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Weierstraßsche ℘-Funktion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Weierstraßsche p-Funktion)

In der Mathematik bezeichnet die Weierstraßsche ℘-Funktion (sprich „… p-Funktion“, siehe Weierstraß-p) eine bestimmte elliptische Funktion in Abhängigkeit eines Gitters. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Karl Weierstraß. Mithilfe der Weierstraßschen ℘-Funktion und ihrer Ableitung lassen sich elliptische Kurven über den komplexen Zahlen parametrisieren.

Definition

Datei:Weierstrass elliptic function P.png
Graph der ℘-Funktion mit den Invarianten <math>g_2=1+i</math> und <math>g_3=2-3i</math>, wobei die weißen Stellen für Pole und die schwarzen für Nullstellen stehen

Seien <math>\omega_1,\omega_2 \in \mathbb{C}\setminus\{0\} </math> zwei komplexe Zahlen, welche über <math>\mathbb{R}</math> linear unabhängig sind und sei <math>\Lambda:=\{m\omega_1+n\omega_2:m,n \in \mathbb Z \}</math> das Gitter, das von <math>\omega_1</math> und <math>\omega_2</math> erzeugt wird. Dann ist die ℘-Funktion zum Gitter <math>\Lambda</math> wie folgt definiert:

<math>\weierp(z,\omega_1,\omega_2):=\weierp(z,\Lambda):=\frac{1}{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac1{(z-\lambda)^2}-\frac1{\lambda^2}\right)</math>

Die Reihe konvergiert lokal gleichmäßig absolut in <math>\mathbb{C}\setminus\Lambda</math>. Häufig wird statt <math>\wp(z,\omega_1,\omega_2)</math> auch nur <math>\wp(z)</math> geschrieben.

Die Weierstraßsche ℘-Funktion ist gerade so konstruiert, dass sie einen Pol der Ordnung 2 an jeder Stelle <math>\lambda \in \Lambda</math> hat. Da die Summe <math>\textstyle \sum_{\lambda \in \Lambda} \frac1 {(z-\lambda)^2}</math> alleine nicht absolut konvergieren würde, ist es nötig, den Term <math>-\tfrac1{\lambda^2}</math> hinzuzufügen.<ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Motivation

Eine Kubik der Form <math>C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}=\{(x,y)\in\mathbb{C}^2:y^2=4x^3-g_2x+g_3\} </math>, wobei <math>g_2,g_3\in\mathbb{C}</math> komplexe Zahlen sind mit <math>g_2^3-27g_3^2\neq0</math>, lässt sich nicht rational parametrisieren.<ref name=":5" /> Dennoch würde man gerne eine Parametrisierung finden.

Für die Quadrik <math>K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}</math>, also den Einheitskreis, existiert bekanntlich eine (nichtrationale) Parametrisierung durch die Sinusfunktion und deren Ableitung, die Kosinusfunktion:

<math>\psi:\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\to K</math>, <math>t\mapsto(\sin(t),\cos(t))</math>.

Wegen der Periodizität des Sinus und des Kosinus ist hier <math>\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}</math> als Definitionsbereich gewählt, um eine injektive Abbildung zu erhalten.

Auf ganz analoge Weise erhält man auch eine Parametrisierung der Kubik <math>C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}</math> mit der doppeltperiodischen ℘-Funktion (siehe im Abschnitt „Zusammenhang mit elliptischen Kurven“). Diese Parametrisierung hat dann den Definitionsbereich <math>\mathbb{C}/\Lambda</math>, was topologisch einem Torus entspricht.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Es gibt noch eine weitere Analogie zu den trigonometrischen Funktionen. Betrachtet man die Integralfunktion

<math>a(x) = \int_0^x\frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)}}</math>,

dann lässt sich diese durch die Substitution <math>y = \sin(t)</math> und <math>s = \arcsin(x)</math> vereinfachen. Dadurch ergibt sich:

<math>a(x) = \int_0^sdt = s = \arcsin(x)</math>

Das bedeutet, <math>a^{-1}(x) = \sin(x)</math>. Also erhält man den Sinus als Umkehrfunktion einer Integralfunktion.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Auch elliptische Funktionen sind Umkehrfunktionen von Integralfunktionen, den elliptischen Integralen. Insbesondere erhält man die ℘-Funktion auf folgende Weise:

Sei

<math>u(z)=-\int_z^\infin\frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_2s-g_3}} </math>.

