Satz von Krein-Šmulian

Der Satz von Krein-Šmulian, benannt nach Mark Grigorjewitsch Krein und Witold Lwowitsch Šmulian, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, der ein Kriterium für die Abgeschlossenheit einer konvexen Menge bezüglich der schwach-*-Topologie darstellt.

Formulierung des Satzes

Ist <math>E</math> ein Banachraum, so sei <math>E_r'</math> die abgeschlossene <math>r</math>-Kugel im Dualraum von <math>E</math>, wobei <math>r>0</math> sei. Diese ist nach dem Satz von Banach-Alaoglu bezüglich der schwach-*-Topologie kompakt und daher abgeschlossen. Ist also <math>M\subset E'</math> eine schwach-*-abgeschlossene Teilmenge, so sind auch die Mengen <math>M\cap E_r', \, r>0</math> schwach-*-abgeschlossen. Der hier zu besprechende Satz sagt aus, dass für konvexe Mengen <math>M</math> auch die Umkehrung gilt:

Satz von Krein-Šmulian: Seien <math>E</math> ein Banachraum und <math>M\subset E'</math> eine konvexe Menge. Wenn <math>M\cap E_r'</math> für jedes <math>r>0</math> schwach-*-abgeschlossen ist, dann ist auch <math>M</math> schwach-*-abgeschlossen.

Bemerkungen

Ein Beispiel

Wie das folgende Beispiel zeigt, ist die Aussage des Satzes von Krein-Šmulian falsch, wenn <math>M</math> nicht konvex ist. Dazu seien <math>F_n\subset E^'</math> <math>n</math>-dimensionale Teilräume mit <math>F_1\subset F_2 \subset F_3 \subset \ldots</math> und <math>S_n := \{f\in F_n; \|f\| = n\}</math> sei die Kugelfläche mit Radius <math>n</math> in <math>F_n</math>. Da diese Kugelflächen kompakt sind, gibt es ein endliches 1/n-Netz <math>M_n\subset S_n</math>. Setze <math>M=M_1 \cup M_2 \cup M_3 \cup \ldots.</math>.

Dann ist <math>M\cap E_r'</math> für jedes <math>r>0</math> endlich und daher schwach-*-abgeschlossen. <math>M</math> selbst ist aber nicht schwach-*-abgeschlossen, denn 0 liegt im schwach-*-Abschluss von <math>M</math>. Dazu ist zu zeigen, dass jede Menge der Form <math>U = \{f\in E\,'; |f(x_1)|<\epsilon,\ldots |f(x_m)|<\epsilon\}</math>, wobei <math>x_1,\ldots, x_m \in E</math> und <math>\epsilon > 0</math>, ein Element aus <math>M</math> enthält. Wähle dazu <math>n</math> so groß, dass <math>\max_{i=1,\ldots m}\|x_i\| < n \epsilon</math> und <math>n>m</math>. Wegen letzterem gibt es aus Dimensionsgründen ein <math>g\in S_n</math> mit <math>g(x_1)=\ldots=g(x_m)=0</math>. Wähle nun ein <math>f\in M_n</math> mit <math>\|f-g\|<1/n</math>. Dann ist <math>f\in M\cap U</math>, denn <math>|f(x_i)|=|f(x_i)-g(x_i)| \le \|f-g\|\cdot \|x_i\| < \epsilon</math> für alle <math>i=1,\ldots, m</math>.

Die bw*-Topologie

Man erkläre eine Menge <math>M\subset E'</math> als abgeschlossen, wenn der Durchschnitt <math>M\cap E_r'</math> für jedes <math>r>0</math> schwach-*-abgeschlossen ist. Leicht überlegt man sich, dass dadurch eine Topologie, die sogenannte bw*-Topologie, definiert ist. Wie obiges Beispiel zeigt, ist diese Topologie im Falle unendlich-dimensionaler Banachräume echt feiner als die schwach-*-Topologie. Der Satz von Krein-Šmulian kann nun wie folgt umformuliert werden:

Seien <math>E</math> ein Banachraum und <math>M\subset E'</math> eine konvexe Menge. Dann stimmen der schwach-*-Abschluss und der bw*-Abschluss von <math>M</math> überein.

Satz von Banach-Dieudonné

Seien <math>E</math> ein Banachraum und <math>U\subset E'</math> ein Unterraum. <math>U</math> ist genau dann schwach-*-abgeschlossen, wenn <math>U\cap E_1^'</math> schwach-*-abgeschlossen ist.

Dieser nach Banach und Dieudonné benannte Satz ist wegen <math>U\cap E_r^' = r\cdot (U\cap E_1^')</math> offenbar ein Korollar zum Satz von Krein-Šmulian.

Quellen

M. M. Day: Normed Linear Spaces Springer-Verlag GmbH, dritte Auflage (1973) ISBN 3-540-06148-7