IP-Menge

In der Mathematik bezeichnet der Begriff IP-Menge eine Menge natürlicher Zahlen, die alle endlichen Summen einer unendlichen Menge von natürlichen Zahlen enthält. Die Bezeichnung IP-Menge (IP-set) geht auf Hillel Fürstenberg und Barak Weiss zurück; IP steht dabei für „Infinite-dimensional Parallelepiped“.

Definition

Die endlichen Summen einer Menge <math>D</math> von natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die sich als Summe der Elemente einer nichtleeren endlichen Teilmenge von <math>D</math> darstellen lassen. Die Menge aller endlichen Summen von <math>D</math> wird auch als <math>FS(D)</math> bezeichnet; dabei steht FS für Finite Sums.

Eine Menge <math>A</math> von natürlichen Zahlen ist eine IP-Menge, falls eine unendliche Menge <math>D</math> existiert, so dass <math>FS(D)</math> in <math>A</math> enthalten ist.

Manchmal wird auch eine leicht abweichende Definition verwendet: man verlangt dann, dass sogar <math>A=FS(D)</math> für ein passendes <math>D</math> ist.

Der Satz von Hindman

Der Satz von Hindman, oder auch das Finite Sums Theorem, lautet wie folgt:

Ist <math>S\,</math> eine IP-Menge und <math>S = C_1 \cup C_2 \cup ... \cup C_n</math>, so ist wenigstens eine der Mengen <math>C_i\,</math> eine IP-Menge.

Da die Menge der natürlichen Zahlen selbst auch eine IP-Menge ist und man Partitionen auch als Färbungen auffassen kann, lässt sich folgender Spezialfall des Satzes von Hindman formulieren:

Sind die natürlichen Zahlen mit <math>n</math> Farben gefärbt, so gibt es für mindestens eine Farbe <math>c</math> eine unendliche Menge <math>D</math>, so dass alle Elemente von <math>D</math> und sogar alle endlichen Summen von <math>D</math> die Farbe <math>c</math> haben.

Halbgruppen

Die IP-Eigenschaft kann man nicht nur für die natürlichen Zahlen, die mit der Addition eine Halbgruppe bilden, definieren, sondern auch ganz allgemein für Halbgruppen und partielle Halbgruppen.

Quellen

• V. Bergelson, I. J. H. Knutson, R. McCutcheon: Simultaneous diophantine approximation and VIP Systems (PDF; 127 kB) Acta Arith. 116, Academia Scientiarum Polona, (2005), 13–23
• V. Bergelson: Minimal Idempotents and Ergodic Ramsey Theory (PDF; 349 kB) Topics in Dynamics and Ergodic Theory 8-39, London Math. Soc. Lecture Note Series 310, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (2003)
• H. Fürstenberg, B. Weiss: Topological Dynamics and Combinatorial Number Theory, J. d'Analyse Math. 34 (1978), 61–85
• J. McLeod: Some Notions of Size in Partial Semigroups Topology Proceedings, Vol. 25 (2000), 317–332