Dann lässt sich <math>u^{-1}</math> auf die komplexe Ebene fortsetzen und entspricht der ℘-Funktion.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Eigenschaften

  • <math>\wp</math> ist eine meromorphe Funktion mit einem Pol der Ordnung 2 an jedem Gitterpunkt <math>\lambda \in \Lambda</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
  • <math>\wp</math> ist eine homogene Funktion, denn es gilt
<math>\wp(\lambda z , \lambda\omega_{1}, \lambda\omega_{2}) = \lambda^{-2} \wp (z, \omega_{1},\omega_{2})</math> für <math>z \in \C</math> und <math>\lambda \in \C \setminus \{0\}</math>.
  • ℘ ist eine gerade Funktion. Das heißt, es gilt <math>\wp(z)=\wp(-z)</math> für alle <math>z \in \mathbb{C} \setminus \Lambda</math>, wie man auf folgende Weise sieht:
<math>\begin{align}

\wp(-z) &= \frac{1}{(-z)^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac1{(-z-\lambda)^2}-\frac1{\lambda^2}\right)\\ &= \frac{1}{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac1{(z+\lambda)^2}-\frac1{\lambda^2}\right)\\ &= \frac{1}{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac1{(z-\lambda)^2}-\frac1{\lambda^2}\right)=\wp(z) \end{align}</math>

Die vorletzte Gleichheit folgt aus <math>\{-\lambda:\lambda \in \Lambda\}=\Lambda</math>. Da die Summe absolut konvergiert, ändert diese Umordnung am Grenzwert nichts.

  • Die Ableitung von <math>\wp</math> ist gegeben durch
<math>\wp'(z)=-2\sum_{\lambda \in \Lambda}\frac1{(z-\lambda)^3}</math>.<ref name=":1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
  • <math>\wp </math> und <math>\wp'</math> sind doppeltperiodisch mit den Perioden <math>\omega_1</math> und <math>\omega_2</math>. Das bedeutet, es gilt<ref name=":1" />:
<math>\wp(z+\omega_1)=\wp(z)=\wp(z+\omega_2)</math> und <math>\wp'(z+\omega_1)=\wp'(z)=\wp'(z+\omega_2)</math>.

Daraus folgt, dass für alle <math>\lambda \in \Lambda</math> gilt: <math>\wp(z+\lambda)=\wp(z)</math> und <math>\wp'(z+\lambda)=\wp'(z)</math>. Funktionen, die meromorph und doppeltperiodisch sind, nennt man auch elliptische Funktionen.

Laurent-Entwicklung

Sei <math>r := \min\{{|\omega}|:\omega\neq0\}</math>. Dann hat die ℘-Funktion für <math>0<|z|<r</math> folgende Laurent-Reihe:

<math>\wp(z) = \frac1{z^2}+\sum_{n=1}^\infin (2n+1)G_{2n+2}z^{2n} </math>,

wobei

<math>G_n=\sum_{0\neq\omega\in\Lambda}\omega^{-n}</math> für <math>n\geq3</math> sogenannte Eisensteinreihen sind.<ref name=":1" />

Differentialgleichung

Wir setzen <math>g_2=60G_4</math> und <math>g_3=140G_6</math>. Dann erfüllt die ℘-Funktion folgende Differentialgleichung<ref name=":1" />:

<math>\wp'^2(z)=4\wp^3(z)-g_2\wp(z)-g_3</math>.

Dies lässt sich verifizieren, indem man den Pol an der Stelle <math>z=0</math> durch eine Linearkombination von Potenzen von <math>\wp</math> und <math>\wp'</math> eliminiert. Dann erhält man eine ganze, elliptische Funktion, die nach dem Satz von Liouville konstant sein muss.

