Poincaré-Abbildung
Die Poincaré-Abbildung (auch Poincaré map, first return map, nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré) ist eine mathematische Methode zur Untersuchung des Flusses eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems. Dazu betrachtet man die Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer (n-1)-dimensionalen transversalen Hyperfläche <math>\Sigma</math>, dem Poincaré-Schnitt. Die Poincaré-Abbildung ist die Abbildung die jedem dieser Schnittpunkte <math>x</math> den jeweils nächsten <math>P(x)</math> zuordnet und ist somit ein (n-1)-dimensionales diskretes dynamisches System.
Beispiel
Betrachte die Differentialgleichung <math>\dot{x}(t)=f(x(t))</math> und bezeichne mit <math>\Phi(t,x)</math> den Fluss, also die Lösung zur Anfangsbedingung <math>\Phi(0,x)=x</math>. Angenommen, es gibt eine periodische Trajektorie, also eine Lösung <math>\Phi(t,p)</math>, die bei <math>p</math> startet und nach einer bestimmten Zeit <math>\tau</math> wieder dorthin zurückkehrt, <math>\Phi(\tau,p)=p</math>. Dann kann man eine Fläche <math>\Sigma</math> wählen, die transversal zur Trajektorie <math>\Phi(t,p)</math> ist und diese in <math>p</math> schneidet. Alle Trajektorien, die in Punkten <math>x\in \Sigma</math> in der Nähe von <math>p</math> starten, werden dann nach einer bestimmten Zeit wieder die Fläche schneiden. Es gibt also eine kleinste positive Zeit <math>\tau(x)>0</math>, für die <math>\Phi(\tau(x),x)\in\Sigma</math> gilt. Dann ist die Poincaré-Abbildung gegeben durch <math>P(x)=\Phi(\tau(x),x)</math>. Speziell für die periodische Trajektorie erhält man einen Fixpunkt: <math>P(p)=p</math>. Die Frage, ob die periodische Trajektorie stabil ist, ist nun äquivalent zur Frage, ob der entsprechende Fixpunkt der Poincaré-Abbildung stabil ist.
Anwendung
Die Poincaré-Abbildung ist besonders zur Untersuchung der geometrischen Strukturen chaotischer Attraktoren geeignet, da die zeitliche Diskretisierung eine wesentliche Vereinfachung darstellt.<ref>Manfred von Ardenne et al.: Effekte der Physik und ihre Anwendungen. Verlag Harry Deutsch, Frankfurt 2005. ISBN 3-8171-1682-9, S. 1130</ref>
In der Kardiologie findet die Darstellung bei der Auswertung eines Langzeit-EKGs Verwendung. Durch Anwendung auf die Abstände zwischen den jeweiligen Herzschlägen kann auf Herzrhythmusstörungen wie Vorhofflimmern rückgeschlossen werden.
Eine weitere Anwendung findet sich in der Stressforschung: hier lassen sich aus den Poincaré-Abbildungen mit den beiden orthogonal aufeinander stehenden Durchmessern SD1 und SD2 die parasympathischen und sympathischen Einflüsse auf die Herzfrequenz ablesen (Herzfrequenzvariabilität).
Literatur
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Einzelnachweise
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