Quelltext der Seite Adjunktion (Einselement)

Die '''Adjunktion eines Einselementes''' wird in der [[Mathematik]] angewendet, wenn man einen [[Ring (Algebra)|Ring]] ohne [[Einselement]] in einen Ring mit Einselement einbetten will, zum Beispiel um einen Satz anwenden zu können, der nur für Ringe mit Einselement gilt.

== Ringe ==
Sei <math>A</math> ein beliebiger Ring. Dann definiere man auf dem [[kartesisches Produkt|kartesischen Produkt]] <math>A\times \Z</math> die Operationen
:<math> (a, \lambda) + (b, \mu) \,=\, (a+b, \lambda + \mu) </math>
:<math> (a, \lambda) \cdot (b, \mu) \,=\, (ab + \lambda b + \mu a, \lambda  \mu) </math>,
wobei <math>a,b\in A; \, \lambda,\mu \in \Z</math>. Man beachte, dass man Produkte wie <math>\lambda b</math> mittels der naheliegenden <math>\Z</math>-[[Modul (Mathematik)|Modul]]-Struktur bilden kann. Einfache Rechnungen zeigen, dass <math>A_1 := A\times \Z</math> mit diesen Operationen ein Ring mit dem Einselement <math>e := (0,1)</math> ist. Identifiziert man <math>A</math> mit <math>A \times \{0\} \subset A \times \Z,</math> so kann man ein Element <math>(a,\lambda)</math> als <math>a+\lambda e</math> schreiben und <math>A</math> als Unterring von <math>A_1</math> auffassen. Obige Definitionen schreiben sich dann in der folgenden erwarteten Form:
:<math> a+\lambda e \, + \, b + \mu e \, = \, a+b + (\lambda + \mu)e </math>
:<math> ( a+\lambda e) \cdot (b + \mu e) \, = \, ab + \lambda b + \mu a+ \lambda\mu e </math>.
Damit kann jeder Ring in einen Ring mit Einselement eingebettet werden. Wenn <math>A</math> bereits ein Einselement hatte, so erhält man in <math>A_1</math> ein neues Einselement, das ursprüngliche Einselement von <math>A</math> ist kein Einselement mehr in <math>A_1,</math> und die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] von <math>A_1</math> ist 0, auch wenn <math>A</math> positive Charakteristik hatte.

Bei obiger Konstruktion ist <math>A</math> ein [[zweiseitiges Ideal]] in <math>A_1</math> und es gilt <math>A_1/A \cong \Z</math>. Da <math>\Z</math> [[Nullteiler|nullteilerfrei]] ist, ist <math>A</math> sogar ein [[Primideal]] in <math>A_1</math>.

== Algebren ==
Wenn <math>A</math> nicht nur ein Ring, sondern sogar eine [[Algebra über einem Körper|Algebra]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> ist, so kann man obige Konstruktion so anpassen, dass der entstehende Ring wieder eine <math>K</math>-Algebra ist. Dazu hat man lediglich <math>\Z</math> durch <math>K</math> zu ersetzen, das heißt man bildet dann <math>A_1 := A\oplus K</math>. Die <math>K</math>-Algebren-Struktur ist durch die Formel
:<math> \mu \cdot (a+\lambda e) := \mu a + \mu\lambda e </math>
gegeben.
Wenn im Kontext von Algebren von der Adjunktion eines Einselementes die Rede ist, so ist in der Regel diese Konstruktion gemeint. Wieder ist <math>A</math> ein [[zweiseitiges Ideal]] in <math>A_1</math> und es gilt <math>A_1/A \cong K</math>. Da <math>K</math> ein Körper ist, ist <math>A</math> sogar ein [[maximales Ideal]] in <math>A_1</math>.

== Normierte Algebren ==
Ist <math>(A,\|\cdot\|)</math> eine [[normierte Algebra]] oder sogar eine [[Banachalgebra]] über <math>\mathbb K</math>, wobei <math>\mathbb K</math> für <math>\mathbb R</math> oder <math>\mathbb C</math> stehe, so kann man auch <math>A_1</math> zu einer normierten <math>\mathbb K</math>-Algebra machen, in dem man
:<math> \| a + \lambda e\| := \|a\| + |\lambda| </math> 
setzt.
Das macht <math>A_1</math> sicher zu einem normierten Raum, und die multiplikative Dreiecksungleichung von <math>(A,\|\cdot\|)</math> überträgt sich auf <math>(A_1,\|\cdot\|)</math>, denn

<math> \|( a+\lambda e) \cdot (b + \mu e)\| </math> = <math> \|ab + \lambda b + \mu a+ \lambda\mu e\| </math> :=  <math> \|ab + \lambda b + \mu a\| + |\lambda \mu| \le \|a\| \|b\| + |\lambda|\|b\| + |\mu|\|a\| + |\lambda||\mu| </math> = <math> (\|a\|+|\lambda|)(\|b\|+|\mu|) </math> = <math> \|a+\lambda e\| \cdot \|b+\mu e\|</math>.

Ist <math>A</math> eine Banachalgebra, das heißt als [[normierter Raum]] [[Vollständiger Raum|vollständig]], so ist auch <math>A_1</math> eine Banachalgebra.

Ist <math>A</math> eine <math> \mathbb C </math>-Banachalgebra mit [[Involution (Mathematik)|Involution]] <math>a\mapsto a^*</math>, so kann man die Involution durch die Formel
:<math> (a+\lambda e)^* := a^*+\overline{\lambda} e</math>
auf <math>A_1</math> erweitern. Ist die Involution auf <math>A</math> [[Isometrie|isometrisch]], so gilt dasselbe auch für <math>A_1</math>.

== C*-Algebren ==
Ist <math>A</math> eine [[C*-Algebra]] ohne Einselement, so liefert obige Konstruktion keine C*-Algebra <math>A_1</math>. Man kann aber eine andere [[Norm (Mathematik)|Norm]] auf <math>A_1</math> wählen, die <math>A_1</math> ebenfalls zu einer C*-Algebra macht. Dazu setzt man
:<math>\|a+\lambda e\| := \sup \{\|ab + \lambda b\|; \, b\in A, \|b\| \le 1 \}</math>.
Dies ist gerade die [[Operatornorm]] der Linksmultiplikation <math>L_{a+\lambda e}:A\rightarrow A, b\mapsto (a+\lambda e)b = ab + \lambda b</math>.

== Quellen ==
* [[Jacques Dixmier]]: ''Les C*-algèbres et leurs représentations'' (Les grands classiques Gauthier-Villars). Éditions Gabay, Paris 1996, ISBN 2-87647-013-6 (unveränderter Nachdr. d. Ausg. Paris 1969)
* Louis H. Rowen: ''Ring Theory, Bd. 1'' (Pure and applied mathematics; Bd. 127). Academic Press, Boston, Mass. 1988, ISBN 0-12-599841-4. 

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]