Invarianten und modulare Diskriminante

Die Koeffizienten <math>g_2</math> und <math>g_3</math>, die in der Differentialgleichung auftauchen, heißen die Invarianten. Man betrachtet <math>g_2</math> und <math>g_3</math> als Funktionen in <math>\omega_1</math> und <math>\omega_2</math> und definiert die Diskriminante <math>\Delta:=g_2^3-27g_3^2</math>.

Wie man an der Eisensteinreihe erkennen kann, sind <math>g_2</math> und <math>g_3</math> homogene Funktionen vom Grad −4 und −6. Das heißt, es gilt:

<math>g_2(\lambda\omega_1,\lambda\omega_2)=\lambda^{-4}g_2(\omega_1,\omega_2)</math>, <math>g_3(\lambda\omega_1,\lambda\omega_2)=\lambda^{-6}g_3(\omega_1,\omega_2)</math>, <math>\Delta(\lambda\omega_1,\lambda\omega_2)=\lambda^{-12}\Delta(\omega_1,\omega_2)</math> für <math>\lambda\neq0</math>.<ref name=":2">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Wenn <math>\omega_1</math> und <math>\omega_2</math> so gewählt sind, dass <math>\operatorname{Im}\left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)>0 </math>, können <math>g_2, g_3</math> und <math>\Delta</math> als Funktionen in einer komplexen Variablen in der oberen Halbebene <math>\mathbb{H}:=\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Im}(z)>0\}</math> aufgefasst werden.

Dazu setzt man <math>\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}</math> und erhält:

<math>g_2(1,\tau)=\omega_1^4g_2(\omega_1,\omega_2)</math>, <math>g_3(1,\tau)=\omega_1^6 g_3(\omega_1,\omega_2)</math> und <math>\Delta(1,\tau)=\omega_1^{12} \Delta(\omega_1,\omega_2)</math>.<ref name=":2" />

Also werden <math>g_2</math>, <math>g_3</math> und <math>\Delta</math> dadurch nur skaliert. Man setzt nun:

<math>g_2(\tau):=g_2(1,\tau) </math>, <math>g_3(\tau):=g_3(1,\tau)</math>, <math>\Delta(\tau):=\Delta(1,\tau)</math>

Damit erhält man sogenannte Modulformen. Auch die ℘-Funktion kann auf diese Weise als Modulform aufgefasst werden.

Die Konstanten e1, e2 und e3

Mit <math>e_1</math>, <math>e_2</math> und <math>e_3</math> werden die folgendermaßen definierten Halbwerte der <math>\wp</math>-Funktion bezeichnet.

<math>\begin{align}

e_1 & := \wp\left(\frac{\omega_1}{2}\right)\\ e_2 & := \wp\left(\frac{\omega_2}{2}\right)\\ e_3 & := \wp\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\right) \end{align}</math> Sie sind paarweise verschieden und hängen vom Gitter <math>\Lambda</math> ab, aber nicht von der Basis <math>\omega_1,\omega_2</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>e_1</math>, <math>e_2</math> und <math>e_3</math> sind Nullstellen von <math>4 \wp(z)^3 - g_2 \wp(z) - g_3</math> und erfüllen die Gleichung

<math>e_1 + e_2 + e_3 = 0.</math>

Weil diese Nullstellen verschieden sind, verschwindet die Diskriminante <math>\Delta</math> nicht in der oberen Halbebene.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die Differentialgleichung lässt sich in der folgenden Form schreiben:

<math>\wp'^2(z) = 4 \, (\wp(z)-e_1) \, (\wp(z)-e_2) \, (\wp(z)-e_3)</math>

Dies bedeutet, dass die Halbperioden Nullstellen von <math>\wp'</math> sind.

Die Invarianten <math>g_2</math> und <math>g_3</math> lassen sich auf folgende Weise durch die Konstanten <math>e_1, e_2, e_3</math> ausdrücken:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\begin{align}

g_2 &= -4 \, (e_1 e_2 + e_1 e_3 + e_2 e_3)\\ g_3 &= 4 \, e_1 e_2 e_3 \end{align}</math> <math>e_1</math>, <math>e_2</math> und <math>e_3</math> hängen mit der elliptischen Lambda-Funktion zusammen:

<math>\lambda (\tau) = \frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}, \quad \tau = \frac{\omega_2}{\omega_1}.</math>

Beziehung zu den jacobischen elliptischen Funktionen

Für numerische Zwecke ist es oft zweckmäßig, die weierstraßsche <math>\wp</math>-Funktion durch die jacobischen elliptischen Funktionen auszudrücken.

Die grundlegenden Beziehungen dafür sind:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\wp(z) = e_3 + \frac{e_1 - e_3}{\operatorname{sn}^2 w}

= e_2 + ( e_1 - e_3 ) \frac{\operatorname{dn}^2 w}{\operatorname{sn}^2 w} = e_1 + ( e_1 - e_3 ) \frac{\operatorname{cn}^2 w}{\operatorname{sn}^2 w}.</math> Dabei sind <math>e_1</math>, <math>e_2</math> und <math>e_3</math> die oben beschriebenen Halbwerte. Das Argument <math>w</math> ist gegeben durch

<math>w = z \sqrt{e_1 - e_3}.</math>

Für den elliptischen Modul <math>k</math> der Funktionen <math>\operatorname{sn}, \operatorname{cn}, \operatorname{dn}</math> gilt

<math>k = \sqrt\frac{e_2 - e_3}{e_1 - e_3}.</math>

Beziehung zu den jacobischen Thetafunktionen

Die Funktion <math>\wp</math> lässt sich auch durch die jacobischen Thetafunktionen <math>\vartheta_1, \vartheta_2, \vartheta_3, \vartheta_4</math> ausdrücken:<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:NIST Digital Library of Mathematical Functions|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=NIST Digital Library of Mathematical Functions}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://dlmf.nist.gov/23.6%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=NIST Digital Library of Mathematical Functions}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://dlmf.nist.gov/23.6}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=NIST Digital Library of Mathematical Functions}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2025-10-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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<math>\wp(z,\omega_1,\omega_2) = e_1 + \left( \frac{\pi \vartheta_3(0,\tau) \vartheta_4(0,\tau) \vartheta_2(\pi z / \omega_1, \tau)}{\omega_1 \vartheta_1(\pi z / \omega_1, \tau)} \right)^2</math>

Dabei ist <math>\tau = \frac{\omega_2}{\omega_1}</math> das Verhältnis der Perioden. Der Halbwert <math>e_1 = \wp\left(\frac{\omega_1}{2}\right)</math> kann berechnet werden durch

<math>e_1 = \frac{\pi^2}{3 \omega_1^2} \left( (\vartheta_2(0,\tau))^4 + 2 (\vartheta_4(0,\tau))^4\right)</math>.

Zusammenhang mit elliptischen Kurven

{{#invoke:Vorlage:Siehe auch|f}} Sei ein Gitter <math>\Lambda:=\{m\omega_1+n\omega_2:m,n \in \mathbb Z \}</math>, wobei <math>\omega_1,\omega_2,g_2,g_3\in\mathbb{C}\setminus\{0\} </math> komplexe Zahlen sind, sodass <math>\omega_1</math> und <math>\omega_2</math> linear unabhängig über <math>\mathbb{R}</math> sind.

Betrachte nun die ebene kubische Kurve

<math>C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}=\{(x,y)\in\mathbb{C}^2:y^2=4x^3-g_2x+g_3\} </math>

bzw. die projektive Kurve

<math>\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}=\{(x,y)\in\mathbb{C}^2:y^2=4x^3-g_2x+g_3\}\cup\{\infin\}\subset\mathbb{P}_\mathbb{C}^2 </math>.

Für diese Kubiken, auch Weierstraßkubiken genannt, existieren keine Parametrisierungen durch rationale Funktionen, falls <math>\Delta\neq0</math> ist.<ref name=":5">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Trotzdem gibt es eine explizite Parametrisierung mittels der ℘-Funktion und ihrer Ableitung <math>\wp'</math>.

Damit erhält man die Abbildung

<math>\varphi\colon \mathbb{C}\setminus\Lambda\to C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}, z\mapsto(\wp(z),\wp'(z))</math>.

Indem man das Gitter <math>\Lambda</math> auf den Punkt <math>\infin</math> abbildet, kann die Abbildung fortgesetzt werden zu

<math>\varphi\colon \mathbb{C}\to \bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}</math>.

Aufgrund der Periodizität von <math>\wp</math> und <math>\wp'</math> ist diese Abbildung jedoch nicht injektiv. Wählt man stattdessen <math>\mathbb{C}/\Lambda</math>, erhält man dann die Abbildung

<math>\tilde{\varphi}\colon \mathbb{C}/\Lambda\to\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\mathbb{C}/\Lambda</math> ist dabei sowohl eine abelsche Gruppe als auch ein topologischer Raum, versehen mit der Quotiententopologie.

Die Abbildung <math>\tilde\varphi</math> ist nun bijektiv und parametrisiert die Kurve <math>\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}</math>.

Weiter lässt sich zeigen, dass jede glatte Weierstraßkubik auf diese Weise gegeben ist. Also dass es für jedes Paar <math>g_2,g_3\in\mathbb{C}</math> mit <math>\Delta = g_2^3-27g_3^2 \neq 0</math> ein Gitter <math>\Lambda := \{m\omega_1+n\omega_2:m,n \in \mathbb Z \}</math> gibt, sodass

<math>g_2=g_2(\omega_1,\omega_2)</math> und <math>g_3 = g_3(\omega_1,\omega_2)</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Die Aussage, dass alle elliptischen Kurven über <math>\mathbb{Q}</math> durch Modulformen über <math>\mathbb{Q}</math> parametrisiert werden können, ist als Modularitätssatz bekannt. Dieser Satz ist von großer Bedeutung in der Zahlentheorie. Andrew Wiles konnte mit einem Teilbeweis des Modularitätssatzes 1995 den Großen Fermatschen Satz beweisen.

Additionstheoreme

Seien <math>z,w\in\mathbb{C}</math>, sodass <math>z,w,z+w,z-w\notin\Lambda </math>. Dann gilt:<ref name=":3">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\wp(z+w)=\frac1{4} \left[\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)}\right]^2-\wp(z)-\wp(w)</math>.

Darüber hinaus gibt es noch die Verdopplungsformel:<ref name=":3" />

<math>\wp(2z)=\frac1{4}\left[\frac{\wp(z)}{\wp'(z)}\right]^2-2\wp(z)</math>.

Diese Formeln haben auch eine geometrische Bedeutung, wenn man wie im vorherigen Abschnitt die elliptische Kurve <math>\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C} </math> zusammen mit der Abbildung <math>\tilde{\varphi}\colon \mathbb{C}/\Lambda\to\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}</math> betrachtet.

<math>\mathbb{C}/\Lambda</math> ist als Faktorgruppe selbst eine Gruppe. Diese Gruppenstruktur überträgt sich auch auf die Kurve <math>\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C} </math> (siehe Gruppenoperationen auf elliptischen Kurven) und kann dort geometrisch interpretiert werden.

Damit ist <math>\tilde{\varphi}</math> dann insbesondere ein Gruppenisomorphismus<ref name=":4">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>. Nun lässt sich das Additionstheorem auch auf folgende Weise geometrisch formulieren:

Die Summe dreier paarweise verschiedener Punkte <math>a,b,c\in\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}</math>ist genau dann Null, wenn sie auf einer gemeinsamen Geraden in <math>\mathbb{P}_\mathbb{C}^2</math> liegen<ref name=":4" />.

Dies ist äquivalent dazu, dass gilt:

<math>\det\left(\begin{array}{rrr}

1&\wp(u+v)&-\wp'(u+v)\\ 1&\wp(v)&\wp'(v)\\ 1&\wp(u)&\wp'(u)\\ \end{array}\right) = 0 </math>,

wobei <math>\wp(u) = a</math>, <math>\wp(v) = b</math> und <math>u,v\notin\Lambda</math> gelte.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Siehe auch

Einzelnachweise

<references />

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