Quelltext der Seite Σ-Endlichkeit

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Der Begriff der '''<math>\sigma</math>-Endlichkeit''' (auch '''<math>\sigma</math>-Finitheit''') beschreibt in der [[Maßtheorie]] die Eigenschaft eines [[Maß (Mathematik)|Maß]]es <math>\mu</math>, wenn die Grundmenge <math>X</math> des [[Maßraum]]es <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> als abzählbare Vereinigung von Mengen <math>A_1,A_2,\dots</math> mit endlichem Maß <math>\mu(A_n)<\infty</math> dargestellt werden kann. Der Begriff ist eine Verallgemeinerung des Begriffes der [[Endliches Maß|Endlichkeit]] eines Maßes, jedes endliche Maß ist auch <math>\sigma</math>-endlich. Der Begriff liefert auch eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem [[Maß (Mathematik)|Maß]] in <math>\sigma</math>-endliche und nicht <math>\sigma</math>-endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der [[Abzählbarkeit]] bezüglich der [[Anzahl]] von Elementen einer Menge. Allgemein ist die <math>\sigma</math>-Endlichkeit eine Eigenschaft von [[Mengenfunktion]]en in Verbindung mit einem [[Mengensystem]]. Oftmals wird aber auf die Angabe des Mengensystems verzichtet, wenn klar ist, um welches es sich handelt.

== Definition für Maße ==
Gegeben sei ein [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] <math> (X, \mathcal A ) </math>. Dann heißt ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] <math> \mu </math> ein <math> \sigma </math>-endliches Maß, wenn es eine der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
# Es existieren [[abzählbare Menge|abzählbar]] viele Mengen <math> A_1, A_2, A_3, \dots </math> aus <math> \mathcal A </math>, die außerdem <math> \mu(A_n) < \infty </math> für alle <math> n \in \N </math> erfüllen und die <math> X </math> überdecken. Es gilt also
#:<math> \bigcup_{n \in \N} A_n =X</math>.
#Es existieren abzählbar viele [[disjunkte Mengen]] <math> A_1, A_2, A_3, \dots </math> aus <math> \mathcal A </math>, die außerdem <math> \mu(A_n) < \infty </math> für alle <math> n \in \N </math> erfüllen und die <math> X </math> überdecken. Es gilt also
#:<math> \bigcup_{n \in \N} A_n =X</math>.
#Es existiert eine strikt positive (d.&nbsp;h. <math> f(x)> 0 </math> für alle <math> x \in X </math>) messbare Funktion <math> f </math>, so dass
#:<math> \int f(x) \mu(\mathrm dx)< \infty </math>.

Der [[Maßraum]] <math> (X, \mathcal A, \mu ) </math> wird dann auch als ''<math>\sigma</math>-endlicher Maßraum'' bezeichnet. Allgemeiner wird ein [[signiertes Maß]] <math>\sigma</math>-endlich genannt, wenn seine [[Variation (Maßtheorie)|Variation]] <math>\sigma</math>-endlich ist.

== Beispiele ==
Das [[Lebesgue-Maß]] <math> \lambda </math> auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]], ist nicht endlich, aber <math>\sigma</math>-endlich. Denn betrachtet man die Mengen
:<math> I_n:=(-n,n) \in \mathcal B(\R)</math>,
so ist <math> \lambda(I_n)=2n < \infty </math> und
:<math> \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n =\R </math>.
Somit erfüllt das Lebesgue-Maß das erste Kriterium in der obigen Konstruktion. Eine disjunkte Überdeckung mit Mengen endlichen Maßes wie im zweiten Punkt der Definition liefern beispielsweise die Mengen
:<math> B_n=I_n \setminus I_{n-1} </math>,
wobei <math> B_1=I_1 </math> ist. Dann ist <math> \lambda(B_n)=2 </math> und es gilt wieder
:<math> \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n =\R </math>.
Eine strikt positive Funktion mit endlichem Integral wie im dritten Punkt der Definition gefordert erhält man beispielsweise durch
:<math> f(x)= \sum_{n=1}^\infty \frac{\mathbf 1_{B_n}(x)}{2^n} </math>.
Hierbei ist <math> \mathbf 1_A </math> die [[Indikatorfunktion]] auf der Menge <math> A </math>.

Zu beachten ist, dass <math> \sigma</math>-Endlichkeit immer eine Eigenschaft eines Maßes in Kombination mit einem Messraum ist. So ist das [[Zählmaß (Maßtheorie)|Zählmaß]] auf einer Menge <math> M</math>, versehen mit der [[Potenzmenge]] als <math> \sigma</math>-Algebra endlich, wenn <math> M </math> endlich ist und genau dann <math> \sigma</math>-endlich, wenn <math> M </math> höchstens abzählbar ist.

== Anwendung ==
* Nicht endliche Maße können [[Pathologisches Beispiel|pathologische]] Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der <math>\sigma</math>-endlichen Maße teilt mit den [[Endliches Maß|endlichen Maßen]] einige angenehme Eigenschaften, <math>\sigma</math>-Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der [[Separabler Raum|Separabilität]] von [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]] verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der [[Satz von Radon-Nikodým]] und der [[Satz von Fubini]], gelten zum Beispiel nicht mehr für nicht <math>\sigma</math>-endliche Maße (mitunter ist jedoch eine Übertragung auf allgemeinere Fälle möglich, indem man den Satz für alle <math>\sigma</math>-endlichen Teilräume anwendet).
* Das [[Birkhoff-Integral]] für [[Banachraum]]-wertige Funktionen wird mit Hilfe von <math>\sigma</math>-endlichen Maßen definiert.

== Äquivalenz zu Wahrscheinlichkeitsmaßen ==

Zwei Maße <math>\mu</math> und <math>\nu</math> auf einem gemeinsamen [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] <math>(X, \mathcal A)</math> heißen [[Äquivalenz (Maßtheorie)|''äquivalent'']], wenn sie dieselben Nullmengen besitzen.
Das heißt, es gilt sowohl <math>\mu \ll \nu</math> als auch <math>\nu \ll \mu</math>, sie sind gegenseitig [[Absolut stetiges Maß|absolut stetig]].
Hierdurch ist tatsächlich eine [[Äquivalenzrelation]] auf Maßen erklärt.
Wir nehmen im Weiteren an, <math>\mu \not\equiv 0</math> sei nicht das Nullmaß.

Viele der Anwendungen <math>\sigma</math>-endlicher Maße ergeben sich nun aus dem folgenden Satz:
:''Jedes <math>\sigma</math>-endliche Maß <math>\mu</math> ist äquivalent zu einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math>.''

Die Bedeutung des Satzes liegt in der Äquivalenz zu einem ''endlichen'' Maß, selbst dann, wenn <math>\mu(X) = \infty</math> unendlich ist.
Insbesondere gibt es stets eine [[Integralrechnung#Axiomatischer Zugang|<math>\mu</math>-integrierbare]] Funktion <math>w \in L^1(\mu)</math>, so dass <math>0 < w(x) < 1</math> für alle <math>x \in X</math> gilt.

== Definition für Mengenfunktionen ==
=== Definition ===
Gegeben sei ein [[Mengensystem]] <math> \mathcal M </math> auf der Grundmenge <math> X </math>, also <math> \mathcal M \subset \mathcal P (X) </math>. Sei
:<math> \mu: \mathcal M \to [0,\infty] </math>

eine positive Mengenfunktion. Dann heißt die Mengenfunktion <math>\sigma</math>-endlich, wenn es eine [[abzählbar unendlich|abzählbare]] Folge <math> (A_n)_{n \in \N} </math> von Mengen aus <math> \mathcal M </math> gibt, so dass
:<math> \bigcup_{n=1}^\infty A_n = X </math>

gilt und
:<math> \mu(A_n)< \infty \text{ für alle } n \in \N </math>

gilt. Insbesondere muss die Menge <math> X </math> aber nicht im Mengensystem <math> \mathcal M </math> enthalten sein.

=== Bemerkung ===
Mit der obigen Definition lässt sich die <math> \sigma</math>-Endlichkeit auf allgemeinere Mengenfunktionen ausweiten. Eine der wichtigsten Anwendungen  dieses Begriffes ist der [[Maßerweiterungssatz von Carathéodory]], nach dem jedes ''<math>\sigma</math>-endliche'' [[Prämaß]] auf einem Halbring ''eindeutig'' zu einem [[Maß (Mathematik)|Maß]] auf der erzeugten [[σ-Algebra|<math>\sigma</math>-Algebra]] fortsetzbar ist. Ohne die <math>\sigma</math>-Endlichkeit folgt hier nicht die Eindeutigkeit.

== Verwandte Begriffe ==
Ein dem <math>\sigma</math>-endlichen Maß verwandter Begriff ist der eines [[Moderates Maß|moderaten Maßes]]. Hierbei handelt es sich um ein [[Borel-Maß]], für das eine abzählbare Überdeckung der [[Grundmenge]] mit offenen Mengen endlichen Maßes existiert.

Zudem existiert ein Begriff der [[s-finites Maß|s-Finitheit]]. Man nennt ein Maß <math> \mu </math> <math>s</math>-finit, falls es die [[Abzählbarkeit|abzählbare]] Summe von endlichen Maßen ist. Jedes <math>\sigma</math>-endliche Maß ist immer <math>s</math>-finit, aber nicht jedes <math>s</math>-finite Maß ist <math>\sigma</math>-endlich.

== Literatur ==
*{{Literatur
   |Autor=Jürgen Elstrodt
   |Titel=Maß- und Integrationstheorie
   |Auflage=6., korrigierte
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin Heidelberg
   |Datum=2009
   |ISBN=978-3-540-89727-9
   |DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
*{{Literatur
   |Autor=[[Achim Klenke]]
   |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie
   |Auflage=3.
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin Heidelberg
   |Datum=2013
   |ISBN=978-3-642-36017-6
   |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
*{{Literatur
   |Autor=[[Walter Rudin]]
   |Titel=Real and Complex Analysis
   |Auflage=3.
   |Verlag=McGraw-Hill
   |Ort=New York
   |Datum=1987
   |Sprache=en}}

{{SORTIERUNG:SigmaEndlichkeit}}
[[Kategorie:Maßtheorie]]