Quelltext der Seite Algebraische Varietät

In der klassischen [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], ist eine '''algebraische Varietät''' ein geometrisches Objekt, das durch [[Polynom]]gleichungen beschrieben werden kann.

== Definitionen ==
=== Affine Varietäten ===
Es sei <math>K</math> ein fester, [[algebraisch abgeschlossen]]er [[Körper (Algebra)|Körper]].

Eine ''affine [[algebraische Menge]]'' ist eine Teilmenge eines [[Affiner Raum|affinen Raums]] <math>K^n</math>, die die Form
:<math>\{x\in K^n\mid f_1(x)=\dotsb=f_k(x)=0\}</math>
für eine (endliche) Menge <math>\{f_1,\dotsc,f_k\}</math> von Polynomen in <math>K[X_1,\dotsc,X_n]</math> hat. ([[Hilberts Basissatz]] sagt aus, dass man jedes unendliche System von Polynomgleichungen durch ein dazu äquivalentes mit endlich vielen Gleichungen ersetzen kann.)

Eine ''affine Varietät'' ist eine ''[[Irreduzibler topologischer Raum|irreduzible]]'' affine algebraische Menge, d.&nbsp;h. eine nichtleere algebraische Menge, die nicht die Vereinigung zweier echter algebraischer Teilmengen ist.<ref>Definition z.&nbsp;B. bei Hartshorne ''Algebraic Geometry''. Von manchen Autoren wird aber auch auf das ''irreduzibel'' in der Definition verzichtet, z.&nbsp;B. in Hazewinkel ''Encyclopedia of Mathematics'', [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Irreducible_variety Springer Online Reference]. Vergleiche auch Eisenbud ''Commutative Algebra with applications to algebraic geometry'', Springer, S.&nbsp;32</ref>

Die algebraischen Teilmengen einer affinen Varietät können als abgeschlossene Mengen einer [[Topologischer Raum|Topologie]] aufgefasst werden, der [[Zariski-Topologie]]. Eine ''quasi-affine Varietät'' ist eine offene Teilmenge einer affinen Varietät.

Für eine Menge <math>Z\subseteq K^n</math> sei <math>I(Z)</math> das Verschwindungsideal, also das [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] aller Polynome, die auf ganz <math>Z</math> verschwinden:
:<math>I(Z)=\{f\in K[X_1,\dotsc,X_n]\mid f(x)=0 \ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ x\in Z\}</math>

Der [[Koordinatenring]] einer affinen Varietät <math>V</math> ist der [[Faktorring|Quotientenring]]
:<math>K[V]:=K[X_1,\dotsc,X_n]/I(V)</math>.
Es werden also solche Polynome miteinander identifiziert, die als Funktion auf <math>V</math> übereinstimmen.

Der [[Quotientenkörper]] von <math>K\left[V\right]</math> ist der [[Rationale Funktion#Abweichende Bedeutung in der abstrakten Algebra|Körper der rationalen Funktionen]] <math>K(V)</math>.

=== Projektive Varietäten ===
{{Hauptartikel|Projektive Varietät}}

In manchen Zusammenhängen zeigen affine Varietäten kein gutes Verhalten, da „Punkte im Unendlichen“ fehlen. Projektive Varietäten sind hingegen [[Vollständige algebraische Varietät|vollständig]]. Diese Tatsache spiegelt sich zum Beispiel im [[Satz von Bézout]] wider, der für die Anzahl der Schnittpunkte projektiver ebener Kurven eine exakte Formel liefert, für affine ebene Kurven hingegen nur eine Abschätzung.

Es sei <math>P^n</math> der <math>n</math>-dimensionale [[Projektiver Raum|projektive Raum]] über dem Körper <math>K</math>. Für ein [[homogenes Polynom]] <math>f\in K[X_0,\dotsc,X_n]</math> und einen Punkt <math>x=[x_0:\dotsc:x_n]</math> ist die Bedingung <math>f(x_0,\dotsc,x_n)=0</math> unabhängig von den gewählten [[Homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] von <math>x</math>.

