Quelltext der Seite Abbildungsmatrix

Eine '''Abbildungs-''', '''Darstellungs-''' oder '''Koordinatenmatrix''' ist eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] die in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] verwendet wird, um eine [[lineare Abbildung]] zwischen zwei endlichdimensionalen [[Vektorraum|Vektorräumen]] zu beschreiben.

Die aus diesen abgeleiteten [[Affine Abbildung|affinen Abbildungen]], [[Affinität (Mathematik)|Affinitäten]] und [[Projektivität]]en können ebenfalls durch Abbildungsmatrizen dargestellt werden.

== Begriff ==
=== Voraussetzungen ===
Um eine lineare Abbildung von Vektorräumen durch eine Matrix beschreiben zu können, muss zunächst sowohl im [[Urbild (Mathematik)|Urbildraum]] als auch im Zielraum eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] (mit Reihenfolge der Basisvektoren) gewählt worden sein. Bei einem Wechsel der Basen in einem der betroffenen Räume muss die Matrix transformiert werden, sonst beschreibt sie eine andere lineare Abbildung.

Wenn in der [[Definitionsmenge]] und der [[Zielmenge]] eine Basis gewählt worden ist, dann lässt sich eine lineare Abbildung eindeutig durch eine Abbildungsmatrix beschreiben. Allerdings muss dafür festgelegt werden, ob man die Koordinaten von Vektoren in Spalten- oder Zeilenschreibweise notiert. Die üblichere Schreibweise ist die in Spalten.

Dazu muss man den Vektor, der abgebildet werden soll, als Spaltenvektor (bzgl. der gewählten Basis) schreiben.

=== Aufbau bei Verwendung von Spaltenvektoren ===
Nach der Wahl einer Basis aus der [[Definitionsmenge]] und der [[Zielmenge]] stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix die [[Koordinaten#Mathematische Betrachtungen|Koordinaten]] der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums: Jede Spalte der Matrix ist das Bild eines Vektors der Urbildbasis. Eine Abbildungsmatrix, die eine Abbildung aus einem 4-dimensionalen Vektorraum in einen 6-dimensionalen Vektorraum beschreibt, muss daher stets 6 Zeilen (für die sechs Bildkoordinaten der Basisvektoren) und 4 Spalten (für jeden Basisvektor des Urbildraums eine) haben.

Allgemeiner: Eine lineare Abbildungsmatrix <math>M_B^A(f)</math> aus einem ''n''-dimensionalen Vektorraum mit Basis <math>A</math> in einen ''m''-dimensionalen Vektorraum mit Basis <math>B</math> hat ''m'' Zeilen und ''n'' Spalten. Das Bild eines Koordinatenvektors unter der linearen Abbildung <math>f</math> kann man dann so berechnen:

:<math> M_B^A(f) \cdot \vec x = \vec y</math>

Dabei ist <math>\vec y</math> der Bildvektor, <math>\vec x</math> der Vektor, der abgebildet wird, jeweils in den zur gewählten Basis ihres Raumes gehörenden Koordinaten.

Siehe hierzu auch: [[Lineare Abbildung#Abbildungsmatrix|Aufbau der Abbildungsmatrix]].

=== Verwendung von Zeilenvektoren ===
Verwendet man anstelle von Spaltenvektoren Zeilenvektoren, dann muss die Abbildungsmatrix transponiert werden.
Das bedeutet, dass nun die Koordinaten des Bildes des 1. Basisvektors im Urbildraum in der ersten Zeile stehen usw. Bei der Berechnung der Bildkoordinaten muss der (Zeilenkoordinaten-)Vektor nun von links an die Abbildungsmatrix multipliziert werden.

== Berechnung ==
=== Abbildungen auf Koordinatentupel ===
Sei <math>f\colon V \to \mathbb R^m</math> eine lineare Abbildung und
:<math> A = (\vec v_1, \vec v_2, \dotsc, \vec v_n) </math>
eine geordnete Basis von <math>V</math>.

