Tanc-Funktion

Datei:Tanc.svg

Die tanc-Funktion im Bereich von −11 bis 11

Die tanc-Funktion oder auch Kardinaltangens (Tangens cardinalis) ist eine mathematische Funktion, die durch

<math>\operatorname{tanc}(x) :=\dfrac{\tan(x)}{x}</math>

definiert ist. Hierbei bezeichnet <math>\tan(x)</math> den gewöhnlichen Tangens.<ref>Eric W. Weisstein: Tanc Function. Abgerufen am 23. Januar 2020 (). </ref>

Analog zur gebräuchlicheren sinc-Funktion wird die Funktion an der hebbaren Definitionslücke bei <math>x=0</math> durch ihren Grenzwert <math>\operatorname{tanc}(0) = 1</math> fortgesetzt. Trotz ihrer strukturellen Ähnlichkeit zählt sie nicht zu den Kardinalfunktionen.<ref>Cardinal Function, Eric W. Weisstein, Wolfram Web Resource.</ref>

Eigenschaften

Allgemeines

An der hebbaren Singularität bei <math>x=0</math> werden die Funktionen durch den Grenzwert <math>\operatorname{tanc}(0)=1</math> bzw. <math>\operatorname{tanc}(0)=1</math> stetig fortgesetzt, der sich aus der Regel von de L’Hospital ergibt; manchmal wird die Definitionsgleichung auch mit Fallunterscheidung geschrieben:

<math>\operatorname{tanc}(x)=\begin{cases}

\frac{\tan x}{x}& x\neq 0\vee x\neq \pi n\\ 1 & x=0 \end{cases}</math>.

Nullstellen

Die tanc-Funktion hat ihre Nullstellen bei ganzzahligen Vielfachen von <math>\pi</math>:

<math>\operatorname{tanc}(x) = \frac{\tan (x)}{x}=0</math> gilt für <math> \ x \in \{n\pi \ \mid \ n \in \mathbb Z \setminus \{0\} \}</math>

Asymptotisches Grenzverhalten

Für <math>x</math>-Koordinaten der Form <math>x_n=\frac{1}{2}+\pi n</math> mit ganzzahligem <math>n</math> hat die <math>\operatorname{tanc}(x_n)</math>-Funktion ein asymptotisches Grenzverhalten, da <math>\tan(x_n)</math> divergiert.

Ableitungen

Die erste Ableitung von <math>\operatorname{tanc}(x)</math> ist gegeben durch:

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\;\operatorname{tanc}(x) = \frac{\sec^2(x)}{x} - \frac{\tan (x)}{x^2}</math>

Integrale

Das Integral vom Kehrwert der tanc-Funktion hat bis zur ersten Nullstelle folgenden Wert:

<math>\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\operatorname{tanc}(x)} = \frac{\pi}{2}\ln(2)</math>

Dies wird im Folgenden bewiesen:

<math>\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\operatorname{tanc}(x)} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \frac{\operatorname{arcsin}(x)}{x} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{-x^2y^2+1}\,\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x =</math><math>= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{-x^2y^2+1}\,\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \frac{\pi}{2}\,\frac{y}{\sqrt{1-y^2}(1+\sqrt{1-y^2})} \,\mathrm{d}y = \frac{\pi}{2}\ln(2)</math>

Abgrenzung

Die <math>\operatorname{tanc}(x)</math> hat strukturell große Ähnlichkeit zu der <math>\operatorname{sinc}(x)</math>-Funktion, ist allerdings keine Kardinalfunktion, hat aber Definitionslücken bei <math>(n+\frac{1}{2})\pi</math>. Daher ist bspw. in der Physik die Verwendung von <math>\operatorname{sinc}(x)</math> gebräuchlicher.

Weblinks

• Information zur Tanc-Funktion bei Wolfram Research

Einzelnachweise

<references/>