Zustandsgleichung von Mie-Grüneisen

Die Mie-Grüneisen-Zustandsgleichung, ist eine Zustandsgleichung der Physik, die für hochverdichtete Materie einen speziellen funktionalen Zusammenhang zwischen der Dichte <math>\rho</math>, dem Druck <math>p</math> und der absoluten Temperatur <math>T</math> darstellt. Sie wird u. a. zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit und von Stoßwellen bei hohen Umgebungsdrücken sowie zur Modellierung von seismologischen Untersuchungen des Erdinneren verwendet.

Die theoretischen Grundlagen gehen auf Arbeiten von Peter Debye<ref>P. Debye: Zur Theorie der spezifischen Wärmen. In: Annalen der Physik. Band 344, Nr. 14, Januar 1912, ISSN 0003-3804, S. 789–839, doi:10.1002/andp.19123441404 (wiley.com [abgerufen am 16. März 2026]). </ref>, Eduard Grüneisen<ref>E. Grüneisen: Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. In: Annalen der Physik. Band 344, Nr. 12, Januar 1912, ISSN 0003-3804, S. 257–306, doi:10.1002/andp.19123441202 (wiley.com [abgerufen am 16. März 2026]). </ref> und Gustav Mie<ref>Gustav Mie: Grundlagen einer Theorie der Materie. In: Annalen der Physik. Band 344, Nr. 11, Januar 1912, ISSN 0003-3804, S. 1–40, doi:10.1002/andp.19123441102 (wiley.com [abgerufen am 16. März 2026]). </ref><ref>Gustav Mie: Grundlagen einer Theorie der Materie. In: Annalen der Physik. Band 342, Nr. 3, Januar 1912, ISSN 0003-3804, S. 511–534, doi:10.1002/andp.19123420306 (wiley.com [abgerufen am 16. März 2026]). </ref><ref>Gustav Mie: Grundlagen einer Theorie der Materie. In: Annalen der Physik. Band 345, Nr. 1, Januar 1913, ISSN 0003-3804, S. 1–66, doi:10.1002/andp.19133450102 (wiley.com [abgerufen am 16. März 2026]). </ref> zurück und wurden über die Jahrzehnte von verschiedenen Wissenschaftlern weiterentwickelt.<ref></ref><ref></ref>

Annahme

Die spezielle Annahme von Mie-Grüneisen bezieht sich auf die Temperaturabhängigkeit, die nur in der Form einer "skalierten Temperatur" <math>t</math> auftreten darf:

wobei der dichte- oder volumen-abhängige "Temperaturparameter" <math>TD(\rho)</math> pauschal das Frequenzspektrum der Gitterschwingungen repräsentiert und üblicherweise mehrere Materialparameter enthält.

Spezielle Form der Gleichung

Eine spezielle Form der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung stellt die Messergebnisse von Hochdruckexperimenten auf der Basis von drei Materialparametern im temperaturunabhängigen Teil dar:

<math>p = p_0 \cdot \left( 1 - \Gamma \cdot \eta \right) + \frac{\rho_0 \cdot C^2_0 \cdot \eta}{\left( 1 - s \cdot \eta \right)^2} \cdot \left( 1 - \frac{\Gamma \cdot \eta}{2} \right) + \Gamma \cdot \rho_0 \cdot \left( e - e_0 \right)</math>

mit

<math>\eta = 1 - \frac{\rho_0}{\rho}</math>.

Hierbei bezeichnet

<math>\rho_0</math> die Dichte im Normalzustand (NTP/STD)
<math>C_0</math> die Schallgeschwindigkeit im Normalzustand
<math>\Gamma = \Gamma_0</math> den dimensionslosen Grüneisenkoeffizienten im Normalzustand
<math>s</math> den linearen Hugoniot-Steigungskoeffizient (engl. linear Hugoniot slope coefficient), eine dimensionslose Materialkonstante
<math>e - e_0</math> die spezifische innere Energie, die im Mie-Grüneisen-Fall nur von der skalierten Temperatur <math>t</math> (s. o.) abhängen darf.

Beispiele für Parameter der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung

Wasser: <math> \rho_0 = 1000 </math> kg/m³ ; <math> C_0 = 1489 </math> m/s ; <math> s = 1{,}79 </math> ; <math> \Gamma = 1{,}65 </math>

Stahl: <math> \rho_0 = 7850 </math> kg/m³ ; <math> C_0 = 4500 </math> m/s ; <math> s = 1{,}49 </math> ; <math> \Gamma = 2{,}17 </math>

Kupfer: <math> \rho_0 = 8930 </math> kg/m³ ; <math> C_0 = 3940 </math> m/s ; <math> s = 1{,}48 </math> ; <math> \Gamma = 1{,}96 </math>

Zusammenhang der Parameter mit anderen thermodynamischen Zustandsgrößen

Die Schallgeschwindigkeit, mit der sich kleine Druck- und Dichteschwankungen in einem Medium fortpflanzen, ist bei reversibler adiabatischer Zustandsänderung (d. h. bei konstanter Entropie <math> S </math>) gegeben durch:

<math> c_S=\sqrt{\left. \frac{\partial p}{\partial \rho}\right|_S} = \sqrt{\frac{p}{\rho}\cdot \gamma} </math>

Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgröße.

Der Adiabatenexponent <math> \gamma </math> ergibt sich aus:

<math> \gamma = - \frac{V}{p}\cdot \left. \frac{\partial p}{\partial V}\right|_S </math>

Der Grüneisenkoeffizient ist definiert durch:

<math> \Gamma = - \frac{V}{T}\cdot \left. \frac{\partial T}{\partial V} \right|_S = \frac{\beta}{\kappa \cdot \rho \cdot c_V} </math>

wobei die Maxwell-Relation <math> \left. \frac{\partial S}{\partial V} \right|_T = \left. \frac{\partial p}{\partial T} \right|_V </math> und folgende Bezeichnungen verwendet wurden:

Thermische Ausdehnung:

<math> \beta = \frac{1}{V}\cdot \left. \frac{\partial V}{\partial T} \right|_p = - \frac{1}{\rho} \cdot \left. \frac{\partial \rho}{\partial T} \right|_p </math>

Isotherme Kompressibilität:

<math> \kappa = - \frac{1}{V} \cdot \left. \frac{\partial V}{\partial p} \right|_T </math>

Isochore spezifische Wärmekapazität:

<math> c_V = \frac{T}{\rho \cdot V} \cdot \left. \frac{\partial S}{\partial T} \right|_V </math>

Literatur

Einzelnachweise