Lemma von Rasiowa-Sikorski

Das Lemma von Rasiowa-Sikorski, benannt nach den polnischen Mathematikern Roman Sikorski und Helena Rasiowa, ist in der Mengenlehre grundlegend für die Entwicklung der Forcing-Methode. Es sichert die Existenz von Filtern mit gewissen Eigenschaften.

Aussage

Sei <math>\langle P,\le_P\rangle</math> eine Quasiordnung, und <math>\mathcal{D}</math> eine höchstens abzählbare Menge von dichten Teilmengen von <math>P</math>. Dann gibt es für jedes <math>p_0\in P</math> einen Filter <math>F\subseteq P</math> mit den Eigenschaften:

<math>p_0\in F</math>
<math>D\cap F\neq\emptyset</math>, für alle <math>D\in\mathcal{D}</math>.

Filter mit der letzten Eigenschaft werden auch <math>\mathcal{D}</math>-generisch genannt.

Beweis

Sei <math>D_1,D_2,\dots</math> eine Aufzählung der Mengen in <math>\mathcal{D}</math> und definiere für <math>n\ge 0</math> rekursiv:

<math>p_{n+1}:=</math>"ein Element <math>p\in D_{n+1}</math> mit <math>p\le p_{n}</math>".

Ein solches <math>p_{n+1}</math> existiert aufgrund der Dichtheit von <math>D_{n+1}</math>. Dann ist die Menge <math>F:=\{p\in P\mid\exists n\in\N:p_n\le p\}</math> ein derartiger Filter.

Erweiterungen

Die Aussage wird im Allgemeinen falsch, wenn <math>\mathcal{D}</math> die Kardinalität <math>2^{\aleph_0}</math> hat. Die Frage, ob das Lemma für Kardinalzahlen <math>\kappa</math> mit <math>\aleph_0<\kappa<2^{\aleph_0}</math> gilt, führt zu Martins Axiom.

Literatur

Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.