Als Basis <math>B</math> für die Zielmenge <math>\mathbb R^m</math> wird die [[Standardbasis]] gewählt:
:<math> B=(\vec e_1, \vec e_2, \dotsc, \vec e_m) </math>

Die Abbildungsmatrix ergibt sich, indem man die Bilder der Basisvektoren von <math>V</math> als Spalten einer Matrix auffasst

:<math>M_B^A(f) = \begin{pmatrix}
\vert & \vert &  & \vert \\
f(\vec v_1) & f(\vec v_2) & \cdots & f(\vec v_n)\\
\vert & \vert &  & \vert
\end{pmatrix}.</math>

'''Beispiel:''' Man betrachte die lineare Abbildung
:<math> f\colon \R^3\to\R^2, f \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-3y\\ x-2y+z \end{pmatrix}. </math>
Sowohl im Urbildraum <math>\R^3</math> als auch im Zielraum <math>\R^2</math> wird die Standardbasis gewählt:
:<math> A=\left(\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \right) \, , \quad
B=\left(\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}\right) </math>

Es gilt:

:<math> f\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\end{pmatrix}, \quad
 f\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ -2\end{pmatrix} , \quad f\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix} </math>

Damit ist die Abbildungsmatrix von <math>f</math> bezüglich der gewählten Basen <math>A</math> und <math>B</math>

:<math> M_B^A (f)=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 0\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}. </math>

=== Abbildungen in allgemeine Vektorräume ===
Falls die Elemente des Zielraums keine Koordinatentupel sind, oder aus anderen Gründen eine andere Basis <math>B=(\vec w_1, \vec w_2, \dotsc, \vec w_m)</math> anstelle der Standardbasis gewählt wird, so müssen die Bilder <math>f(\vec v_j)</math> als [[Linearkombination]]en der Basisvektoren <math>\vec w_i</math> dargestellt werden, um die Einträge <math>a_{ij}</math> der Abbildungsmatrix zu ermitteln:

:<math> f(\vec v_j) = a_{1j} \vec w_1 + a_{2j} \vec w_2 + \dotsb + a_{mj} \vec w_m
 = \sum_{i = 1}^m a_{ij} \vec w_i</math>

Die Abbildungsmatrix ergibt sich dann, indem man die Koeffizienten der Linearkombinationen spaltenweise in die Matrix einträgt:

:<math> M_B^A(f)=\begin{pmatrix} a_{11} & \dots &a_{1j} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & \dots &a_{2j} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & &\vdots &  & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mj} & \dots & a_{mn}\end{pmatrix} </math>

'''Beispiel:''' Es werde wieder die lineare Abbildung <math>f</math> des obigen Beispiels betrachtet. Diesmal wird im Zielraum <math>\R^2</math> jedoch die geordnete Basis
:<math>B=\left(\begin{pmatrix} 2\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}\right) </math>
verwendet.
Nun gilt:

:<math>f\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\end{pmatrix}=1\,\begin{pmatrix} 2\\ 1\end{pmatrix}+0\,\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}, </math>
:<math>f\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ -2\end{pmatrix}=-1\,\begin{pmatrix} 2\\ 1\end{pmatrix}-1\,\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}, </math>
:<math>f\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}=-1\,\begin{pmatrix} 2\\ 1\end{pmatrix}+2\,\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix} </math>

Damit erhält man als Abbildungsmatrix von <math>f</math> bezüglich der Basen <math>A</math> und <math>B</math>:

:<math>M_B^A(f)=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix} </math>

== Koordinatendarstellung von linearen Abbildungen ==
Mit Hilfe der Abbildungsmatrix kann man den Bildvektor <math>f(\vec v)</math> eines Vektors <math>\vec v \in V</math> unter der linearen Abbildung <math>f \colon V \to W</math> berechnen.

Hat der Vektor <math>\vec v \in V</math> bezüglich der Basis <math>A = (\vec v_1, \dotsc, \vec v_n)</math> den Koordinatenvektor
:<math>\vec v_A = \vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\  x_n \end{pmatrix}</math>,
das heißt
:<math>\vec v = x_1 \vec v_1 + \dotsb + x_n \vec v_n</math>,
und hat der Bildvektor <math>f(\vec v)</math> bezüglich der Basis <math>B = (\vec w_1, \dotsc, \vec w_m)</math> von <math>W</math> die Koordinaten
:<math>f(\vec v)_B = \vec y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\  y_m \end{pmatrix}</math>,
das heißt
:<math>f(\vec v) = y_1 \vec w_1 + \dotsb + y_m \vec w_m</math>,
so gilt
:<math>y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} \,x_j</math>,
bzw. mit Hilfe der Abbildungsmatrix <math>M_B^A(f) = (a_{ij})</math> ausgedrückt:
:<math>\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} =
 \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn}
 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\  x_n \end{pmatrix}</math>,
kurz
:<math>\vec y = M_B^A(f) \cdot \vec x </math>
bzw.
:<math>f(\vec v)_B = M_B^A(f) \cdot \vec v_A</math>.

== Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen ==
[[Datei:Diagram for transformation matrix of composition.svg|270px|mini|Kommutatives Diagramm zur Übersicht]]
Die [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] von linearen Abbildungen entspricht dem [[Matrixprodukt|Matrizenprodukt]] der zugehörigen Abbildungsmatrizen:

Es seien <math>V</math>, <math>W</math> und <math>U</math> Vektorräume über dem Körper <math>K</math> und <math>f \colon V \to W</math> und <math>g \colon W \to U</math> lineare Abbildungen. In <math>V</math> sei die geordnete Basis <math>A = (\vec v_1, \dots, \vec v_n)</math> gegeben, in <math>W</math> die Basis <math>B = (\vec w_1, \dots, \vec w_m)</math> und die Basis <math>C = (\vec u_1, \dots, \vec u_l)</math> in <math>U</math>.
Dann erhält man die Abbildungsmatrix der verketteten linearen Abbildung
:<math>g \circ f\colon V \to U,</math>
indem man die Abbildungsmatrix von <math>g</math> und die Abbildungsmatrix von <math>f</math> (jeweils bezüglich der entsprechenden Basen) multipliziert:
:<math>M_C^A (g \circ f) = M_C^B(g) \cdot M_B^A(f)</math>
Man beachte, dass in <math>W</math> für beide Abbildungsmatrizen dieselbe Basis gewählt werden muss.

Begründung:
Es sei <math>M_B^A(f) = (a_{ij})</math>, <math>M_C^B(g) = (b_{ki})</math> und  <math>M_C^A (g \circ f) = (c_{kj})</math>.
Die <math>j</math>-te Spalte von <math>M_C^A (g \circ f)</math> enthält die Koordinaten des Bilds <math>(g \circ f) (\vec v_j)</math> des <math>j</math>-ten Basisvektors aus <math>A</math> bezüglich der Basis <math>C</math>:
:<math>\sum_{k=1}^l c_{kj} \vec u_k = (g \circ f)(\vec v_j)</math>
Berechnet man die rechte Seite mit Hilfe der Abbildungsmatrizen von <math>g</math> und <math>f</math>, so erhält man:
:<math>\begin{align}
(g \circ f)(\vec v_j) &= g\big(f(\vec v_j)\big) = g\left(\sum_{i=1}^m a_{ij}\, \vec w_i\right)
= \sum_{i=1}^m a_{ij}\, g(\vec w_i) \\ &= \sum_{i=1}^m a_{ij} \,\left(\sum_{k=1}^l b_{ki} \,\vec u_k \right)
= \sum_{k=1}^l \left(\sum_{i=1}^m b_{ki} \, a_{ij}\right) \,\vec u_k
\end{align}</math>
Durch Koeffizientenvergleich folgt
:<math>c_{kj} = \sum_{i=1}^m b_{ki} \, a_{ij}</math>
für alle <math>j</math> und <math>k</math>, also
:<math>(c_{kj}) = (b_{ki}) \cdot (a_{ij})</math>,
das heißt:
:<math>M_C^A (g \circ f) = M_C^B(g) \cdot M_B^A(f)</math>

== Verwendung ==
=== Basiswechsel ===
{{Hauptartikel|Basiswechsel (Vektorraum)|titel1=Basiswechsel}}
[[Datei:Change of basis.svg|400px|mini|Kommutatives Diagramm der beteiligten Abbildungen]]
Ist die Abbildungsmatrix einer Abbildung für bestimmte Basen bekannt, so lässt sich die Abbildungsmatrix für dieselbe Abbildung, jedoch mit anderen Basen, leicht berechnen. Dieser Vorgang wird als ''Basiswechsel'' bezeichnet. Es kann etwa sein, dass die vorliegenden Basen schlecht geeignet sind, um ein bestimmtes Problem mit der Matrix zu lösen. Nach einem Basiswechsel liegt die Matrix dann in einer einfacheren Form vor, repräsentiert aber immer noch dieselbe lineare Abbildung.<ref name="buch-WEB3-ozJKoAC-174">Larry Smith: ''Linear Algebra.'' Springer 1998, S. 174 {{Google Buch|BuchID=WEB3-ozJKoAC|Seite=174}}</ref>
Die Abbildungsmatrix <math>M_{B'}^{A'}(f)</math> berechnet sich aus der Abbildungsmatrix <math>M_B^A(f)</math> und den Basiswechselmatrizen <math>T_A^{A'}</math> und <math>T_{B'}^B</math> wie folgt:

