Quelltext der Seite Algebraischer Zahlkörper

Ein '''algebraischer Zahlkörper''' oder kurz ein '''Zahlkörper''' (alt Rationalitätsbereich) ist in der [[Mathematik]] eine endliche [[Körpererweiterung|Erweiterung]] des [[Körper (Algebra)|Körpers]] der [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] <math>\Q</math>. Die Untersuchung algebraischer Zahlkörper ist ein zentraler Gegenstand der [[Algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]], eines Teilgebiets der [[Zahlentheorie]].

Eine wichtige Rolle spielen dabei die [[Ganzheitsring]]e algebraischer Zahlkörper, die Analoga des Rings der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\Z</math> im Körper <math>\Q</math> darstellen.

== Definition und einfache Eigenschaften ==
Ein algebraischer Zahlkörper <math>K</math> ist definiert als endliche Körpererweiterung des Körpers <math>\Q</math> der rationalen Zahlen. Das bedeutet, dass <math>K</math> als [[Vektorraum]] über <math>\Q</math> eine endliche [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] hat. Diese Dimension heißt ''Grad'' des Zahlkörpers.

Als endliche Erweiterungen sind Zahlkörper stets auch [[Algebraische Erweiterung|algebraische Erweiterungen]] von <math>\Q</math>; das heißt, jedes Element eines Zahlkörpers ist Nullstelle eines [[Polynom]]s mit rationalen Koeffizienten und ist daher eine [[algebraische Zahl]]. Umgekehrt ist allerdings nicht jede algebraische Erweiterung von <math>\Q</math> ein Zahlkörper: Beispielsweise ist der Körper <math>\mathbb A</math> aller algebraischen Zahlen zwar eine algebraische, aber keine endliche Erweiterung von <math>\Q</math>, also ''kein'' algebraischer Zahlkörper.

Nach dem [[Satz vom primitiven Element]] sind Zahlkörper [[einfache Körpererweiterung]]en von <math>\Q</math>, lassen sich also in der Form <math>\Q(\xi)</math> als [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] ''einer'' algebraischen Zahl <math>\xi</math> zu <math>\Q</math> darstellen.

== Ganzheit ==
Ein Element <math>x</math> eines Zahlkörpers <math>K</math> wird ''[[Ganzheit (kommutative Algebra)|ganz]]'' genannt, wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms (Leitkoeffizient 1) mit Koeffizienten aus <math>\Z</math> ist. Das heißt, <math>x</math> erfüllt eine Gleichung der Gestalt
:<math>x^m + c_{m-1} x^{m-1} + \dotsb + c_1 x + c_0 = 0</math>
mit ganzen Zahlen <math>c_0, \dotsc, c_{m-1} \in \Z</math>. Solche Zahlen werden auch [[ganzalgebraische Zahl]]en genannt.

Die ganzen Zahlen bilden einen [[Unterring]] von <math>K</math>, der ''[[Ganzheitsring]]'' von <math>K</math> genannt wird und üblicherweise mit <math>\mathcal O_K</math>, <math>O_K</math> oder auch <math>\Z_K</math> bezeichnet wird.

== Beispiele ==
* Als [[trivial]]es Beispiel ist <math>\Q</math> selbst ein Zahlkörper (vom Grad&nbsp;1). Erwartungsgemäß gilt <math>\mathcal{O}_\Q = \Z</math>, d.&nbsp;h., die ganzen rationalen Zahlen sind die „normalen“ ganzen Zahlen.
* Der Körper <math>\Q(i) = \{a + b i \in \Complex : a,b \in \Q\}</math> der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] mit rationalen Real- und Imaginärteilen ist ein Zahlkörper vom Grad&nbsp;2. Der zugehörige Ganzheitsring ist <math>\Z[i] = \{a + b i \in \Complex : a,b \in \Z\}</math>, der Ring der (ganzen) [[Gaußsche Zahl|gaußschen Zahlen]].
* Allgemeiner bilden die [[Quadratischer Zahlkörper|quadratischen Zahlkörper]] <math>\Q\left(\sqrt{d}\right)</math> mit [[quadratfrei]]em <math>d \in \Z \setminus \{1\}</math> genau die Zahlkörper vom Grad&nbsp;2. Für die Ganzheitsringe ergibt sich
::<math>\Z\left[\sqrt{d}\right]</math>, falls <math>d</math> kongruent 2 oder 3 [[Modulo|mod]] 4 ist,
::<math>\Z\left[\tfrac{1+\sqrt{d}}{2}\right]</math>, falls <math>d</math> kongruent 1 mod 4 ist.
* Die [[Kreisteilungskörper]] <math>\Q(\zeta_n)</math> mit einer [[Primitive Einheitswurzel|primitiven]] <math>n</math>-ten Einheitswurzel <math>\zeta_n</math> sind Zahlkörper vom Grad&nbsp;<math>\varphi(n)</math> mit der [[Eulersche Phi-Funktion|eulerschen φ-Funktion]]. Der Ganzheitsring ist <math>\Z[\zeta_n]</math>.

== Basen ==
Da ein Zahlkörper <math>K</math> vom Grad&nbsp;<math>n</math> ein <math>n</math>-dimensionaler <math>\Q</math>-Vektorraum ist, besteht jede [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>K</math> aus genau <math>n</math> Elementen. Ist <math>\{x_1,\dotsc,x_n\}</math> eine solche Basis, dann lässt sich jedes Element <math>x \in K</math> schreiben in der Form
:<math>x = a_1 x_1 + \dotsb + a_n x_n</math>
mit eindeutig bestimmten Koeffizienten <math>a_j \in \Q</math>, die jedoch von der Wahl der Basis abhängen.
Gilt <math>K = \Q(\xi)</math>, dann besitzt <math>K</math> die spezielle Basis <math>\left\{1,\xi,\xi^2,\dotsc,\xi^{n-1}\right\}</math>, wobei der Grad <math>n</math> von <math>K</math> gleich dem Grad des [[Minimalpolynom (Körpertheorie)|Minimalpolynom]]s der algebraischen Zahl <math>\xi</math> ist.

Eine Basis von <math>K</math> heißt ''Ganzheitsbasis'', wenn sich jedes ganze Element <math>x \in \mathcal O_K</math> in der Form <math>x = a_1 x_1 + \dotsb + a_n x_n</math> mit <math>a_1,\dotsc,a_n \in \Z</math> schreiben lässt. Beispielsweise ist <math>\left\{1,\sqrt{5}\right\}</math> eine Basis von <math>\Q\left(\sqrt{5}\right)</math>, aber keine Ganzheitsbasis, denn nicht alle Elemente des Ganzheitsrings <math>\Z\left[\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right]</math> lassen sich als ganzzahlige Linearkombinationen von 1 und <math>\sqrt{5}</math> schreiben. Dagegen ist <math>\left\{1, \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}</math> eine Ganzheitsbasis von <math>\Q\left(\sqrt{5}\right)</math>.

Eine andere basisabhängige Darstellung von Elementen eines Zahlkörpers <math>K</math> ist die ''Matrixdarstellung''. Sei dazu <math>x \in K</math> fest gewählt, dann ist durch die Multiplikation mit <math>x</math> eine [[lineare Abbildung]] <math>A_x \colon K \to K</math>, <math>A_x(z) =  x \cdot z</math> gegeben. Dieser [[Endomorphismus]] lässt sich bezüglich einer festen Basis durch eine quadratische Matrix [[Abbildungsmatrix|darstellen]].
Die [[Determinante]] und die [[Spur (Mathematik)|Spur]] der Abbildung (also der darstellenden Matrix), die von der Wahl der Basis unabhängig sind, werden ''[[Norm (Körpererweiterung)|Norm]]'' bzw. ''[[Spur (Körpererweiterung)|Spur]]'' von <math>x</math> genannt und sind wichtige Hilfsmittel für Rechnungen und Beweise in algebraischen Zahlkörpern.

== Verallgemeinerung und Einordnung ==
Die algebraischen Zahlkörper bilden zusammen mit den [[Funktionenkörper]]n <math>\mathbb{F}_p(T)</math> der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] <math>p</math> die Klasse der [[Globaler Körper|globalen Körper]], die zusammen mit den [[Lokaler Körper|lokalen Körpern]], zu denen etwa die Körper <math>\Q_p</math> der [[p-adische Zahl|''p''-adischen Zahlen]] gehören, die wichtigsten Untersuchungsobjekte der algebraischen Zahlentheorie darstellen.

== Siehe auch ==
* [[Idealklassengruppe]]
* [[Dirichletscher Einheitensatz]]
* [[Kummer-Erweiterung]]
* [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz]], [[Artinsches Reziprozitätsgesetz]]
* [[Klassenkörpertheorie]]
* [[Brauer-Gruppe]]
* [[Iwasawa-Theorie]]
* [[Dedekindsche Zeta-Funktion]]

== Literatur ==
* [[Falko Lorenz]]: ''Algebraische Zahlentheorie''. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1993, ISBN 3-411-16701-7.
* [[Stefan Müller-Stach]], Jens Piontkowski: ''Elementare und algebraische Zahlentheorie. Ein moderner Zugang zu klassischen Themen.'' Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0211-5 (''Vieweg Studium'').
* [[Jürgen Neukirch]]: ''Algebraische Zahlentheorie''. Springer-Verlag, Berlin 2006. ISBN 3-540-37547-3.

{{SORTIERUNG:Algebraischer Zahlkorper}}
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Körpertheorie]]