Kürzbarkeit

Kürzbarkeit ist eine Eigenschaft von Elementen einer algebraischen Struktur.

Kürzbare/reguläre Elemente

Gegeben sei ein Gruppoid/Magma <math>(M,*)</math>.

Definition

Ein Element <math>c \in M</math> heißt linkskürzbar oder linksregulär, wenn für alle <math>a, b \in M</math> gilt:

<math>c*a = c*b \implies a = b,</math>

und rechtskürzbar oder rechtsregulär, wenn für alle <math>a, b \in M</math> gilt:

<math>a*c = b*c \implies a = b.</math>

<math>c \in M</math> heißt zweiseitig kürzbar bzw. zweiseitig regulär oder einfach nur kürzbar bzw. regulär, wenn <math>c</math> links- und rechtskürzbar ist.

Bemerkung

Ist * kommutativ, sind alle drei Arten der Kürzbarkeit gleich, im Allgemeinen jedoch nicht.

Beispiel

• In einem Ring <math>(R, +, \cdot)</math> ist ein Element genau dann kürzbar, wenn es ein Nichtnullteiler ist.
• In einer Quasigruppe sind alle Elemente kürzbar.

Kürzbare/reguläre Halbgruppen

Definition

Eine Halbgruppe <math>(S,*)</math> heißt kürzbar oder regulär, wenn jedes <math>a \in S</math> kürzbar ist.

Beispiele

• Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition <math>(\mathbb N, +)</math> oder mit der üblichen Multiplikation <math>(\mathbb N, \cdot)</math> ist eine kürzbare Halbgruppe.
• Die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Maximum <math>(\mathbb N, \text{max})</math> oder mit dem Minimum <math>(\mathbb N, \text{min})</math> ist keine kürzbare Halbgruppe.