Eine ''projektive algebraische Menge'' ist eine Teilmenge des projektiven Raumes, die die Form
:<math>\{x\in P^n\mid f_1(x)=\dotsb=f_k(x)=0\}</math>
für homogene Polynome <math>f_1,\dotsc,f_k</math> in <math>K[X_0,\dotsc,X_n]</math> hat.

Eine ''projektive Varietät'' ist eine irreduzible projektive algebraische Menge.

Auch auf projektiven Varietäten wird die Zariski-Topologie so definiert, dass die abgeschlossenen Mengen genau die algebraischen Teilmengen sind. Eine ''quasi-projektive Varietät'' ist eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät.

Für eine projektive algebraische Menge <math>Z\subseteq P^n</math> sei <math>I(Z)</math> das Verschwindungsideal, also das Ideal, das durch die homogenen Polynome, die auf ganz <math>Z</math> verschwinden, erzeugt wird. Der ''homogene Koordinatenring'' einer projektiven Varietät <math>V</math> ist der Quotientenring <math>K[X_0,\dotsc,X_n]/I(Z)</math>.

== Morphismen affiner Varietäten ==
Sind <math>V\subset K^m, W\subset K^n</math> affine Varietäten, dann ist eine Abbildung <math>\phi \colon V\rightarrow W</math> ein Morphismus von <math>V</math> nach <math>W</math>, wenn es eine polynomiale Abbildung <math>\Phi \colon K^m\rightarrow K^n</math> mit <math>\Phi\mid_V=\phi</math> gibt.

Ein Morphismus <math>\phi</math> ist ein Isomorphismus, wenn es einen Morphismus <math>\psi \colon W\rightarrow V</math> mit <math>\phi\circ\psi=\mathrm{id}_W, \psi\circ\phi=\mathrm{id}_V</math> gibt.

== Dimension ==
Die ''[[Krulldimension]]'' einer algebraischen Varietät <math>V</math> ist die größte Zahl <math>n</math>, so dass eine Kette <math>Z_0\subsetneq Z_1\dotsb\subsetneq Z_n</math> irreduzibler abgeschlossener Teilmengen von <math>V</math> existiert.

Die Dimension einer affinen Varietät ist gleich der [[Dimension (kommutative Algebra)|Dimension]] ihres Koordinatenringes. Die Dimension einer projektiven Varietät ist um Eins kleiner als die Dimension ihres homogenen Koordinatenringes.

== Singularitäten ==
Ein Punkt <math>x</math> einer algebraischen Varietät oder allgemeiner eines [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemas]] heißt ''singulär'' (bzw.: ist eine ''Singularität''), wenn der zugehörige [[Lokaler Ring|lokale Ring]] nicht [[Regulärer lokaler Ring|regulär]] ist. Für abgeschlossene Punkte algebraischer Varietäten ist dies äquivalent dazu, dass die Dimension des [[Zariski-Tangentialraum]]es größer als die Dimension der Varietät ist.

Als Auflösung der Singularitäten einer Varietät <math>V</math> bezeichnet man eine nicht-singuläre Varietät <math>W</math> mit einem [[Eigentlicher Morphismus|eigentlichen]] [[Birationale Äquivalenz|birationalen]] Morphismus <math>f \colon W\rightarrow V</math>.

== Literatur ==
* [[Klaus Hulek]]: ''Elementare Algebraische Geometrie''. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2000, ISBN 3-528-03156-5.
* [[Robin Hartshorne]]: ''Algebraic Geometry''. Springer-Verlag, New York 1977, ISBN 0-387-90244-9.

== Weblinks ==
* [http://de.arxiv.org/pdf/1407.7478 The structure of algebraic varieties]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Algebraische Varietat}}
[[Kategorie:Algebraische Varietät| ]]