Hamilton-Jacobi-Formalismus

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jacob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation

<math>(q,p) \rightarrow (q',p')</math>

zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:

<math>\tilde{H} (q',p',t) = 0</math>

Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten <math>q'</math>, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten <math>p'</math> Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:

<math>\begin{align}

\frac{\partial\tilde{H}}{\partial p'_{k}} & =\dot{q}'_{k}=0\quad\Leftrightarrow\quad q'_{k}=\mathrm{const}\\

-\frac{\partial\tilde{H}}{\partial q'_{k}} & =\dot{p}'_{k}=0\quad\Leftrightarrow\quad p'_{k}=\mathrm{const}. \end{align}</math>

Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden <math>S</math>. Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:

<math>\tilde{H} (q', p', t) = H (q, p, t) + \frac {\partial S}{\partial t} = 0.</math>

Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion <math>S (q, p', t)</math> gewählt, die von den alten Ortskoordinaten <math>q</math> und den neuen (konstanten) Impulsen <math>p'</math> abhängt, so dass

<math>p_{k}=\frac{\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}\ ,\quad q'_{k}=\frac{\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}.</math>

Eingesetzt in <math>\tilde{H} = 0</math> ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für <math>S</math>:

<math>H\!\left(q_k, \frac {\partial {S}}{\partial q_k}, t\right) + \frac {\partial S}{\partial t} = 0</math>

Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen <math>q_k</math> und <math>t</math> für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion <math>S</math> (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).

Herleitung der Hamilton-Jacobi-Gleichung aus dem Wirkungsintegral

Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional

<math>S[q](t)=\int_0^t L(s,q(s),\dot{q}(s))\mathrm ds</math>

mit der Lagrange-Funktion <math>L</math>. Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h.

<math>\frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}=L</math>.

Sieht man <math>S</math> jedoch als Funktion der Koordinaten <math>q</math> und <math>t</math> an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential

<math>\frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum \frac{\partial S}{\partial q_k}\frac{\mathrm dq_k}{\mathrm dt}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum \frac{\partial S}{\partial q_k}\dot{q_k}</math>.

Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen

<math>\frac{\partial S}{\partial q_k}=\int_0^t \frac{\partial L}{\partial q_k}\mathrm ds=\int_0^t \frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\mathrm ds=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}=p_k</math>

mit den kanonischen Impulsen <math>p_k</math>. Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von <math>S</math> erhält man somit

<math>\frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}=L=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum p_k\dot{q_k}</math>,

woraus nach der Definition der Hamilton-Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt.

Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion

Für konservative Systeme (d. h. <math>H</math> nicht explizit zeitabhängig: <math>H(q, p) \neq H(t)</math>) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion <math>S(q,p')</math> konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt

<math>H(q,p) \Rightarrow \tilde{H}(p')</math>

Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung:

<math>\dot p' = -\frac {\partial \tilde {H}(p')}{\partial q'} = 0 \Leftrightarrow p' = \mathrm{const},</math>

die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit:

<math>\dot q' = \frac {\partial \tilde {H}(p')}{\partial p'} = C \Leftrightarrow q' = Ct + b</math> mit <math>C, b = \mathrm{const}.</math>

Für <math>S(q,p')</math> muss gelten

<math>p = \frac {\partial S(q,p')}{\partial q},</math>

<math>q' = \frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}</math>

Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für <math>S(q,p')</math> für konservative Systeme:

<math>H(q,p) \Rightarrow H\left(q,\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}\right) = \tilde {H}(p').</math>

Zur Veranschaulichung von <math>S</math> wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet

<math>\begin{align}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \, S(q,p') & = \frac{\partial S}{\partial q} \dot q + \frac{\partial S}{\partial p'} \dot p'\\

                                         & = p \dot q + q' \dot p'\\
                                         & = p\dot q \quad \quad \quad \mathrm{wegen} \; \dot p' = 0.

\end{align}</math>

Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion <math>L = T-V</math>, wobei <math>T</math> die kinetische Energie ist, <math>V(q)</math> das Potential):

<math>\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}S(q,p') = \frac {\partial L}{\partial \dot q}\dot q = \frac {\partial T}{\partial \dot q}\dot q = 2T</math>.

Die zeitliche Integration liefert

<math>S = \int_{t_1}^{t_2} 2T\ \mathrm{d}t = W,</math>

also ist <math>S(q,p')</math> mit dem Wirkungsintegral identisch.

Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator

Sei <math>U = U(q)</math> ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet

die Hamilton-Jacobi-Gleichung

<math>\frac {1}{2m} \left(\frac{\partial S(q,p')}{\partial q}\right)^2 + U(q) = \tilde H = E.</math>

Beim eindimensionalen Oszillator ist <math>\tilde H</math> die einzige Konstante der Bewegung. Da <math>p'</math> ebenfalls konstant sein muss, setzt man <math>p' = \tilde H = E</math>, was für alle konservativen Systeme möglich ist.

<math>\left(\frac{\partial S(q,p')}{\partial q}\right)^2 + 2mU(q) = 2mp'</math>

Durch Integrieren folgt

<math>S(q,p') = \sqrt {2m} \int_{q_0}^q \sqrt {(p' - U(\tilde{q}))}\,\mathrm{d}\tilde q,</math>

mit <math>q' = \frac{\partial S(q,p')}{\partial p'}</math>

<math>q' = \frac {m}{\sqrt{2m}} \int_{q_0}^q \frac {\mathrm d\tilde q}{\sqrt {p' - U(\tilde q)}}.</math>

Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem

<math>\dot q' = \frac {\partial \tilde H(p')}{\partial p'} = \frac {\partial E}{\partial p'} = \frac {\partial p'}{\partial p'} = 1,</math>

<math>\Rightarrow q' = t - {t_0}.</math>

Um die Bewegung in <math>p(t)</math> und <math>q(t)</math> darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden

<math>p(t) = \frac {\partial S(q,p')}{\partial q} = \sqrt {2m(p'-U(q))},</math>

<math>q' = t - {t_0} = \frac {m}{\sqrt {2m}} \int_{q_0}^q \frac {\mathrm d \tilde q}{\sqrt {E - U(\tilde q)}}.</math>

Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit <math>U(q) = \frac {1}{2}aq^2</math>

<math>p(t) = \sqrt {2m \left( E-\frac {1}{2}aq^2 \right)},</math>

<math>q' = t - {t_0} = \frac {m}{\sqrt {2m}} \int_{q_0}^q \frac {\mathrm d \tilde q}{\sqrt {E - \frac {1}{2}a \tilde {q}^2}}.</math>

Somit (für den Fall <math>q_0 = 0</math>)

<math>t - {t_0} = \sqrt {\frac {m}{a}}\arcsin \sqrt {\frac {a}{2E}}q</math>

und letztlich

Literatur

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