Satz von Bolzano-Weierstraß

Der Satz von Bolzano-Weierstraß (nach Bernard Bolzano und Karl Weierstraß) ist ein Satz der Analysis über die Existenz konvergenter Teilfolgen bzw. von Häufungspunkten. Er ist ein wichtiger Baustein für den modernen, streng deduktiven Aufbau der Analysis.

Aussage für reelle und komplexe Zahlen

In der Literatur haben sich zwei (äquivalente) Formulierungen für den Satz von Bolzano-Weierstraß etabliert:

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen enthält (mindestens) eine konvergente Teilfolge.<ref>Forster, Lindemann: Analysis 1. 2023, S. 79. </ref><ref>Ehrhard Behrends: Analysis Band 1. 6. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07122-6, S. 199. </ref>
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat (mindestens) einen Häufungspunkt.<ref>Forster, Lindemann: Analysis 1. 2023, S. 80. </ref><ref>Vladimir A. Zorich: Analysis I. Springer, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 3-540-33277-4, S. 76. </ref>

Eine weitere Variante des Satzes bezieht sich auf Mengen:

Jede beschränkte unendliche Menge von reellen Zahlen besitzt wenigstens einen Häufungspunkt.<ref>Friedhelm Erwe: Differential- und Integralrechnung. Band 1, 1972, S. 101. </ref> (Ein solcher Häufungspunkt muss allerdings nicht zur gegebenen Menge gehören.)

Analoge Aussagen gelten auch für Folgen bzw. Mengen komplexer Zahlen.<ref>Königsberger: Analysis 1. 2004, S. 50, 51. </ref>

Beweis

Beim folgenden Beweis wird gezeigt, dass eine beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb N}</math> reeller Zahlen einen Häufungspunkt besitzt. Dabei wird der Häufungspunkt nach dem Intervallschachtelungsprinzip mittels des sogenannten Weierstraßschen Halbierungsverfahren wirklich konstruiert.<ref>Karl Strubecker: Einführung in die Höhere Mathematik. Band I: Grundlagen. 2. Auflage. Oldenbourg, München / Wien 1966, S. 471. </ref>

Wegen der Beschränktheit besitzt die Folge eine untere Schranke <math>s</math> und eine obere Schranke <math>S</math>. Also liegen alle Folgenglieder im Intervall <math>\left[s,S \right]</math>, welches das erste Intervall <math>I_0</math> der Intervallschachtelung ist und die Länge <math>l=S-s</math> hat. Nun wird <math>I_0</math> durch Halbieren in zwei gleich große Intervalle der Länge <math>l/2</math> unterteilt. Mindestens ein Teilintervall, <math>I_1</math> genannt, enthält dann wieder unendlich viele Zahlen der Folge; denn sonst könnten beide zusammen nicht unendlich viele Zahlen enthalten. Als Nächstes wird auch <math>I_1</math> halbiert, und wiederum enthält eines der beiden Teilintervalle, <math>I_2</math> genannt (Länge <math>l/4</math>), unendlich viele Zahlen. Durch Wiederholen dieses Halbierungsverfahrens erhält man eine Intervallschachtelung. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip zieht sich diese Intervallfolge auf genau einen Punkt <math>x</math> zusammen, der in allen Intervallen enthalten ist.

Dieser Punkt ist aber ein Häufungspunkt der Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb N}</math>; denn weil man durch Steigern von <math>n</math> die Größe <math>l/2^n</math> kleiner machen kann als jedes <math>\varepsilon > 0</math>, liegen die Intervalle <math>I_n, I_{n+1}, I_{n+2}, \ldots</math>, von diesem <math>n</math> angefangen, alle in der <math>\varepsilon</math>-Umgebung von <math>x</math>. Diese <math>\varepsilon</math>-Umgebung enthält also stets unendlich viele Glieder der Folge, und somit ist <math>x</math> ein Häufungspunkt der Folge.

Beispiele

Die durch <math>a_n = \tfrac{1}{n}</math> definierte beschränkte Folge <math>\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> besitzt genau einen Häufungspunkt, nämlich <math>0</math>.
Die durch <math>b_n = (-1)^n + \tfrac{1}{n}</math> definierte beschränkte Folge <math>\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> hat zwei Häufungspunkte, nämlich <math>1</math> und <math>-1</math>.

Anwendungen

Mithilfe des Satzes von Bolzano-Weierstraß lassen sich einige grundlegende Sätze der Analysis beweisen:<ref group="A">Einige dieser Sätze lassen sich auch ohne den Satz von Bolzano-Weierstraß beweisen; ob der Satz hilfreich oder nötig ist, hängt auch vom Axiomensystem ab, das man für die reellen Zahlen zugrunde legt.</ref>

Jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert (Monotoniekriterium).<ref>Forster, Lindemann: Analysis 1. 2023, S. 82. </ref>
Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall nimmt ihr Maximum und Minimum an (Satz vom Minimum und Maximum).<ref>Forster, Lindemann: Analysis 1. 2023, S. 167. </ref>
Jede reelle oder komplexe Cauchy-Folge konvergiert (Rückrichtung des Cauchy-Kriteriums).

