Liouvillesche Zahl
Als Liouvillesche Zahl, benannt nach Joseph Liouville, bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl <math>x,</math> die ein Irrationalitätsmaß von <math>\infty</math> besitzt, also die Bedingung erfüllt, dass für jedes natürliche <math>n</math> ganze Zahlen <math>p</math> und <math>q</math> mit <math>q > 1</math> existieren, sodass gilt:
- <math>0 < \left|x - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^n}</math>
Irrationalität und Transzendenz
Alle Liouvilleschen Zahlen sind irrational: Für jede rationale Zahl <math>x = \tfrac{c}{d}</math> mit ganzzahligem Zähler <math>c</math> und ganzzahligem Nenner <math>d > 0</math> gibt es eine ganze Zahl <math>n > 0</math> mit <math>2^{n-1} > d</math> (vgl. Archimedisches Axiom). Wenn nun <math>p</math> und <math>q</math> ganze Zahlen mit <math>q > 1</math> und <math>\tfrac{p}{q} \ne \tfrac{c}{d}</math> sind, dann gilt:
- <math>\left|x - \frac{p}{q}\right| = \left|\frac{c}{d} - \frac{p}{q}\right| = \left|\frac{c\,q - p\,d}{d\,q}\right| \ge \frac{1}{d\,q} > \frac{1}{2^{n-1}q} \ge \frac{1}{q^n}</math>
1844 zeigte Liouville, dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind, sondern auch transzendent. Dies war der erste Beweis der Transzendenz einer Zahl, der Liouvilleschen Konstante:
- <math>c = \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{10^{j!}} = \frac{1}{10^1} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^6} + \frac{1}{10^{24}} + \dotsb = 0{,}11000\text{ }10000\text{ }00000\text{ }00000\text{ }00010\text{ }\ldots \text{ }</math> (Folge A012245 in OEIS)
Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent, aber nicht alle transzendenten Zahlen sind Liouvillesch. So sind beispielsweise die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π transzendent, aber nicht Liouvillesch.
Literatur
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Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Liouville’s Constant. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}