Extensive Abbildung

Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

Definition

Sei <math>(A,\leq)</math> eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

<math>f\colon\, A \to A</math>

heißt extensiv, falls gilt:

<math>a \leq f(a)</math> für alle <math>a \in A</math>.

Sie heißt intensiv, falls gilt:

<math>f(a) \leq a</math> für alle <math>a \in A</math>.

Beispiele

Auf <math>(A,\leq)</math> ist die Identität <math>\operatorname{id}_A\colon\, a \mapsto a</math> extensiv und intensiv, da <math>a \leq a</math> immer gilt.
Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung <math>f\colon A \rightarrow A</math> bereits dann einen Fixpunkt, falls <math>A</math> streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

Literatur

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Serge Lang: Algebra. 3. edition, reprinted, with corrections. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1993, ISBN 0-201-55540-9.