Quelltext der Seite Äquatoriale Welle

'''Äquatoriale Wellen''' sind in der [[Ozeanographie]] und [[Meteorologie]] [[Wasserwelle]]n, die sich entlang des Äquators ausbreiten. Die Begrenzung auf die Äquatornähe wird dabei durch den Nulldurchgang der [[Corioliskraft]] am Äquator verursacht. Typisch sind Begrenzungen auf 5–15° nördlicher bzw. südlicher Breite.

Die Wellen weisen dabei Wellenlängen in der Größenordnung von 1000&nbsp;km auf und sind mit den [[Planetarische Welle|planetarischen Wellen]] verwandt, die von [[Carl-Gustaf Rossby]] untersucht wurden. Rossby interessierte sich ursprünglich für die Nord-Süd-Auslenkung des [[Jetstream]]s, die er als [[Rossby-Welle#Atmosphärische Rossby-Wellen|Welle]] beschrieb.

Dieselben Wellengleichungen lassen sich auch im Ozean anwenden. Dabei werden horizontale Auslenkungen der [[Thermokline]] betrachtet, also der Wasserschicht zwischen dem warmen Oberflächenwasser und dem kalten Tiefenwasser. Die Amplitude der Tiefenänderung der Thermokline liegt dabei in der Größenordnung von 10–50&nbsp;m, während die Oberflächenamplitude nur wenige Zentimeter beträgt. Die Wellenlängen liegen bei 100–1000&nbsp;km, bei einer Ausbreitungsgeschwindigkeit von wenigen cm/s, d.&nbsp;h.&nbsp;eine Ausbreitung quer über den Pazifik dauert mehrere Monate. Eine derartige Verschiebung einer 50&nbsp;m dicken Warmwasserschicht vom südchinesischen Meer vor die Westküste von Mittelamerika ist einer der Erklärungsversuche des [[El Niño|El-Niño]]-Phänomens.<ref name="Kappas" />

Zur Beobachtung der Wellen misst man bei [[in situ|In-situ]]-Messungen stellvertretend für die Thermokline die Wassertiefe der 18°-Isotherme, also in welcher Wassertiefe die Wassertemperatur 18&nbsp;°C beträgt.<ref name="Kappas" /> Allerdings sind mittlerweile auch Satellitenmessungen genau genug, um die wenigen Zentimeter der Wasseroberflächenhöhe (SSH für ''sea-surface height'') aufzulösen. Zugleich werden auch andere Parameter wie die Temperatur (SST für ''sea-surface temperature'') mitgemessen.<ref name="Shinoda" />

Unter den äquatorialen Wellen unterscheidet man die äquatorialen Rossby-Wellen und die Trägheitsschwerewellen mit Moden ''m = 1, 2, …''. Darüber hinaus treten dabei noch Yanai-Wellen auf, die sich als ''m=0'' Mode derselben Dispersionsrelationen auffassen lassen. Die [[Kelvinwelle#Äquatoriale Kelvinwelle|äquatorialen Kelvin-Wellen]] werden durch vereinfachte Wellengleichungen beschrieben.<ref name="Jacobi" /><ref name="Bergmann" />

== Wellengleichungen ==
Die Bewegungsgleichungen für die Wellen erhält man, indem man eine Schicht einer inkompressiblen Flüssigkeit konstanter Dichte mit einer freien Oberfläche betrachtet. Die [[Kontinuitätsgleichung]]en enthalten dabei noch einen Beitrag von der [[Coriolis-Kraft]], die im sogenannten <math>\beta</math>-Ebenen-Modell betrachtet wird: Dabei wird die [[Meridianschnitt|meridionale]] Abhängigkeit des Coriolis-Parameters als [[Taylor-Reihe]] in der Entfernung zum Äquator <math> y</math> entwickelt:
:<math>f_\text{C} = 2 \Omega \sin\varphi + \frac{2 \Omega \cos\varphi}{a} y + \mathcal O(y^2)</math>
<math>\Omega</math> ist die Winkelgeschwindigkeit der [[Erdrotation]], <math>\varphi</math> der Breitengrad und <math>a</math> der Erdradius.

