Endliche Präsentierbarkeit (Banachraum)

Die endliche Präsentierbarkeit ist ein mathematisches Konzept, das in der Untersuchung der Banachräume Anwendung findet. Die Grundidee besteht darin, einen Banachraum über die in ihm enthaltenen endlich-dimensionalen Teilräume zu untersuchen.

Definition

Ein normierter Raum <math>F</math> heißt endlich präsentierbar in einem normierten Raum <math>E</math>, wenn es zu jedem endlich-dimensionalen Untervektorraum <math>U\subset F</math> und jedem <math>\epsilon > 0</math> einen Teilraum <math>V\subset E</math> und einen linearen Isomorphismus <math>T:U\rightarrow V </math> gibt mit <math>\|T\|\cdot \|T^{-1}\| < 1+\epsilon</math>.

Dabei berechnen sich die Operatornormen <math>\|T\|</math> und <math>\|T^{-1}\|</math> bezüglich der auf <math>U</math> und <math>V</math> induzierten Teilraum-Normen.

<math>F</math> ist also endlich präsentierbar in <math>E</math>, wenn jeder endlich-dimensionale Teilraum von <math>F</math> bis auf ein <math>\epsilon</math> auch in <math>E</math> vorkommt. Mit dem Begriff des Banach-Mazur-Abstandes kann man das auch so formulieren, dass man zu jedem endlich-dimensionalen Teilraum <math>U\subset F</math> endlich-dimensionale Teilräume in <math>E</math> mit beliebig kleinem Banach-Mazur-Abstand zu <math>U</math> finden kann.

Unterräume von Banachräumen sind in diesen endlich präsentierbar. Die Eigenschaft der endlichen Präsentierbarkeit ist transitiv, das heißt: Ist <math>F</math> endlich präsentierbar in <math>E</math> und <math>G</math> endlich präsentierbar in <math>F</math>, so ist <math>G</math> endlich präsentierbar in <math>E</math>.

Beispiele

L^p([0,1]) ist endlich präsentierbar im Folgenraum <math>\ell^p,\, 1\le p < \infty</math>.
<math>\ell^p,\, p>2</math> ist nicht endlich präsentierbar in <math>L^q(X,\mu),\, 1\le q \le 2</math>.
Der Funktionenraum <math>C([0,1])</math> ist endlich präsentierbar in c₀ und umgekehrt.

Satz von Dvoretzky

Nach dem Satz von Banach-Mazur ist jeder separable Banachraum isometrisch isomorph zu einem Unterraum von <math>C([0,1])</math>. Daher ist jeder Banachraum endlich präsentierbar in <math>C([0,1])</math>, das heißt <math>C([0,1])</math> ist maximal bezüglich endlicher Präsentierbarkeit. Der Satz von Dvoretzky (nach Aryeh Dvoretzky) sagt aus, dass Hilberträume minimal bezüglich endlicher Präsentierbarkeit sind:

Satz von Dvoretzky: Jeder Hilbertraum ist in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum endlich präsentierbar.

Die Eigenschaft, in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum endlich präsentierbar zu sein, charakterisiert die Hilberträume. Ist nämlich <math>E</math> in jedem Banachraum endlich präsentierbar, so auch in <math>\ell^2</math>, und man zeigt leicht, dass in <math>E</math> die Parallelogrammgleichung gelten muss; daher ist <math>E</math> nach dem Satz von Jordan-von Neumann ebenfalls ein Hilbertraum.

Super-Eigenschaften

Es sei P eine Eigenschaft, die ein Banachraum haben kann. Man sagt, ein Banachraum <math>E</math> sei (bzw. habe) super-P, falls jeder Banachraum, der in <math>E</math> endlich präsentierbar ist, ebenfalls die Eigenschaft P hat. Wenn ein Banachraum eine Super-Eigenschaft hat, dann muss nach dem Satz von Dvoretzky auch jeder Hilbertraum diese Eigenschaft haben.

Ist <math>E</math> ein gleichmäßig konvexer Raum und <math>F</math> endlich präsentierbar in <math>E</math>, so ist auch <math>F</math> gleichmäßig konvex. Gleichmäßige Konvexität ist also eine Super-Eigenschaft, das heißt ein gleichmäßig konvexer Raum ist bereits super-gleichmäßig konvex.

Super-Reflexivität

Da gleichmäßig konvexe Räume nach dem Satz von Milman reflexiv sind und da gleichmäßige Konvexität eine Super-Eigenschaft ist, sind gleichmäßig konvexe Räume super-reflexiv. Reflexivität selbst ist keine Super-Eigenschaft, das heißt Reflexivität und Super-Reflexivität sind nicht äquivalent. Super-Reflexivität wird durch den folgenden Satz von Per Enflo charakterisiert:

Ein Banachraum ist genau dann super-reflexiv, wenn es eine äquivalente Norm gibt, die ihn zu einem gleichmäßig konvexen Raum macht.

Da gleichmäßig konvexe Räume nach einem Satz von Shizuo Kakutani die Banach-Saks-Eigenschaft haben, folgt daraus:

Super-reflexive Räume haben die Banach-Saks-Eigenschaft.

Daher folgt aus der Super-Reflexivität die Super-Banach-Saks-Eigenschaft; man kann sogar zeigen:

Super-Reflexivität und die Super-Banach-Saks-Eigenschaft sind äquivalent.

Prinzip der lokalen Reflexivität

Nach einem Satz von Joram Lindenstrauss und Haskell Rosenthal ist der Bidual eines Banachraums <math>E</math> stets endlich präsentierbar in <math>E</math>. Dieses sogenannte Prinzip der lokalen Reflexivität wird zur folgenden genaueren Aussage verschärft:

Sei <math>E</math> ein Banachraum, <math>U\subset E\,</math> und <math>V \subset E\,'</math> seien endlich-dimensionale Teilräume und es sei <math>\epsilon > 0</math>. Dann gibt es einen injektiven, stetigen, linearen Operator <math>T:U\rightarrow E</math> mit:

<math>\|T\|\cdot \|T^{-1}|_{T(U)}\| \, < \, 1+\epsilon </math>
<math>T|_{U\cap E} = \mathrm{id}_{U\cap E}</math>
<math>f(Tu) \,=\, u(f)</math> für alle <math>u\in U, f\in V</math>

Literatur

Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. 2. Auflage. North-Holland, Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87878-5.
Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Springer, New York u. a. 1984, ISBN 0-387-90859-5.
Per Enflo: Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm. In: Israel Mathematical Journal. Band 13, 1972, S. 281–288.
Joram Lindenstrauss, Haskell Paul Rosenthal: The L^p-spaces. In: Israel Mathematical Journal. Band 7, 1969, S. 325–349.