Grenzbedingungen (Elektrodynamik)

Grenzbedingungen sind Stetigkeitsbedingungen, welche in der klassischen Elektrodynamik zwischen zwei unterschiedlichen Medien gelten. Sie stellen die Randwerte bei den Maxwellgleichungen im Übergangsbereich zwischen unterschiedlichen Materialien dar.

Allgemeine Grenzbedingungen

Die Felder in den beiden Medien werden mit den Indizes 1 und 2 gekennzeichnet.

<math>\hat n\times \left( \vec{E}_{2}-\vec{E}_{1} \right)=0</math>

<math>\hat n\cdot \left( \vec{D}_{2}-\vec{D}_{1} \right)=\sigma_\text{frei} </math>

<math>\hat n\cdot \left( \vec{B}_{2}-\vec{B}_{1} \right)=0</math>

<math>\hat n\times \left( \vec{H}_{2}-\vec{H}_{1} \right)=\vec{j}_\text{frei}</math>

dabei ist

<math>\hat n</math> der Normalenvektor auf der Grenzfläche,
<math>\sigma_\text{frei}</math> die Flächenladungsdichte freier Ladungen an der Grenzfläche
und <math>\vec{j}_\text{frei}</math> die freie Stromdichte, die den Strom pro Flächeneinheit an der Grenzfläche angibt.

Diese Grenzbedingungen sagen aus: Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig. Die Tangentialkomponente des H-Feldes springt um <math>\vec j_\mathrm{frei}</math> und die Normalkomponente des D-Feldes springen um <math>\sigma_\mathrm{frei}</math>.<ref name="tangential-normal">Mit Tangentialkomponente ist diejenige Komponente gemeint, die tangential zur Grenzfläche liegt, analog bezeichnet die Normalkomponente die Komponente in Richtung des Normalenvektors der Grenzfläche.</ref>

Grenzbedingungen für ungeladene Isolatoren

Für ungeladene Isolatoren vereinfachen sich obige Beziehungen, da es dort keine freien Ladungen <math>\sigma_\text{frei}=0</math> und somit auch keine freien Ströme gibt <math>\vec{j}_{frei}=0</math>.

<math>\hat n\times \left( \vec{E}_{2}-\vec{E}_{1} \right)=0</math>

<math>\hat n\cdot \left( \vec{D}_{2}-\vec{D}_{1} \right)=0</math>

<math>\hat n\cdot \left( \vec{B}_{2}-\vec{B}_{1} \right)=0</math>

<math>\hat n\times \left( \vec{H}_{2}-\vec{H}_{1} \right)=0</math>

Die Stetigkeitsbedingungen in Worten: Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig. Zusätzlich sind hier die Tangentialkomponente des H-Feldes und die Normalkomponente des D-Feldes stetig.<ref name ="tangential-normal" />

Grenzbedingungen von isotropen, zeitinvarianten Materialien

In isotropen und zeitinvarianten Materialien gelten die Zusammenhänge

<math>

\begin{align} \vec D &= \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} \vec E \\ \vec B &= \mu_o \mu_\mathrm{r} \vec H \end{align} </math>

Daraus können die restlichen Komponenten der Felder bestimmt werden.

<math>\begin{array}{ccclccccl}

E_1^\parallel &=& E_2^\parallel & & \qquad \qquad& \varepsilon_1 E_1^\perp &=& \varepsilon_2 E_2^\perp &- \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \\ \frac{1}{\varepsilon_1} D_1^\parallel &=& \frac{1}{\varepsilon_2} D_2^\parallel & & & D_1^\perp &=& D_2^\perp &- \sigma_\text{frei} \\ H_1^\parallel &=& H_2^\parallel & -\hat t\cdot (\vec j_\mathrm{frei} \times \hat n) & & \mu_1 H_1^\perp &=& \mu_2 H_2^\perp \\ \frac{1}{\mu_1} B_1^\parallel &=& \frac{1}{\mu_2} B_2^\parallel & - \mu_0 \hat t\cdot (\vec j_\mathrm{frei} \times \hat n) & & B_1^\perp &=& B_2^\perp \\ \end{array}</math>

oder in nicht-leitenden, ungeladen Materialien

<math>\begin{array}{cccccc}

E_1^\parallel &=& E_2^\parallel & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad& \varepsilon_1 E_1^\perp &=& \varepsilon_2 E_2^\perp \\ \frac{1}{\varepsilon_1} D_1^\parallel &=& \frac{1}{\varepsilon_2} D_2^\parallel & & D_1^\perp &=& D_2^\perp\\ H_1^\parallel &=& H_2^\parallel & & \mu_1 H_1^\perp &=& \mu_2 H_2^\perp \\ \frac{1}{\mu_1} B_1^\parallel &=& \frac{1}{\mu_2} B_2^\parallel & & B_1^\perp &=& B_2^\perp\\ \end{array}</math>

Dabei ist

<math>\varepsilon_\mathrm{r}</math> die relative Permittivität,
<math>\mu_\mathrm{r} </math> die relative Permeabilität,

<math>E^\parallel</math>die Komponente des E-Feldes tangential zur Oberfläche und <math>E^\perp</math> die Komponente normal zur Oberfläche.
<math>\hat t</math> ist der normierte Vektor in Richtung der Tangentialkomponente. Für <math>\vec B^\parallel</math> tangential zu <math>\vec j_\mathrm{frei}</math> gilt damit <math>\hat t\cdot (\vec j_\mathrm{frei} \times \hat n) = |\vec j_\mathrm{frei}|</math>.

Siehe auch

Fußnoten und Einzelnachweise