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Einschnürungssatz – Wikipedia Zum Inhalt springen

Einschnürungssatz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Sandwich-Theorem)
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Sandwichsatz: Wenn eine Folge zwischen zwei konvergierenden Folgen mit demselben Grenzwert liegt, dann muss sie auch gegen diesen Grenzwert konvergieren.

Der Einschnürungssatz<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name=":0" />, Einschließungssatz oder Sandwichsatz (u. a. Quetschlemma<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>) ist in der Analysis ein zentraler Satz über den Grenzwert einer Folge oder Funktion. Für Folgen formuliert besagt er: Wird eine Folge von oben und unten durch zwei gegen denselben Grenzwert strebende Folgen eingeschlossen, so konvergiert sie auch gegen diesen Wert. Für Funktionen lautet die Aussage entsprechend: Wird eine Funktion eingeschnürt durch zwei weitere Funktionen, welche gegen denselben Grenzwert streben, so konvergiert auch die Funktion gehen diesen Grenzwert.

Der Einschnürungssatz wird typischerweise dazu verwendet, den Grenzwert einer Folge oder Funktion zu ermitteln, indem man sie mit zwei anderen Folgen bzw. Funktionen vergleicht, deren Grenzwerte bekannt oder einfach zu bestimmen sind. Er wurde geometrisch schon von den Mathematikern Archimedes und Eudoxos verwendet, um die Kreiszahl π zu berechnen. Die moderne Formulierung des Satzes stammt ursprünglich von Carl Friedrich Gauß.

Einschließungsregel für Folgen

Seien <math>x_n</math> und <math>y_n</math> zwei reelle Folgen, die gegen einen gemeinsamen Grenzwert <math>a</math> streben. Ist <math>w_n</math> eine weitere Folge mit <math>x_n \leq w_n \leq y_n</math> für fast alle <math>n</math>, so konvergiert <math>w_n</math>, und zwar ebenfalls gegen <math>a</math>.<ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Beispiel

Für die Folge

<math>w_n = \frac{1}{n + 3}</math>

gilt

<math>0 \leq w_n \leq \frac{1}{n}</math>.

Da sowohl <math>y_n=\frac{1}{n}</math> als auch <math>x_n=0</math> gegen <math>0</math> konvergieren, folgt aus der Einschließungsregel, dass <math>w_n</math> ebenfalls gegen <math>0</math> konvergiert.

Beweis

Sei <math>\varepsilon > 0</math>. Da die Folgen <math>x_n</math> und <math>y_n</math> nach Voraussetzung gegen <math>a</math> konvergieren, gibt es <math>N_1, N_2 \in \mathbb N</math>, so dass

<math>a-\varepsilon <x_n < a+ \varepsilon</math> für alle <math>n \geq N_1 \quad </math> und <math>\quad a- \varepsilon < y_n < a + \varepsilon</math> für alle <math>n \geq N_2</math>.

Außerdem gibt es nach Voraussetzung ein <math>n_0 \in \mathbb N</math>, so dass für alle <math>n >n_0</math> die Abschätzung <math>x_n \leq w_n \leq y_n</math> gilt. Für alle <math>n \geq N := \max\{N_1, N_2, n_0\}</math> lassen sich diese drei Ungleichungen zusammenfügen zu

<math>a-\varepsilon <x_n <w_n <y_n < a + \varepsilon \quad</math>bzw. <math>\quad a-\varepsilon <w_n < a + \varepsilon,</math>

was zeigt, dass <math>w_n</math> ebenfalls gegen <math>a</math> konvergiert.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Einschnürungssatz für Funktionen

Es sei <math>I</math> ein Intervall, das eine Zahl <math>a</math> enthält. Es seien <math>f</math>, <math>g</math> und <math>h</math> auf <math>I\setminus\lbrace a\rbrace</math> definierte Funktionen. Gilt für jedes <math>x\neq a</math> aus <math>I</math> die Relation

<math>g(x) \leq f(x) \leq h(x)</math>

sowie ferner

<math>\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L</math>,

dann ist <math>\lim_{x \to a} f(x) = L</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>a</math> muss nicht im Inneren von <math>I</math> liegen. Ist <math>a</math> ein Randpunkt von <math>I</math>, so handelt es sich bei obigen Grenzwerten um links- bzw. rechtsseitige. Ähnliches gilt auch für unendliche Intervalle: Ist beispielsweise <math>I=[0,\infty)</math>, so gilt der Satz auch für den Grenzwertübergang <math>x \to \infty</math>.

