Weierstraßsches Majorantenkriterium

Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.

Aussage

Sei <math>(f_n)_{n\in \N}</math> eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge <math>A</math>. Seien <math>M_n</math> reelle Konstanten, so dass

für alle <math> n \geq 1</math> und alle <math>x</math> in <math>A</math> gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe <math>\textstyle \sum_{n=1}^{\infty} M_n</math>.

Dann gilt: Die Reihe

<math>\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)</math>

konvergiert absolut und gleichmäßig auf <math>A</math>.<ref>H. Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Vieweg+Teubner (2009), Satz 105.3, S. 555.</ref>

Beispiel

Sei <math>0<\alpha<1</math> eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion

<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty 2^{-n \alpha} e^{i2^n x}</math>

überall stetig, aber nirgends differenzierbar.<ref>E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis. An Introduction. University Press Group Ltd (2003), Theorem 3.1, S. 114.</ref> Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich

<math>\left| 2^{-n\alpha} e^{i 2^n x} \right| = 2^{- n \alpha}</math>

sowie

<math>\sum_{n=0}^\infty 2^{- n \alpha} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2^\alpha}\right)^n = \frac{1}{1 - 2^{-\alpha}}< \infty</math>

nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe <math>f(x)</math> gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen <math>f</math> konvergiert. Damit ist <math>f</math> als ein solcher Grenzwert stetig.

Literatur

Herbert Amann und Joachim Escher, Analysis 1, Birkhäuser, Basel, 2002. (siehe Satz V.1.6)

Einzelnachweise