Aufgrund der Äquatornähe gilt <math>\sin\varphi \approx 0</math> und <math>\cos\varphi \approx 1</math>. Man erhält daher die Wellengleichungen:<ref name="Matsuno" /><ref name="Judt" />

:<math>\frac{\partial u}{\partial t} - \beta y v = - g \frac{\partial \zeta}{\partial x}</math>

:<math>\frac{\partial v}{\partial t} + \beta y u = - g \frac{\partial \zeta}{\partial y}</math>

:<math>\frac{\partial \zeta}{\partial t} + H\left(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}\right) = 0</math>

Dabei ist:
:<math>x</math> zonale Koordinate
:<math>y</math> meridionale Koordinate
:<math>u</math> [[Zonaler Wind|zonale Geschwindigkeitskomponente]]
:<math>v</math> [[Meridianschnitt|meridionale]] Geschwindigkeitskomponente
:<math>g</math> [[Schwerebeschleunigung]]
:<math>\zeta</math> Oberflächenauslenkung
:<math>\beta = \frac{2\Omega}{a} </math> Rossby-Parameter, in dieser Näherung eine Konstante
:<math>H</math> „Wassertiefe“, bzw. Schichtdicke.

In der Literatur werden die Gleichungen meist in eine dimensionslose Form konvertiert. Die Einheiten der Zeit und Länge sind dabei
:<math>\left[T\right] = \sqrt{\frac{1}{c \beta}} \mathrm{\ und\ } \left[L\right] = \sqrt{\frac{c}{\beta}}</math>,
wobei <math>c = \sqrt{g H}</math> die Geschwindigkeit von Schwerewellen in dieser „Wassertiefe“ ist.<ref name="Matsuno" /> Das Modell wird auch als ''Kanalmodell'' bezeichnet,<ref name="Hantel" /> bzw. wenn die konstante Dichte hervorgehoben werden soll als ''barotropes Modell''.<ref name="Matsuno" />

Zur Lösung der obigen Wellengleichungen setzt man die <math>x</math>- und <math>t</math>-Abhängigkeit von <math>u</math>, <math>v</math> und <math>\zeta</math> als <math>e^{i(k x - \omega t)}</math> an, also z.&nbsp;B. <math>v = e^{i(k x - \omega t)} \bar{v}</math>. Nach Eliminierung von <math>u</math> und <math>\zeta</math> ergibt sich
:<math>\frac{d^2 \bar{v}}{dy^2} + \left( \frac{\omega^2}{c^2} - k^2 - \frac{\beta k}{\omega} - \frac{\beta^2}{c^2} y^2 \right) \bar{v} = 0\ ,</math>
also die [[Schrödinger-Gleichung]] des [[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)|harmonischen Oszillators]]. Es ist daher
:<math>\bar{v}(y) = \mathrm{const}\cdot e^{-\frac{1}{2} \frac{\beta}{c} y^2} H_m\left(\sqrt{\frac{\beta}{c}} y\right)</math>
mit den [[Hermite-Polynom]]en <math>H_m</math> und den Moden ''m = 0, 1, 2, …''.<ref name="Matsuno" />

== Dispersionsrelationen ==
[[Datei:Dispersionsdiagram.jpg|mini|hochkant=2.5|Dispersionsrelation äquatorialer Wellen nach Matsuno<ref name="Matsuno" />, Wheeler-Kiladis<ref name="WheelerKiladis" /> und Judt<ref name="Judt" />]]
Als [[Dispersionsrelation]]en erhält man
:<math>\frac{\omega^2}{c_s^2} - k^2 - \frac{\beta k}{\omega} = \frac{\beta}{c_s} (2m + 1)\ .</math>
Die oben eingeführte Geschwindigkeit freier Schwerewellen wird dabei zur Unterscheidung von Gruppen- und Phasengeschwindigkeit der betrachteten Wellen mit <math>c_s = \sqrt{g H}</math> bezeichnet. Matsuno<ref name="Matsuno" /> klassifizierte die Wellen, indem er die ''für große Wellenzahl genäherten'' Lösungen der Dispersionsrelation darstellte:
:<math>\omega_{1/2} = \pm c_s \sqrt{k^2 + \frac{\beta}{c_s} (2m+1)}\ ,</math>
:<math>\omega_3 = - \frac{\beta k}{k^2 + \frac{\beta}{c_s} (2m+1)}\ .</math>
Man beachte, dass das auch für <math>k \to 0</math> Lösungen der Dispersionsrelationen sind.

In der gewählten Darstellung ist die Phasengeschwindigkeit für positive [[Wellenzahl]] ostwärts gerichtet, für negative Wellenzahl westwärts.<ref name="WheelerKiladis" />

=== Trägheitsschwerewellen ===
Die ersten beiden Lösungen werden dabei für <math>m \geq 1</math> als Trägheitsschwerewellen (engl.: ''inertio-gravity waves'') bezeichnet und haben west- und ostwärts gerichtete Phasengeschwindigkeit <math>c_{1/2} = \pm \frac{c_s}{k} \sqrt{k^2 + \frac{\beta}{c_s} (2m+1)}</math>. Die Lösungen weisen um die ''y''-Achse Minima bei <math>\sqrt{\frac{\beta}{c_s} (2m+1)}</math> auf. Je nach Richtung der Phasengeschwindigkeit werden diese Wellen mit ''EIG'' (''eastward inertio-gravity wave'') oder ''WIG'' abgekürzt.

