Zusammenziehbarer Raum

Zusammenziehbare Räume – auch als kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet – werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume als trivial. Viele in der algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.

Definition

Ein topologischer Raum <math>X \neq \emptyset</math> heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, das heißt, wenn es eine stetige Abbildung

<math>H\colon X\times[0,1]\to X</math>

und einen festen Punkt <math>p\in X</math> gibt, sodass

<math>H(x,0) = x</math> für alle <math>x\in X</math> und
<math>H(x,1) = p</math> für alle <math>x\in X</math>

gilt.<ref>Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1st corrected Springer edition, Reprint. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0, S. 25.</ref>

Beispiel

Der euklidische Raum <math>\mathbb R^n</math> ist zusammenziehbar: Setze
<math>H(x,t)=(1-t)x</math> für <math>x\in\mathbb R^n</math> und <math>0\leq t\leq1</math>.

Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne „stetig zu einem Punkt deformiert wird“: Das Bild der Abbildung
<math>\mathbb R^n\to\mathbb R^n,\quad x\mapsto H(x,t)</math>

ist für <math>t<1</math> stets der gesamte Raum, erst für <math>t=1</math> ist das Bild nur noch der Ursprung.
Allgemeiner sind sternförmige Mengen zusammenziehbar.

Schwach zusammenziehbare Räume

Ein topologischer Raum <math>X</math> heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle <math>x\in X</math> die Homotopiegruppen <math>\pi_n(X,x)</math> trivial sind, d. h.

<math>\pi_n(X,x)=0</math> für alle <math>n\ge 0</math>.

Das ist genau dann der Fall wenn <math>X</math> schwach homotopieäquivalent zu einem Punkt ist. Nach dem Satz von Whitehead ist schwache Zusammenziehbarkeit daher für CW-Komplexe zu normaler Zusammenziehbarkeit äquivalent. Für allgemeine topologische Räume gilt zwar ebenfalls, dass jeder zusammenziehbare Raum schwach zusammenziehbar ist, aber nicht die Umkehrung.

Weitere Resultate

Es liegen die folgenden Resultate vor:

Eine nichtleere konvexe Teilmenge des euklidischen Raums ist stets zusammenziehbar.<ref name="SW_01">Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 224</ref>
Jeder zusammenziehbare Raum ist wegzusammenhängend.<ref name="TC-SK-GR_01">Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 112</ref><ref name="SW_02">Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 226</ref>
Jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raums ist zusammenziehbar.<ref name="SW_02" />
Ein nichtleeres topologisches Produkt von nichtleeren zusammenziehbaren Räumen ist stets zusammenziehbar.<ref name="TC-SK-GR_02">Thorsten Camps et al., op. cit., S. 111</ref><ref name="HS-1">Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 162</ref> (Vererbungssatz<ref name="TC-SK-GR_02" />)

Gegenbeispiele

Die Einheitssphäre <math>\mathbb S^n</math> (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar, obwohl sie für <math>n\geqslant 2</math> einfach zusammenhängend ist.
Der Raum, den man als Vereinigung von

<math> \left\{ \left( x, \sin \frac{1}{x} \right ) : x \in (0,1] \right\} \cup \{(0,0)\} </math>

mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind.

Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.

Literatur

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Einzelnachweise