Anwendungsbeispiele

Beispiel 1

Datei:(x^2)sin(x^(-1)).png
<math>x^2\sin(1/x)</math> (blau) mit Schrankenfunktionen <math>-x^2</math> (rot) und <math>x^2</math> (grün)

Die Funktion <math>x \mapsto x^2\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)</math> ist für alle reellen <math>x \neq 0</math> definiert. Den Grenzwert für <math>x \to 0</math> auf konventionelle Art zu berechnen fällt schwer: Eine direkte Substitution schlägt fehl, weil die Funktion bei <math>x = 0</math> nicht definiert ist (geschweige denn stetig), und die Regel von de L’Hospital kann auch nicht angewendet werden, da <math>\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)</math> in der Nähe von <math>x=0</math> oszilliert und dort keinen Grenzwert hat. Mit passenden oberen und unteren Schrankenfunktionen lässt sich jedoch der Einschnürungssatz anwenden.

Aus der Definition der Sinusfunktion folgt

<math>-1 \leq \sin(1/x) \leq 1.</math>

Durch Multiplikation mit <math>x^2 > 0</math> erhält man hieraus die Abschätzung

<math>-x^2 \leq x^2\sin(1/x) \leq x^2.</math>

Wegen <math>\lim_{x \to 0} -x^2 = \lim_{x \to 0} x^2 = 0</math> folgt mit dem Einschnürungssatz <math>\lim_{x \to 0} x^2 \sin (1/x) = 0.</math>

Beispiel 2

Datei:Limit sin x x.svg
<math>\begin{align}&\, F(\triangle ADF) \geq F(\text{Sektor}\, ADB) \geq F(\triangle ADB)\\ \Rightarrow &\, \frac{1}{2}\cdot \tan(x)\cdot 1 \geq \frac{x}{2\pi}\cdot \pi \geq \frac{1}{2}\cdot \sin(x)\cdot 1\\ \Rightarrow &\, \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \geq x \geq \sin(x)\\ \Rightarrow &\, \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{\sin(x)} \\ \Rightarrow &\, \cos(x) \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq 1 \end{align} </math>

Der Grenzwert <math display="inline">\lim_{x \to 0} \sin(x)/x </math> ist unter anderem hilfreich bei der Bestimmung der Ableitung der Sinusfunktion.

Aus elementargeometrischen Überlegungen am Einheitskreis (siehe Zeichnung rechts) folgt für <math>0<x<\pi/2</math> die Abschätzung

<math>\cos(x) \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq 1</math>.<ref>Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: Vorstufe zur höheren Mathematik. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-98628-3, S.
80-81. Siehe auch Salman Khan : Proof: limit of (sin x)/x at x=0 (Video, Khan Academy (englisch))</ref>

Wegen <math display="inline">\lim_{x \to 0} \cos(x) = 1</math> folgt mit dem Einschnürungssatz

<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1</math>.

Aufgrund der geometrischen Argumentation weist diese Grenzwertbestimmung nicht die mathematische Strenge auf, die in der modernen Analysis gefordert wird.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Ein rein analytischer Beweis, der ohne Rückgriff auf anschaulich-geometrische Überlegungen auskommt, lässt sich mithilfe von Potenzreihen führen.

Beweis

Der Einschnürungssatz für Funktionen lässt sich auf analoge Weise wie der entsprechende Satz für Folgen beweisen. Sei dazu <math>\varepsilon >0</math>. Wegen der Voraussetzung <math>\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L</math> gibt es <math>\delta_1, \delta_2 >0</math>, so dass für alle <math>x \in I \setminus \{a\}</math> gilt:

<math>L- \varepsilon <g(x)< L + \varepsilon </math> falls <math>0<|x-a|<\delta_1 \quad</math> und <math>\quad L- \varepsilon <f(x)< L + \varepsilon</math> falls <math>0<|x-a|<\delta_2.</math>

Außerdem gilt per Voraussetzung <math>g(x)<f(x)<h(x) </math> für alle <math>x \in I \setminus \{a\}</math>. Setzt man nun <math>\delta :=\min\{\delta_1, \delta_2 \}</math>, so lassen sich für alle <math>x \in I \setminus \{a\}</math> mit <math>0<|x-a|<\delta</math> die Ungleichheitsrelationen miteinander verknüpfen und man erhält die Abschätzung

<math>L- \varepsilon <g(x)< f(x)<h(x)<L + \varepsilon \quad</math>bzw. <math>\quad L- \varepsilon <f(x)< L + \varepsilon</math>.

Dies zeigt, dass auch <math>\lim_{x \to a} f(x) = L</math> ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Verallgemeinerungen

Eine maßtheoretische Verallgemeinerung ist der Satz von Pratt, bei dem durch die Einschnürung mittels lokal nach Maß konvergenten Funktionenfolgen auf die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung und Integration der eingeschnürten Funktionenfolge sowie auf die Integrierbarkeit der Grenzfunktion geschlossen werden kann.

Literatur

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Weblinks

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Einzelnachweise

<references />

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