=== Äquatoriale Rossby-Wellen ===
Die dritte Lösung identifizierte Matsuno für <math>m \geq 1</math> mit langsameren, westwärts laufenden [[Rossby-Welle]]n, wobei wie oben angedeutet im Gegensatz zu Rossbys Beschreibung die Coriolis-Kraft in Äquatornähe nur durch das <math>\beta</math> einbezogen wird. Die Phasengeschwindigkeit beträgt dabei <math>c_3 = -\frac{\beta}{k^2 + \frac{\beta}{c_s} (2m+1)}</math>.

Man beachte, dass für <math>m \geq 1</math> zwischen der maximalen Geschwindigkeit der äquatorialen Rossby-Welle und der minimalen Geschwindigkeit der Trägheitsschwerewellen eine deutliche Lücke zu erkennen ist.

=== Yanai-Wellen, auch gemischte Rossby-Schwerewellen {{Anker|Yanai-Welle}} ===
Für <math>m=0</math> lässt sich die Dispersionsrelation faktorisieren, wobei sich die Linien für die Wurzeln für die Trägheitsschwerewellen einerseits und für die Rossby-Welle andererseits schneiden. Es gibt sich eine durchgehende Linie, die ostwärts der Lösung für eine Trägheitsschwerelinie entspricht und westwärts einer Rossby-Welle. Die dritte Lösung muss ausgeschlossen werden, weil sie zu den Polen hin nicht gegen null geht.

Die so zusammengesetzte Linie für <math>m=0</math> schließt die Lücke im Spektrum, die wie oben erwähnt für die Moden mit <math>m \geq 1</math> auftritt. Diese Wellen wurden [[Michio Yanai]] zu Ehren '''Yanai-Wellen''' genannt.

Die Yanai-Welle verhält sich für niedrige Frequenzen wie eine [[Rossbywelle]] mit westwärtiger [[Phasengeschwindigkeit]] und für hohe Frequenzen wie eine [[Schwerewelle]] mit ostwärtiger Phasengeschwindigkeit. Aufgrund dieses gemischten Verhaltens wird die Yanai-Welle auch gemischte Rossby-Schwerewelle (engl.: ''mixed Rossby-gravity wave'' oder ''MRG'') genannt. Die [[Gruppengeschwindigkeit]] ist für Yanai-Wellen immer nach Osten gerichtet und liegt in der Größenordnung von 2 bis 3 m/s. Das bedeutet, dass sich diese Wellen relativ schnell ostwärts über den äquatorialen Ozean bewegen können und dass sie beispielsweise etwa einen Monat brauchen, um den Pazifik am Äquator zu überqueren.

=== Äquatoriale Kelvin-Wellen ===
Eine weitere Lösung der Wellengleichungen erhält man, indem man keine meridionale Geschwindigkeitskomponente zulässt und das ''v'' in den Wellengleichungen von vorneherein ausschließt. Diese Lösungen werden als [[Kelvinwelle#Äquatoriale Kelvinwelle|äquatoriale Kelvinwellen]] bezeichnet. Auch wenn sie nichts mit dem obigen Lösungsansatz zu tun haben, gab ihnen bereits Matsuno die Modenzahl „<math>m=-1</math>“.

[[Kelvin-Welle]]n treten gewöhnlich in Küstennähe auf, wo ihnen durch die Küste eine klare Randbedingung gegeben wird. Der Vorzeichenwechsel der Corioliskraft bildet am Äquator eine „Wand“ und stellt daher für die Kelvinwellen eine entsprechende Randbedingung dar wie eine Küste. Die Lösungen haben auf der Nordhalbkugel und der Südhalbkugel unterschiedliche Drehrichtung.

== Literatur ==
* John R. Apel: ''Principles of Ocean Physics.'' Academic Press, London u. a. 1987, ISBN 0-12-058865-X.
* Adrian E. Gill: ''Atmosphere-Ocean Dynamics'' (= ''International Geophysics Series'' 30). Academic Press, New York NY u. a. 1982, ISBN 0-12-283520-4.
* Joseph Pedlosky: ''Geophysical Fluid Dynamics.'' 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1987, ISBN 0-387-96388-X.
* {{Literatur |Autor=M. Wheeler, G.N. Kiladis |Titel=Convectively Coupled Equatorial Waves |TitelErg=Analysis of Clouds and Temperature in the Wavenumber–Frequency Domain |Sammelwerk=J. Atmospheric Sci. |Band=56 |Nummer=3 |Datum=1999 |Seiten=374–399 |DOI=10.1175/1520-0469(1999)056<0374:CCEWAO>2.0.CO;2}}
* {{Literatur |Autor=A. Solodoch, W.R. Boos, Z. Kuang, E. Tziperman |Titel=Excitation of Intraseasonal Variability in the Equatorial Atmosphere by Yanai Wave Groups via WISHE-Induced Convection |Sammelwerk=J. Atmospheric Sci. |Band=68 |Datum=2011 |Seiten=210–225 |DOI=10.1175/2010JAS3564.1}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Kappas">
{{Literatur |Autor=M.Kappas |Titel=Klimatologie: Klimaforschung im 21. Jahrhundert |TitelErg=Herausforderung für Natur- und Sozialwissenschaften |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2009 |ISBN=978-3-8274-2242-2 |Online={{Google Buch | BuchID=8yogBAAAQBAJ | Seite=130}}}}
</ref>
<ref name="Shinoda">
{{Literatur |Autor=T.Shinoda |Titel=Observation of first and second baroclinic mode Yanai waves in the ocean |Sammelwerk=Qu.J.Roy. Meteorological Soc. |Band=138 |Nummer=665 |Datum=2012 |Seiten=1018–1024 |DOI=10.1002/qj.968}}
</ref>
<ref name="Jacobi">
{{Internetquelle |autor=C.Jacobi, Institut für Meteorologie, Uni Leipzig |url=https://home.uni-leipzig.de/jacobi/vor_equ/Wellensysteme.pdf |titel=Äquatoriale Wellen - Zusammenfassung |abruf=2016-12-29 |format=PDF}}
</ref>
<ref name="Bergmann">
{{Literatur |Autor=G.Siedler, W.Zenk |Hrsg=W. Raith |Titel=Ozeanographie |Sammelwerk=Lehrbuch der Experimentalphysik - Ludwig Bergmann |Band=7 (Erde und Planeten) |Verlag=Walter de Gruyter |Datum=2001 |ISBN=978-3-11-016837-2 |Online={{Google Buch | BuchID=gwdgMuu57aEC | Seite=106 }}}}
</ref>
<ref name="Matsuno">
{{Literatur |Autor=T. Matsuno |Titel=Quasi-Geostrophic Motions in the Equatorial Area |Sammelwerk=J. Meteorological Soc. Japan. Ser. II |Band=44 |Nummer=1 |Datum=1966 |Seiten=25-43 |Online=https://www.jstage.jst.go.jp/article/jmsj1965/44/1/44_1_25/_pdf |Format=PDF |KBytes=2300}}
</ref>
<ref name="Judt">
{{Internetquelle |autor=F. Judt |url=http://www.rsmas.miami.edu/users/isavelyev/GFD-2/EquatorialWaveTheory.pdf |titel=Equatorial Wave Theory |datum=2007-04-23 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20161230142615/http://www.rsmas.miami.edu/users/isavelyev/GFD-2/EquatorialWaveTheory.pdf |archiv-datum=2016-12-30 |abruf=2016-12-29 |format=PDF |kommentar=Präsentation im Seminar ''Geophysical Fluid Dynamics 2'', Frühjahr 2007 |offline=1}}
</ref>
<ref name="Hantel">
{{Literatur |Autor=M. Hantel |Titel=Einführung Theoretische Meteorologie |Verlag=Springer |Datum=2013 |ISBN=978-3-8274-3056-4 |Online={{Google Buch | BuchID=tzEpBAAAQBAJ | Seite=246}}}}
</ref>
<ref name="WheelerKiladis">
{{Literatur |Autor=M. Wheeler, G.N. Kiladis |Titel=Convectively Coupled Equatorial Waves: Analysis of Clouds and Temperature in the Wavenumber–Frequency Domain |Sammelwerk=J. Atmosperic Sci. |Band=56 |Nummer=3 |Datum=1999 |Seiten=374-399 |DOI=10.1175/1520-0469(1999)056<0374:CCEWAO>2.0.CO;2}}
</ref>
</references>
{{SORTIERUNG:Aquatorial}}
[[Kategorie:Strömungen und Wellen]]