Lorenz-Asymmetrie-Koeffizient

Der Lorenz-Asymmetrie-Koeffizient (-Asymmetriekoeffizient) ist ein Parameter der Lorenz-Kurve, der den Grad an Asymmetrie der Kurve misst.

Definition

Dieser ist definiert als:

wobei die Funktionen <math>F</math> und <math>L</math> wie bei der Lorenz-Kurve definiert sind und <math>\mu</math> das arithmetische Mittel ist. Falls <math>S > 1</math> ist, dann ist der Punkt, in dem die Lorenz-Kurve parallel zur perfekten Gleichheitsgerade (line of perfect equality) verläuft, über der Symmetrieachse. Dementsprechend liegt der Punkt, in dem die Lorenz-Kurve parallel zur perfekten Gleichheitsgerade ist, bei <math>S < 1</math> unter der Symmetrieachse.

Falls die Daten aus einer logarithmischen Normalverteilung stammen, dann ist <math>S = 1</math>, das heißt, die Lorenz-Kurve ist also symmetrisch.<ref name=DW>Christian Damgaard, Jacob Weiner: Describing inequality in plant size or fecundity. 4. Aufl. 81. Bd. Ecology, 2000. doi:10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2. S. 1139–1142.</ref>

Der Stichprobenparameter <math>S</math> lässt sich aus den <math>n</math> geordneten Datensätzen <math>\left(x_{1}, \ldots, x_{m}, x_{m + 1}, \ldots, x_{n}\right)</math> mittels folgender Gleichungen berechnen:

<math>\delta = \frac{\mu - x_{m}}{x_{m + 1} - x_{m}},</math>

<math>F (\mu) = \frac{m + \delta}{n},</math>

<math>L (\mu) = \frac{L_{m} + \delta x_{m + 1}}{L_{n}},</math>

wobei <math>m</math> die Anzahl an Individuen mit einer Größe kleiner als <math>\mu</math> ist<ref name=DW/> und <math>L_i=\sum_{j=1}^i x_j</math>.

Literatur

Christian Damgaard, Jacob Weiner: Describing inequality in plant size or fecundity. 4. Aufl. 81. Bd. Ecology, 2000. doi:10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2. S. 1139–1142.

Einzelnachweise