Verallgemeinerungen

Euklidischer Vektorraum <math>\mathbb R^n</math>

Die Aussage des Satzes von Bolzano-Weierstraß lässt sich auf den euklidischen <math>\mathbb R^n</math> verallgemeinern:

Jede beschränkte Folge im <math>\mathbb R^n</math> besitzt eine konvergente Teilfolge.<ref>Königsberger: Analysis 2. 2000, S. 2.</ref>

Eine völlig analoge Aussage gilt für den <math>\mathbb C^n</math>.<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. 1. 3. Auflage. Birkhäuser, Basel / Berlin 2010, ISBN 978-3-7643-7755-7, S. 184. </ref>

Beweisskizze

Ist <math>(x_k)_{k\in\N}</math> mit <math>x_k = (x_{k1}, \ldots, x_{kn})</math> eine beschränkte Folge im <math>\mathbb R^n</math>, so ist jede der reellen Komponentenfolgen <math>(x_{k \nu}), \nu = 1, \ldots, n</math> beschränkt. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß für reellen Zahlen lässt sich für die erste Komponentenfolge eine konvergente Teilfolge wählen. Von dieser wählt man wieder eine Teilfolge, die auch in der zweiten Komponente konvergiert. Die Konvergenz in der ersten Komponente bleibt erhalten, da Teilfolgen konvergenter Folgen wieder konvergent mit demselben Grenzwert sind. Und so weiter, bis die <math>n</math>-te Teilfolge auch in der letzten Komponente konvergiert. Dies zeigt die Gültigkeit der Aussage für den <math>\mathbb R^n</math>. Die Aussage für den <math>\mathbb C^n</math> erhält man sofort durch die Identifikation von <math>\mathbb C^n</math> mit <math>\mathbb R^{2n}</math>.

Unendlichdimensionale Vektorräume

In unendlichdimensionalen normierten Vektorräumen über <math>\R</math> oder <math>\C</math> hat nicht jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge. So ist z. B. die Folge der Einheitsvektoren (0,0,...,0,1,0,...,0,...) im Folgenraum <math>\ell_2(\R)</math> versehen mit der <math>l^2</math>-Norm beschränkt, hat aber keinen Häufungspunkt, da alle Folgenglieder einen Abstand von <math>\sqrt2</math> voneinander haben. Dieses Gegenbeispiel lässt sich auf beliebige unendlichdimensionale normierte Räume verallgemeinern, man kann darin immer eine unendliche Folge von Vektoren der Länge 1 konstruieren, die untereinander paarweise einen Abstand von wenigstens 1/2 besitzen. Dies folgt beispielsweise aus dem Lemma von Riesz.<ref>Dr rer nat Harro Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. Springer-Verlag, 2019, ISBN 978-3-322-96755-8, S. 103 (google.de). </ref>

Für beschränkte Folgen in reflexiven Räumen existiert folgende Aussage, die aus dem Satz von Eberlein–Šmulian folgt:

Jede beschränkte Folge eines reflexiven Raumes besitzt eine schwach konvergente Teilfolge.<ref>Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer, 2016, ISBN 978-3-319-31557-7, S. 25 (google.de).</ref>

In Verbindung mit Sobolev-Einbettungssätzen (insbesondere mit kompakten Einbettungen wie dem Rellich-Kondrachov-Theorem) ermöglicht die Existenz schwach konvergenter Teilfolgen beschränkter Folgen häufig den Nachweis von Lösungen von Variationsproblemen.

Metrische Räume

Der Satz von Bolzano-Weierstraß lässt sich auf metrische Räume verallgemeinern, wenn man seine Voraussetzungen anpasst und verlangt, dass die Folgenglieder in einer kompakten Menge liegen:

Ist <math>K</math> eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes <math>X</math> und <math>(x_n)_{n \in \mathbb N}</math> eine Folge von Punkten in <math>K</math>, so gibt es eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k\in \mathbb N}</math>, die gegen einen Punkt <math>x \in K</math> konvergiert.<ref>Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 2. 12. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2025, ISBN 978-3-658-45811-9, S. 62 f.</ref>

Topologische Räume

Der Satz von Bolzano-Weierstraß ist eng verwandt mit dem Satz von Heine-Borel. Eine Verallgemeinerung beider Sätze auf topologische Räume besagt: Ein topologischer Raum ist genau dann ein kompakter Raum, wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz hat.

Anmerkungen

Literatur

Konrad Königsberger: Analysis 1. 6. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 50–51.
Konrad Königsberger: Analysis 2. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 1–2.
Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 1. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 79–80.
Sandip K. Maiti: Bolzano-Weierstrass Theorem: A brief history. In: PANCHAKOTesSAYS. Band 10, Nr. 2, 2019, S. 43–45 (journal.panchakotmv.ac.in).
Reinhard Bölling: Karl Weierstrass and some basic notions of the calculus. Braniewo 2010 (mat.ug.edu.pl).

Weblinks

Commons: Satz von Bolzano-Weierstraß – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Satz von Bolzano-Weierstraß – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Mathematik in mehreren Bänden, Band 4, Analysis – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise