Transitive Menge

In der Mengenlehre nennt man eine Menge <math>A</math> transitiv, falls

aus <math>x\in A</math> und <math>y\in x</math> immer folgt, dass <math>y\in A</math>, in Zeichen:

<math>\forall x,y: \,x \in A \land y \in x \Rightarrow y \in A</math>,

oder äquivalent falls

jedes Element von <math>A</math>, das eine Menge ist, eine Teilmenge von <math>A</math> ist.

Auf ‚echte‘ (d. h. von der Leermenge verschiedene) Urelemente kommt es dabei nicht an.
Analog dazu nennt man eine Klasse <math>A</math> transitiv, falls jedes Element von <math>A</math> eine Teilmenge von <math>A</math> ist.

Beispiele

Eine Ordinalzahl nach der Definition von John von Neumann ist eine transitive Menge mit der Eigenschaft, dass jedes Element wieder transitiv ist.
Ein Grothendieck-Universum ist per definitionem eine transitive Menge.
Transitive Klassen werden als Modelle für die Mengenlehre selbst verwendet.

Eigenschaften

Eine Menge <math>A</math> ist genau dann transitiv, wenn <math>\bigcup A \subseteq A</math>, wobei <math>\bigcup A = \bigcup_{x\in A} x = \{y | (\exists x \in A) y \in x\} = \{y | y \in^2 A\}</math> die Vereinigung aller Elemente von <math>A</math> ist.<ref>In diese Vereinigung gehen nur Elemente ein, die Mengen sind, also keine (‚echten‘) Urelemente.</ref>
Falls <math>A</math> transitiv ist, dann ist auch <math>\bigcup A</math> transitiv.
Falls <math>A</math> und <math>B</math> transitive Mengen sind, dann ist auch <math>A \cup B\cup\{A,B\}</math> transitiv.
Allgemein, falls <math>A</math> eine Klasse ist, deren Elemente alle transitive Mengen sind, dann ist <math>A \cup \bigcup A</math> eine transitive Klasse.
Eine Menge <math>A</math> ist genau dann transitiv, wenn <math>A</math> eine Teilmenge der Potenzmenge von <math>A</math> ist.
Die Potenzmenge einer transitiven Menge ist wieder transitiv. Diese Eigenschaft wird bei der Von-Neumann-Hierarchie verwendet, um einzusehen, dass alle Stufen dieser Hierarchie transitiv sind.

Verallgemeinerung

Sei gegeben eine Menge (oder Klasse) <math>A</math> und eine Relation <math>R</math> darauf. <math>A</math> heißt <math>R</math>-transitiv, wenn gilt:

<math>\forall x,y: \,x \in A \land y\,R\,x \Rightarrow y \in A</math>.<ref>Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31</ref>

Im Fall <math>R = {\in}</math> ergibt sich die obige Definition als Spezialfall.

Anmerkungen

Siehe auch

Literatur

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