Schatten-Klasse

Die Schatten-Klassen, auch Schatten-von-Neumann-Klassen, benannt nach Robert Schatten und John von Neumann, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen <math>\ell^p</math> gemeinsam.

Definition

Ist <math>T\colon H\rightarrow G</math> ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen (im Endlichdimensionalen bricht die Folge ab), so gibt es eine monoton fallende Folge <math>\left(s_n\right)_n</math> nicht-negativer reeller Zahlen mit <math>s_n\rightarrow 0</math> und orthonormale Folgen <math>\left(e_n\right)_n</math> in <math>H</math> und <math>\left(f_n\right)_n</math> in <math>G</math>, sodass

<math>\textstyle Tx = \sum_{n=1}^\infty s_n\langle x,e_n\rangle f_n</math> für alle <math>x\in H</math> gilt und
die Operatoren <math>\textstyle \sum_{n=1}^N s_n\langle\cdot, e_n\rangle f_n</math> für <math>N\to\infty</math> in der Operatornorm gegen <math>T</math> konvergieren.

Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge <math>\left(s_n\right)_n</math> ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch <math>T</math> bestimmt. Man schreibt daher <math>s_n(T)</math> für das <math>n</math>-te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den <math>n</math>-ten singulären Wert von <math>T</math>. Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators <math>T^*T\in L(H)</math> bilden.

Für <math>1 \le p < \infty</math> ist die <math>p</math>-te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von <math>H</math> nach <math>G</math> durch

<math>{\mathcal S}_p(H,G) \, := \, \{T\colon H\rightarrow G \, \mid \, T \, {\rm kompakt}, \, \left(s_n(T)\right)_n \in \ell^p\}</math>

definiert. Dabei ist <math>\ell^p</math> der Folgenraum der zur <math>p</math>-ten Potenz summierbaren Folgen. Für <math>T\in {\mathcal S}_p(H,G)</math> definiert man die <math>p</math>-Norm des Operators gerade durch diese Norm der Folge:

<math>\|T\|_p := \left(\sum_{n=1}^\infty s_n(T)^p\right)^{\frac{1}{p}}</math>

Die <math>p</math>-Norm des Operators ist also genau die <math>\ell^p</math>-Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.

Für den Fall <math>G=H</math> schreibt man abkürzend <math>{\mathcal S}_p(H) := {\mathcal S}_p(H,H)</math>. Oft nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.

Spezialfälle

Für <math>p=1</math> entspricht der Raum <math>{\mathcal S}_1(H,G)</math> der Menge der Spurklasseoperatoren.

Für <math>p=2</math> entspricht <math>{\mathcal S}_2(H,G)</math> dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Eigenschaften

Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den <math>\ell^p</math>-Räumen gemeinsam. <math>{\mathcal S}_p(H)</math> ist mit der <math>p</math>-Norm ein Banachraum. Für <math>p\le q</math> gilt <math>\|\cdot\|_p \ge \|\cdot\|_q</math> und daher <math>{\mathcal S}_p(H)\subset {\mathcal S}_q(H)</math>. Ferner gilt stets <math>\|T\| \le \|T\|_p</math>, wobei <math>\|T\|</math> die Operator-Norm von <math>T</math> ist.

<math>{\mathcal S}_p(H)</math> ist mit der Operator-Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution, wobei die Involution die Adjunktion ist. Sind <math>T\in {\mathcal S}_p(H)</math> und <math>A,B \in L(H)</math> stetige lineare Operatoren auf <math>H</math>, so ist <math>ATB\in {\mathcal S}_p(H)</math> und es gilt <math>\|ATB\|_p \le \|A\| \|T\|_p \|B\|</math>. Die Schatten-Klassen sind daher zweiseitige Ideale in <math>L(H)</math>.

Seien <math>1 < p,q < \infty</math> mit <math>\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q} = 1</math> konjugierte Zahlen. Gilt dann <math>T\in {\mathcal S}_p(H)</math> und <math>S\in {\mathcal S}_q(H)</math>, so ist das Produkt <math>TS</math> ein Spurklasse-Operator und es gilt <math>\operatorname{Sp}(TS) \le \|T\|_p\|S\|_q</math>. Jedes <math>S\in {\mathcal S}_q(H)</math> definiert daher durch <math>T\mapsto \operatorname{Sp}(TS)</math> ein stetiges lineares Funktional <math>\psi_S</math> auf <math>{\mathcal S}_p(H)</math>. Man kann zeigen, dass die Abbildung <math>S\mapsto \psi_S</math> ein isometrischer Isomorphismus von <math>{\mathcal S}_q(H)</math> auf den Dualraum von <math>{\mathcal S}_p(H)</math> ist, oder kurz <math>{\mathcal S}_p(H)\,' \cong {\mathcal S}_q(H)</math>. Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für <math>1<p<\infty</math> reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für <math>{\mathcal S}_1(H)</math> nicht der Fall. Die Verhältnisse für <math>{\mathcal S}_1(H)</math> sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.

Lokale Theorie der Schatten-Klassen

Auch im Rahmen der lokalen Theorie der Banachräume sind zentrale strukturelle Aspekte der endlich-dimensionalen Schatten-Klassen studiert worden; diese Räume sind von Bedeutung etwa im Bereich der Low-Rank matrix recovery, darunter die asymptotischen Volumina ihrer Einheitskugeln<ref>Z. Kabluchko, J. Prochno, C. Thäle: Exact asymptotic volume and volume ratio of Schatten unit balls</ref> sowie Entropiezahlen<ref>A. Hinrichs, J. Prochno, J. Vybíral: Entropy numbers of embeddings of Schatten classes</ref> oder auch s-Zahlen<ref>A. Hinrichs, J. Prochno, J. Vybíral: Gelfand numbers of embeddings of Schatten classes</ref><ref>J. Prochno, M. Strzelecki: Approximation, Gelfand, and Kolmogorov numbers of Schatten class embeddings</ref> für natürliche Einbettungen zwischen diesen Räumen. Darüber hinaus wurde für Einheitskugeln selbstadjungierter Schatten-Klassen für den Fall <math>p>3</math> die berühmte Variance Conjecture bewiesen.<ref>B. Dadoun, M. Fradelizi, O. Guédon, P.-A. Zitt: Asymptotics of the Inertia Moments and the Variance Conjecture in Schatten Balls</ref>

Quellen

R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
N. Dunford, J. T. Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8.

Einzelnachweise