Quelltext der Seite Affine Hülle

'''Affine Hülle''' ist ein [[Universelle Eigenschaft|universeller]] Begriff aus der [[Mathematik|mathematischen]] Theorie der [[Affiner Raum|affinen Räume]]. Nahe verwandt ist der Begriff der [[Lineare Hülle|'''linearen Hülle''']]. Man nennt die affine Hülle von <math>M</math> auch '''Verbindungsraum''', vor allem dann, wenn die Teilmenge <math>M</math> selbst eine Vereinigung von zwei oder mehr affinen Teilräumen <math>M=U \cup V</math> ist.

== Definition und Eigenschaften ==
=== Definition ===
Sei <math> A</math> der zu einem <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum gehörende [[Affiner Raum|affine Raum]] und <math>M \subseteq A</math> eine Teilmenge von <math>A</math>.
Dann ist die affine Hülle von <math>M</math> der kleinste affine Teilraum von <math>A</math>, der die Menge <math>M</math> ganz enthält.

=== Konstruktion ===
Mit den Bezeichnungen aus der Definition wird aus <math>M</math> ein beliebiger Punkt <math>P_0</math> gewählt. Er dient als Aufpunkt der affinen Hülle. Dann wird zur Menge der Verbindungsvektoren <math>V(M)=\lbrace \overrightarrow{P_0Q} \mid Q \in M \rbrace </math> die [[lineare Hülle]] <math>H</math> gebildet. <math>H</math> ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus <math>V(M)</math>, also die lineare Hülle von <math>V(M)</math> in dem Vektorraum, der zum affinen Raum <math> A</math> gehört. Dieser Teil der Konstruktion ist ausführlicher im Artikel [[Lineare Hülle]] beschrieben. Nun ist <math>P_0+H</math> die affine Hülle von <math>M</math>.

Die affine Hülle der leeren Menge ist die leere Menge.

=== Eigenschaften ===
Die affine Hülle einer beliebigen Teilmenge <math>M</math> eines affinen Raumes <math>A</math>
* ist eindeutig bestimmt (als konkrete Menge, nicht nur bis auf Isomorphie),
* ist ein affiner Raum mit einer [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] zwischen −1 ([[leere Menge]]) und der Dimension des Gesamtraums,
* enthält die [[konvexe Hülle]] der Menge <math>M</math> und ist auch deren affine Hülle, sofern <math>A</math> ein reeller affiner Raum ist.

Die Abbildung, die jeder Teilmenge eines affinen Raumes ihre lineare Hülle zuordnet, ist ein [[Hüllenoperator]].

In der Menge <math>T</math> der affinen Teilräume eines affinen Raumes (einschließlich der leeren Menge und des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die affine Hülle der Vereinigungsmenge“ als [[zweistellige Verknüpfung]] einführen, hier wird, wenn <math>U, V \in T </math> sind, <math>U \vee V</math> für diese affine Hülle geschrieben, sie wird dann auch als Verbindungsraum der Teilräume bezeichnet. Die dazu [[Dualität (Mathematik)|duale]] Verknüpfung ist dann die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet <math>T</math> dann einen [[Verband (Mathematik)|Verband]].

* Für die Dimensionen des Verbindungsraumes und des Schnittes von zwei affinen Teilräumen gibt es eine Dimensionsformel, siehe dazu [[Affiner Unterraum]].

== Beispiele ==
* Die affine Hülle von zwei beliebigen verschiedenen Punkten im Raum ist deren [[Verbindungsgerade]].
* Die affine Hülle von drei Punkten des Raumes ist eine Gerade, falls die drei Punkte auf ''einer'' gemeinsamen Geraden liegen, sonst die Ebene, auf der alle drei Punkte liegen.
* Die affine Hülle einer ebenen Figur im Raum (Dreieck, Kreis usw.) ist die Ebene, die die Figur enthält.
* Die affine Hülle der Polynommenge <math> \lbrace 1, x^2, x^3 \rbrace \subseteq\R [ x ]</math> ist die [[Kurvenschar]] <math> \lbrace 1+a(x^2-1)+b(x^3-1) : a,b \in \R \rbrace</math>. Dieses Beispiel macht deutlich, dass die affine Hülle in der Regel ''kein'' Vektorraum ist.

== Siehe auch ==
* [[Lineare Hülle]]
* [[Konvexe Hülle]]

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Uwe Storch, Hartmut Wiebe
   |Titel=Lineare Algebra
   |Reihe=Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker
   |BandReihe=II
   |Auflage=2., korrigierte
   |Verlag=BI-Wissenschafts-Verlag
   |Ort=Mannheim
   |Datum=1990
   |ISBN=3-8274-0359-6
   |Online=[http://d-nb.info/956468195/04 Inhaltsverzeichnis]
   |Abruf=2011-12-25}}

== Weblinks ==
* Rolf Waldi: [http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Mat4/waldi/skriptlinalg/kapV_para2.pdf Beschreibung von Verbindungsräumen] (PDF; 60&nbsp;kB) im Skript [http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Mat4/waldi/index.html ''Ergänzungen zur Geometrie''.]

{{SORTIERUNG:Affine Hulle}}
[[Kategorie:Affiner Raum]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]