Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

	Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung
	Dichtefunktion ; Datei:Hotelling-pdf.png
	Verteilungsfunktion; Datei:Hotelling-cdf.png
Parameter	p – Dimension der Zufallsvariablen; m – verknüpft mit der Stichprobengröße
Träger	<math>x \in (0, +\infty)\;</math> if <math>p = 1</math>; <math>x \in [0, +\infty)\;</math> otherwise.

Die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung<ref>Hotelling’s T². Glossary of statistical terms. International Statistical Institute, 1. Juni 2011, archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar) am 13. November 2012; abgerufen am 25. September 2020 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/isi.cbs.nl </ref> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1931 von Harold Hotelling erstmals beschrieben wurde.<ref>H. Hotelling: The generalization of Student’s ratio. In: Ann. Math. Statist., 1931, 2(3), S. 360–378; doi:10.1214/aoms/1177732979; Modul:JSTOR * Modul:JSTOR:170: attempt to index field 'wikibase' (a nil value).</ref> Sie ist eine Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung.

Definition

Die quadratische Form

<math>

t^2=n({\mathbf x}-{\mathbf\mu})'{\mathbf W}^{-1}({\mathbf x}-{\mathbf\mu}) \sim T(p, n-1) </math> folgt einer Hotellingschen T-Quadrat-Verteilung mit

<math>n</math> einer Anzahl von Punkten
<math>{\mathbf x}</math> ist ein Spaltenvektor mit <math>p</math> Elementen
<math>{\mathbf W}</math> ist eine <math>p\times p</math>-Kovarianzmatrix

Eigenschaften

Es sei <math>x\sim N_p(\mu,{\mathbf V})</math> eine Zufallsvariable mit einer multivariaten Normalverteilung und <math>{\mathbf W}\sim W_p(m,{\mathbf V})</math> (unabhängig von <math>x</math>) habe eine Wishart-Verteilung mit einer nicht-singulären Kovarianzmatrix <math>\mathbf V</math> und mit <math>m=n-1</math>. Dann ist die Verteilung von <math>t^2</math>: <math>T^2(p,m)</math>, Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung mit Parametern <math>p</math> und <math>m</math>.

Für die F-Verteilung <math>F</math> gilt:

<math>

\frac{m-p+1}{pm} T^2\sim F_{p,m-p+1} </math>.

Unter der Annahme, dass

<math>{\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_n</math>

<math>p \times 1</math>-Spaltenvektoren mit reellen Zahlen sind.

<math>\overline{\mathbf x}=(\mathbf{x}_1+\cdots+\mathbf{x}_n)/n</math>

sei der Mittelwert. Die positiv definite <math>p \times p</math>-Matrix

<math>{\mathbf W}=\sum_{i=1}^n (\mathbf{x}_i-\overline{\mathbf x})(\mathbf{x}_i-\overline{\mathbf x})'/(n-1)</math>

sei ihre Stichproben-Kovarianzmatrix. (Die Transponierte einer Matrix <math>M</math> sei mit <math>M'</math> bezeichnet). <math>\mu</math> sei ein <math>p \times 1</math>-Spaltenvektor (bei Anwendung ein Schätzer des Mittelwertes). Dann ist die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

<math>

t^2=n(\overline{\mathbf x}-{\mathbf\mu})'{\mathbf W}^{-1}(\overline{\mathbf x}-{\mathbf\mu}). </math>

<math>t^2</math> hat eine enge Beziehung zum quadrierten Mahalanobis-Abstand.

Wenn <math>{\mathbf x}_1,\dots,{\mathbf x}_n\sim N_p(\mu,{\mathbf V})</math> unabhängig sind und <math>\overline{\mathbf x}</math> und <math>{\mathbf W}</math> wie oben definiert sind, dann hat <math>{\mathbf W}</math> eine Wishart-Verteilung mit <math>n-1</math> Freiheitsgraden, so dass<ref>K.V. Mardia, J.T. Kent, J.M. Bibby: Multivariate Analysis. Academic Press, 1979, ISBN 0-12-471250-9.</ref>

<math>\mathbf{W} \sim W_p(V,n-1)</math>

und ist unabhängig von <math>\overline{\mathbf x}</math> und

<math>\overline{\mathbf x}\sim \mathcal{N}_p(\mu,V/n)</math>.

Daraus folgt

<math>t^2 = n(\overline{\mathbf x}-{\mathbf\mu})'{\mathbf W}^{-1}(\overline{\mathbf x}-{\mathbf\mu}) \sim T^2(p, n-1).</math>

Einzelnachweise

Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung
Dichtefunktion Datei:Hotelling-pdf.png
Verteilungsfunktion Datei:Hotelling-cdf.png
Parameter	p – Dimension der Zufallsvariablen m – verknüpft mit der Stichprobengröße
Träger	<math>x \in (0, +\infty)\;</math> if <math>p = 1</math> <math>x \in [0, +\infty)\;</math> otherwise.