Strahl (Geometrie)

Ein Strahl bzw. eine Halbgerade ist in der Geometrie – anschaulich gesprochen – eine gerade Linie, die auf einer Seite begrenzt ist, sich aber auf der anderen Seite ins Unendliche erstreckt.

• Eine Halbgerade ist ein geometrisches Objekt, das entsteht, wenn ein Punkt eine Gerade, auf der er liegt, teilt. Dabei ist der Punkt wahlweise Teil der Halbgeraden oder nicht.
• Ein Strahl verfügt über eine Orientierung: Er geht von einem Anfangspunkt aus.

Strahlen und Halbgeraden müssen demnach unterschieden werden von Geraden, die beidseitig unbegrenzt sind, und von Strecken, die auf beiden Seiten begrenzt sind.

Geometrische Darstellung

Datei:Halbgerade.svg

Die in der Skizze verwendete Schreibweise <math>[AB</math> drückt aus, dass es sich um eine Teilmenge der Geraden <math>AB</math> handelt, die durch den Punkt <math>A</math> begrenzt wird, sich aber über den Punkt <math>B</math> hinaus erstreckt.

Mit Hilfe der Zwischen-Relation („… liegt zwischen … und …“) lässt sich die Halbgerade <math>[AB</math> definieren als die Menge aller Punkte <math>X</math> auf der Geraden <math>AB</math>, für die <math>A</math> nicht zwischen <math>B</math> und <math>X</math> liegt.

Betrachtet man eine Gerade <math>g</math> und einen beliebigen Punkt <math>P</math> auf <math>g</math>, so lassen sich die beiden dadurch festgelegten Halbgeraden <math>h_1</math> und <math>h_2</math> charakterisieren als nichtleere Teilmengen von <math>g</math>, die folgende Bedingungen erfüllen:

• Jeder Punkt auf der Geraden <math>g</math>, der nicht mit <math>P</math> übereinstimmt, gehört zu genau einer der beiden Teilmengen <math>h_1</math> oder <math>h_2</math>.
• Ist <math>P_1</math> ein beliebiger Punkt von <math>h_1</math> und <math>P_2</math> ein beliebiger Punkt von <math>h_2</math>, so liegt <math>P</math> zwischen <math>P_1</math> und <math>P_2</math>.

Damit ist die Halbgerade eng mit dem Begriff Intervall verbunden: Ein Intervall lässt sich als Schnittmenge zweier Halbgeraden definieren.

Analytische Darstellung

In der analytischen Geometrie entspricht die Halbgerade <math>[AB</math> der Menge aller Punkte <math>X</math>, deren Ortsvektor <math>\vec{X}</math> gegeben ist durch

<math>\vec{X} = \vec{A} + \lambda (\vec{B} - \vec{A})</math> mit <math>\lambda \ge 0</math>.

Dabei sind <math>\vec{A}</math> und <math>\vec{B}</math> die Ortsvektoren der Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. <math>\lambda</math> ist der (reelle) Parameter dieser Parametergleichung.