math>\begin{align}
    & x(t) = \cos(\omega_0 t) & \Rightarrow\quad & x_\mathrm{a}(t) = \cos(\omega_0 t) + \mathrm{j} \, \sin(\omega_0 t) = \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_0 t}, \quad \forall t\omega_0 \geq 0\\
    & \Downarrow & & \Downarrow \\
    & X(\mathrm{j}\omega)= \frac{\delta(\omega+\omega_0)}{2} + \frac{\delta(\omega-\omega_0)}{2} & & X_a(\mathrm{j}\omega) = \delta(\omega-\omega_0)\\
\end{align}
</math>

== Darstellungen ==
[[Datei:analytic.png|mini|Ein moduliertes Signal ''m''(''t'') in blau und der Betragsverlauf ''A''(''t'') des zugehörigen analytischen Signals]]
Wie jede komplexe Zahl kann das analytische Signal auch in [[Polarkoordinaten|komplexer Polardarstellung]] ausgedrückt werden.

:<math>x_\mathrm{a}(t) = \underline \gamma(t) = A(t)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(t)}\,</math>

Dabei wird &gamma;(''t'') als die ''komplexe Einhüllende'', ''A''(''t'') als die ''Betragseinhüllende'' und &phi;(''t'') als die ''Momentanphase'' bezeichnet.

<math>A(t) = |x_\mathrm{a}(t)| = \sqrt { x^2(t) + \hat{x}^2(t) }</math>

<math>\varphi(t) = \arg \left\{ x_\mathrm{a}(t) \right\}</math>

[[Datei:Produkt-modulator.svg|miniatur|System mit polarem Modulator]]
Von Bedeutung ist diese Darstellung in der [[Nachrichtentechnik]], da sich damit ein polarer Modulator ansteuern lässt, wohingegen sich der Real- und Imaginärteil zum Ansteuern eines kartesischen Modulators ([[IQ-Modulation|IQ-Modulator]]) eignet. Durch das Zusammenspiel mit einem entsprechend konstruierten Leistungsverstärker ({{EnS|''Power Amplifier''}} abgekürzt ''PA''), hat das erstgenannte System einen besseren Wirkungsgrad.

Ein moduliertes Signal ''m''(''t'') wird dabei aus der Trägerfrequenz <math>\Omega_T</math> und der komplexen Einhüllenden entsprechend der folgenden Gleichung erzeugt.

:<math>m(t) = \Re \left( \underline \gamma(t) \cdot \mathrm{e}^{j\Omega_T t}\right) = A(t) \cdot \cos(\Omega_T t + \varphi(t))</math>

== Modulation ==
[[Datei:Modulation und analytisches signal.svg|miniatur|Modulation und Demodulation eines komplexen Signals]]
Durch Multiplikation lässt sich auf die Trägerfrequenz <math>\Omega_T</math> ein komplexes Signal <math>\underline g (t)</math> aufprägen, wodurch das komplexe modulierte Signal <math>\underline m (t)</math> entsteht. Die [[Demodulation]] erfolgt durch Multiplikation mit einem komplexen Zeiger der in entgegengesetzter Richtung rotiert.

:<math>\underline m(t) = \underline g(t) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega_T t}</math>
:<math>\underline g(t) = \underline m(t) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega_T t}</math>
:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega_T t} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega_T t} = 1</math>

Der Realteil und der Imaginärteil erfordern jeweils einen eigenen Übertragungspfad. In der Praxis wird oft darauf verzichtet. Durch Rechnung zeigt sich, dass es sich beim modulierten Signal <math>\underline m (t)</math> um ein analytisches Signal handelt, also der Imaginärteil redundant zum Realteil vorliegt, womit auch nur einer von beiden übertragen werden muss.

:<math>\underline m(t) = \left[ \Re(\underline g(t)) + \mathrm{j} \Im(\underline g(t)) \right] \ \cdot\ 
    \left[ \cos(\Omega_T t) + \mathrm{j} \sin(\Omega_T t) \right]</math>

Vorausgesetzt bei ''x''(''t'') handelt es sich um ein bandbegrenztes Signal, dessen Frequenzanteile oberhalb von <math>\omega_0</math> eine [[Amplitude]] von null aufweisen, dann gilt folgende Hilbert-Transformation:
:<math>\mathcal{H}\{x(t)\cdot \cos(\omega_0 t)\} = x(t) \cdot \sin(\omega_0 t)</math>

:<math>\underline m(t) = m(t) + \mathrm{j}\mathcal{H}\{ m(t) \}</math>

Der Imaginärteil lässt sich Empfängerseitig durch die Hilbert-Transformation regenerieren.

:<math>m(t) = \Re\left(\underline g(t)\right) \cdot \cos(\Omega_T t) -
    \Im\left(\underline g(t)\right) \cdot \sin(\Omega_T t) </math>
:<math>\underline g(t) = \left[ m(t) + \mathrm{j} \mathcal{H}\{m(t)\}\right] \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega_T t}</math>

Neben dem gezeigten Verfahren existieren weitere Möglichkeiten zum Erzeugen und Auflösen des gleichen modulierten Signals.

== Literatur ==
* {{bibISBN|3835100726}}

== Weblinks ==
* [https://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html Analytic Signals and Hilbert Transform Filters] (engl.)

[[Kategorie:Signalverarbeitung]]