T-Norm

Eine T-Norm, oft auch klein t-Norm, ist eine mathematische Funktion, die im Bereich mehrwertiger Logiken, insbesondere in der Fuzzy-Logik, Bedeutung erlangt hat. Der Begriff leitet sich vom Englischen triangular norm, zu Deutsch Dreiecksnorm ab, und rührt daher, dass eine T-Norm eine dreiecksähnliche Fläche im <math>\mathbb{R}^3</math> beschreibt.

Eigenschaften

Eine T-Norm ist auf dem Einheitsintervall [0,1] definiert

<math>T : [0,1] \times [0,1] \rightarrow [0,1]</math>

und muss folgende Eigenschaften aufweisen (zur exakten Definition dieser Eigenschaften siehe die Tabelle zu T-Norm und T-Conorm am Ende dieses Artikels):

Assoziativität: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c)
Kommutativität: T(a, b) = T(b, a)
Monotonie: T(a, b) ≤ T(c, d), falls a ≤ c und b ≤ d
1 ist neutrales Element: T(a, 1) = a

Die T-Norm dient dazu, für mehrwertige Logiken einen verallgemeinerten Konjunktions-Operator zu stellen. Die oben genannten Eigenschaften sind gleichsam allgemeinste Eigenschaften eines solchen Operators: Assoziativität und Kommutativität sind selbstverständlich. Die Monotonie garantiert eine gewisse Regelmäßigkeit in der Struktur von Definitions- und Zielmenge. Die „1“ als neutrales Element ermöglicht Konjunktionen, deren Ergebnis nur von einem Operanden abhängt.

Diese Eigenschaften werden im Zusammenhang mit Fuzzy-Mengen verwendet, um die Schnittmengen-Operation nachzubilden.

T-Conormen

Komplementär zu T-Normen werden T-Conormen (auch S-Normen genannt) verwendet, als Bezeichner ist entsprechend ⊥ oder S üblich:

Mit Hilfe der De Morganschen Gesetze lässt sich auf der Basis einer T-Norm, welche Konjunktion bzw. Schnittmenge liefert, und einer Negation die Disjunktions- bzw. die Vereinigungsmengen-Operation ableiten.

Verallgemeinerung: Es kann ein anderer als der Standard-Negator

<math>\operatorname{n}(x) = 1-x</math>

verwendet werden. Damit wird obige Beziehung verallgemeinert zu

<math>\bot(a,b) = \operatorname{n}(\top(\operatorname{n}(a), \operatorname{n}(b))).</math>

Die Mindestanforderungen an einen Negator sind im Allgemeinen: Monotonie (fallend), n(0)=1, n(1)=0.
In diesem Zusammenhang wird aber strenge Monotonie und Involutivität n(n(x)) = x, d. h. n = n⁻¹, gefordert:
Das Tripel <math>(\top,\bot,n)</math> heißt dann De-Morgan-Triplett.

Geläufige T-Normen und T-Conormen

<math>\begin{matrix} \mathrm{\top_{min}}(a, b) &=& \min \{a, b\} & \mathrm{\bot_{max}}(a, b) &=& \max \{a, b\} \\ \\ \mathrm{\top_{Luka}}(a, b) &=& \max \{0, a+b-1\} & \mathrm{\bot_{Luka}}(a, b) &=& \min \{a+b, 1\} \\ \\ \mathrm{\top_{prod}}(a, b) &=& a \cdot b & \mathrm{\bot_{sum}}(a, b) &=& a+b- a \cdot b \\ \\ \mathrm{\top_{-1}}(a, b) &=& \left\{\begin{matrix}a, & \mbox{falls }b=1 \\

                                                   b, & \mbox{falls }a=1 \\
                                                   0, & \mbox{sonst}\end{matrix} \right. &

\mathrm{\bot_{-1}}(a, b) &=& \left\{\begin{matrix}a, & \mbox{falls }b=0 \\

                                                   b, & \mbox{falls }a=0 \\
                                                   1, & \mbox{sonst}\end{matrix}\right.

\end{matrix}</math>

Die angegebenen T-Conormen sind jeweils bezüglich der Standardnegation N(x)=1-x zur entsprechenden T-Norm dual, also über die De Morganschen Gesetze verknüpft. Mit anderen involutiven Negationen ergeben sich im Allgemeinen auch andere T-Conormen.

Die erstgenannte wird wegen ihrer Einfachheit und ihrer unten genannten Eigenschaften am häufigsten eingesetzt. Die 3. T-Norm, sowie deren T-Conorm kommen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Weiterhin gelten folgende Zusammenhänge:

<math>\begin{matrix} \mathrm{\top_{-1}}(a, b) & \le & \top(a, b) & \le & \mathrm{\top_{min}}(a, b) \\ \mathrm{\bot_{max}}(a, b) & \le & \bot(a, b) & \le & \mathrm{\bot_{-1}}(a, b) \end{matrix}</math>
D. h., dass die drastische T-Norm (T_-1) die kleinste und die Minimum-T-Norm die größte ist. Umgekehrtes gilt für die T-Conorm. T(a, b) bzw. ⊥(a, b) steht hierbei für jede beliebige T-Norm bzw. T-Conorm.

Zusammenhänge zwischen T-Norm und T-Conorm

Aufgrund der schon erwähnten De Morganschen Gesetze ergeben sich folgende komplementären Zusammenhänge:

1-⊥(a,b) = T(1-a, 1-b) und 1-T(a,b) = ⊥(1-a, 1-b)

Den obigen Axiomen für T-Normen entsprechen folgende Bedingungen für eine T-Conorm:

	T-Norm	T-Conorm
Nullelement:	T(0,a) = T(a,0) = 0	⊥(a,1) = ⊥(1,a) = 1
Neutrales Element:	T(a,1) = T(1,a) = a	⊥(0,a) = ⊥(a,0) = a
Assoziativität:	T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)	⊥(a,⊥(b,c)) = ⊥(⊥(a,b),c)
Kommutativität:	T(a,b) = T(b,a)	⊥(a,b) = ⊥(b,a)
Monotonie:	a ≤ b ⇒ T(a,c) ≤ T(b,c)	a ≤ b ⇒ ⊥(a,c) ≤ ⊥(b,c)

Diese Beziehungen gelten nicht nur für den Standard-Negator, sondern für jedes De-Morgan-Triplett.

Zusammenhang zwischen T-Norm und Copula

Eine T-Norm hat die positive Rechteck-Eigenschaft, wenn für <math>a_1\le a_2, b_1\le b_2</math> gilt:

<math> \mathrm{\top}(a_1,b_1)+\mathrm{\top}(a_2,b_2)-\mathrm{\top}(a_1,b_2)-\mathrm{\top}(a_2,b_1)\ge 0</math>

Jede T-Norm mit positiver Rechteck-Eigenschaft ist eine bivariate Copula (siehe Grabisch et al. 2009). Von obigen Beispielen sind <math>\mathrm{\top_{min}}, \mathrm{\top_{Luka}}, \mathrm{\top_{prod}}</math> gleichzeitig Copulae, <math>\mathrm{\top_{-1}}</math> jedoch nicht.

Literatur

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