Heaviside-Funktion

Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

Allgemeines

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle <math>x=0</math> überall stetig. In Formeln geschrieben heißt das:

Datei:Heaviside.svg

Heaviside-Funktion

<math>\begin{align}

\Theta \colon \; & \R \to \{0,1\} \\ \ & x \mapsto \begin{cases} 0 : & x < 0\\ 1 : & x \ge 0 \end{cases} \end{align}</math>

Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls <math>[0,+\infty)</math> der nichtnegativen reellen Zahlen.

In der Fachliteratur sind statt <math>\Theta(x)</math> auch davon abweichende Notationen geläufig:

<math>H(x)</math>, welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.
<math>s(x)</math> und <math>\sigma(x)</math> nach der Bezeichnung Sprungfunktion.
<math>u(x)</math> nach der Bezeichnung {{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}.
Auch <math>\epsilon(x)</math> wird häufig verwendet.
In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol <math>1(x)</math>.

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von <math>x=0</math> den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Alternative Darstellungen

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle <math>x=0</math> kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

<math>\begin{align}

\Theta_c\colon \; & \R \to \mathbb{K} \\ \,& x \mapsto \begin{cases} 0 : & x < 0\\ c : & x = 0\\ 1 : & x > 0 \end{cases} \end{align}</math> mit <math>0,1,c\in\mathbb{K}</math>. Es kann <math>\mathbb{K}</math> also eine beliebige geordnete Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch <math>\mathbb{K} = [0,1] \subset \R</math> verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann <math>\Theta_c(0) = c</math> ist.

Durch die Wahl <math>c := \tfrac{1}{2}</math> und folglich <math>\Theta_\frac{1}{2}(0) = \textstyle\frac{1}{2}</math> erreicht man, dass die Gleichungen

<math>\Theta_\frac{1}{2}(x) = \tfrac{1}{2}(\sgn{(x)} + 1)</math> und damit auch

<math>\Theta_\frac{1}{2}( -x ) = 1 - \Theta_\frac{1}{2}(x)</math>

für alle reellen <math>x</math> gültig sind.

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

<math>\Theta(x)=-\lim_{ \varepsilon \to 0} {1\over 2\pi \mathrm i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+\mathrm i\varepsilon} \mathrm e^{-\mathrm i x \tau} \, \mathrm d \tau </math>

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch

<math>\Theta(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}{1\over\pi}\left[ \arctan \left( {x\over\varepsilon} \right)+{\pi\over 2} \right]</math>

Eigenschaften

Differenzierbarkeit

Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\Theta(x) = \delta(x)</math>

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man <math>\Theta (x)</math> und <math> \delta (x) </math> geeignet approximiert, z. B. durch

<math>

\Theta_\varepsilon (x) := \begin{cases}

 0 &  x< (-\varepsilon)
 \\
 \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{2\varepsilon}\right)
 & |x|\le\varepsilon
 \\
 1
 & x>\varepsilon
 \,,

\end{cases} </math> sowie

<math>

\delta_\varepsilon (x):= \begin{cases}

 0
 & |x| >\varepsilon
 \\
 \frac{1}{2\varepsilon}
 & |x|\le\varepsilon \,,

\end{cases} </math> wobei jeweils der Grenzwert <math>\textstyle \lim_{\varepsilon \searrow 0} </math> betrachtet wird.

Alternativ kann eine differenzierbare Annäherung an die Heaviside-Funktion durch eine entsprechend normierte Sigmoidfunktion erreicht werden.

Integration

Eine Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch Aufspaltung des Integrals nach den beiden Fällen <math>x < 0</math> und <math>x \geq 0</math> aus der Fallunterscheidung in der Definition:

Für <math>x > 0</math> gilt
<math>\int_{-\infty}^x \Theta\!\left(t\right)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^0 0\,\mathrm{d}t + \int_0^x 1\,\mathrm{d}t = \int_0^x 1\,\mathrm{d}t = \Big[t\Big]_0^x = x</math>.
Für <math>x \leq 0</math> tritt sogar nur der erste Fall ein und es gilt
<math>\int_{-\infty}^x \Theta\!\left(t\right)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^x 0\,\mathrm{d}t = 0</math>.

Zusammengenommen gilt also

<math>\int_{-\infty}^x \Theta\!\left(t\right)\,\mathrm{d}t = \left\{\begin{alignedat}{2} 0 & \text{,} & \quad & \text{falls }x \leq 0 \\ x & \text{,} && \text{falls }x > 0 \end{alignedat}\right.</math>

beziehungsweise

<math>\int_{-\infty}^x \Theta\!\left(t\right)\,\mathrm{d}t = \max\left\{0, x\right\} = x \cdot \Theta(x)</math>.

Die Menge aller Stammfunktionen der Heaviside-Funktion ist damit

<math>\int \Theta\!\left(x\right)\,\mathrm{d}x = \max\left\{0, x\right\} + C = x \cdot \Theta(x) + C</math>.

Siehe auch

Weblinks

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Heaviside Step Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: HeavisideStepFunction | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | HeavisideStepFunction | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}