:<math> M_{B'}^{A'}(f)=T_{B'}^B\cdot M_B^A(f)\cdot T_A^{A'} </math>

=== Beschreibung von Endomorphismen ===
Bei einer ''linearen Selbstabbildung'' (einem [[Endomorphismus]]) eines Vektorraums legt man gewöhnlich eine feste Basis des Vektorraumes als [[Definitionsmenge]] und [[Zielmenge]] zugrunde. Dann beschreibt die Abbildungsmatrix die Veränderung, die die Koordinaten eines beliebigen Vektors bezüglich dieser Basis bei der Abbildung erfahren. Die Abbildungsmatrix ist bei Endomorphismen stets
quadratisch, d.&nbsp;h. die Zahl der Zeilen stimmt mit der Zahl der Spalten überein.

=== Beschreibung von affinen Abbildungen und Affinitäten ===
{{Hauptartikel|Affine Abbildung}}
Nach der Wahl einer [[Affine Koordinaten|affinen Punktbasis]] in beiden [[Affiner Raum|affinen Räumen]], die durch eine affine Abbildung aufeinander abgebildet werden, kann diese Abbildung durch eine Abbildungsmatrix und eine zusätzliche Verschiebung oder – in [[Homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] durch eine ''erweiterte'' (auch: „homogene“) Abbildungsmatrix allein beschrieben werden.

== Beispiele ==

=== Orthogonalprojektion ===
Im dreidimensionalen Raum (mit der kanonischen Basis) kann man die [[Orthogonalprojektion]] eines Vektors auf eine [[Ursprungsgerade]] durch folgende Abbildungsmatrix beschreiben:

:<math>A_{P_n} = \begin{pmatrix} n_1^2 & n_1 n_2 & n_1 n_3 \\ n_1 n_2 & n_2^2 & n_2 n_3 \\ n_1 n_3 & n_2 n_3 & n_3^2 \end{pmatrix}</math>

Dabei sind <math>\vec n = ( n_1 , n_2 , n_3 )^T</math> die Koordinaten des normierten Richtungsvektors der Geraden. Wird anstatt auf eine Gerade auf eine Ebene mit den beiden zueinander senkrechten, normierten Richtungsvektoren <math>\vec p</math> und <math>\vec q </math> projiziert, so kann man dies in zwei Projektionen entlang der beiden Richtungsvektoren auffassen, und demnach die Projektionsmatrix für die Orthogonalprojektion auf eine [[Ursprungsebene]] folgendermaßen aufstellen:

:<math> A_{P_E} = A_{P_p} + A_{P_q} </math>

Die Projektionsmatrix um auf eine Ebene zu projizieren, ist also die Summe der Projektionsmatrizen auf ihre Richtungsvektoren.

=== Spiegelung ===
Wird anstatt einer Projektion eine [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] durchgeführt, so kann dies ebenfalls mit Hilfe der obigen Projektionsmatrix dargestellt werden. Für die [[Spiegelungsmatrix]] an einer Ursprungsgeraden mit normiertem Richtungsvektor <math>\vec n </math> gilt:

:<math> A_{S_n} = 2 A_{P_n} - E  </math>,

wobei <math>E</math> die [[Einheitsmatrix]] darstellt. Gleiches gilt für die Spiegelung an der Ebene:

:<math> A_{S_E} = 2 A_{P_E} - E  </math>.

Für die Spiegelung an einer Ebene (die durch den Ursprung geht) mit dem normierten Normalenvektor <math>\vec n </math> gilt:

:<math> A_{S_E} = E - 2 A_{P_n}  </math>.

=== Drehung ===
Wenn man im dreidimensionalen Raum um eine Ursprungsgerade mit normiertem Richtungsvektor <math>\vec n </math> dreht, lässt sich die hierfür nötige [[Drehmatrix]] folgendermaßen darstellen:

:<math> A_D = A_{P_n}\ \left( 1-\cos\alpha \right) + E\cos \alpha  + \begin{pmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{pmatrix}\sin \alpha </math>,

wobei <math>E</math> wieder die Einheitsmatrix und <math> \alpha </math> den Drehwinkel bezeichnet.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Transformation matrix|Abbildungsmatrix}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Matrix]]