Ersatzschaltungen des Bipolartransistors
Um das Verhalten eines Bipolartransistors oder Feldeffekttransistors auch in komplexen Schaltungen berechnen zu können, benötigt man ein vereinfachtes, abstraktes Modell. Es gibt verschiedene Stufen der Abstraktion. Meist werden zur Dimensionierung einfache Modelle verwendet, für die Schaltungssimulation komplexere Modelle bzw. deren Ersatzschaltbild.
Theoretisch wäre auch eine exakte Berechnung des physikalischen Verhaltens, beispielsweise über eine Monte-Carlo-Simulation möglich, aber schon in relativ einfachen elektrischen Netzwerken übersteigt der Rechenaufwand einer solchen Simulation die Leistung heutiger Computer. Die Modelle dienen daher zur Vereinfachung und hinreichenden Nachbildung der realen Abläufe, um so den Rechenaufwand drastisch zu reduzieren.
Eine weitere Vereinfachung kann durch die Nutzung unterschiedlicher Modelle für den statischen und den dynamischen Betrieb erreicht werden. Erstere dienen zur gleichstrommäßigen Dimensionierung, und damit vor allem zur Berechnung der korrekten Arbeitspunkteinstellung, sowie für niederfrequente Logikschaltungen (z. B. TTL). Modelle für den dynamischen Betrieb dienen der wechselstrommäßigen Dimensionierung und damit zur Berechnung von Schaltungen für die Signalübertragung und Signalverarbeitung.
Der vorliegende Artikel beschäftigt sich ausschließlich mit der Modellierung des Bipolartransistors, für Informationen über den Aufbau und die Verwendung von Bipolartransistoren wird auf den Hauptartikel verwiesen.
Formelzeichen
Im Folgenden werden die hier verwendeten Formelzeichen aufgelistet. Für weitere Formelzeichen siehe auch die mathematische Beschreibung.
| Zeichen | Beschreibung |
|---|---|
| <math>I_{B,N}</math> | Idealer Basisstrom der Emitter-Diode |
| <math>I_{B,I}</math> | Idealer Basisstrom der Kollektor-Diode |
| <math>I_{B,E}</math> | Basis-Leckstrom der Emitter-Diode |
| <math>I_{B,C}</math> | Basis-Leckstrom der Kollektor-Diode |
| <math>I_T</math> | Kollektor-Emitter-Transportstrom |
| <math>I_{D,S}</math> | Strom der Substrat-Diode |
| <math>R_B</math> | Basiswiderstand |
| <math>R_C</math> | Kollektorbahnwiderstand |
| <math>R_E</math> | Emitterwiderstand |
| <math>C_{S,E}</math> | Sperrschichtkapazität der Emitter-Diode |
| <math>C_{S,Ci}</math> | Interne Sperrschichtkapazität der Kollektor-Diode |
| <math>C_{S,Ce}</math> | Externe Sperrschichtkapazität der Kollektor-Diode |
| <math>C_{S,S}</math> | Sperrschichtkapazität der Substrat-Diode |
| <math>C_{D,N}</math> | Diffusionskapazität der Emitter-Diode |
| <math>C_{D,I}</math> | Diffusionskapazität der Kollektor-Diode |
Formelzeichen für das statische und dynamische Verhalten
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Weitere Formelzeichen
| Zeichen | Beschreibung |
|---|---|
| <math>x_{T,I}</math> | Temperaturkoeffizient der Sperrströme |
| <math>x_{T.B}</math> | Temperaturkoeffizient der Stromverstärkung |
Englische Bezeichnung
Da Datenblätter meist in Englisch verfasst sind, muss man auch die verwendeten Formelzeichen übersetzen können. Im Wesentlichen sind dies:
| Deutsch | Englisch | ||
|---|---|---|---|
| Bezeichnung | Zeichen | Bezeichnung | Zeichen |
| Spannung | U | voltage | V |
| Normalbetrieb | N | forward region | F |
| Inversbetrieb | I | reverse region | R |
| Sperrschicht | S | junction | J |
Die anderen Bezeichnungen können beibehalten werden.
Modelle für das statische Verhalten
Ebers-Moll-Modell
Das Ebers-Moll-Modell (nach John Lewis Moll und Jewell James Ebers, 1954) ist das einfachste Modell für den Bipolartransistor. Es hat nur drei Parameter und beschreibt damit die wichtigsten Effekte. Das Ebers-Moll-Modell wird mit Hilfe eines Dioden-Ersatzschaltbildes dargestellt.
Ein npn-Transistor besteht aus zwei antiseriellen pn-Übergängen (Dioden) mit gemeinsamer p-Zone. Diese Übergänge werden als Emitter-Diode (Basis-Emitter-Diode; BE-Diode) und Kollektor-Diode (Basis-Kollektor-Diode; BC-Diode) bezeichnet. Durch die dünne Basis (p-Zone) im Bipolartransistor fließt der Großteil des Stromes über den Emitter ab. Daher besteht das Ebers-Moll-Modell zusätzlich zu den beiden Dioden aus zwei gesteuerten Stromquellen, die den Stromfluss durch die Basis beschreiben. Die Stromquellen verhalten sich genauer gesagt als Stromsenken. Damit sich <math>I_\mathrm C</math> ausbilden kann, ist der Transistor in einem geeigneten Stromkreis zu betreiben, den eine tatsächlich existierende Energiequelle speist. Für den pnp-Transistor werden die Vorzeichen einfach umgedreht.
Zusätzlich wird noch ein Steuerfaktor für den Normalbetrieb <math>A_N \approx 0{,}98 \dots 0{,}998</math> sowie den Inversbetrieb <math>A_I \approx 0{,}5 \dots 0{,}9</math> verwendet, um den unsymmetrischen Aufbau eines realen npn-Transistors zu berücksichtigen.
- <math>I_{D,N} = I_{S,N} \, \left( e^{\frac{U_{BE}}{U_T} } - 1 \right)</math>
- <math>I_{D,I} = I_{S,I} \, \left( e^{\frac{U_{BC}}{U_T} } - 1 \right)</math>
- <math>I_C = A_N \, I_{S,N} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) - I_{S,I} \, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} -1 \right)</math>
- <math>I_E = - I_{S,N} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) + A_I \, I_{S,I} \, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)</math>
- <math>I_B = \left( 1 - A_N \right) \, I_{S,N} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) + \left( 1 - A_I \right) \, I_{S,I} \, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)</math>
Im Normalbetrieb sperrt die BC-Diode da <math>U_{BC} < 0</math> und kann deshalb vernachlässigt werden. Zusätzlich kann die zugehörige Exponentialfunktion durch −1 ersetzt werden, da <math>U_{BE} \gg U_T</math> ist. Umgekehrt sperrt im Inversbetrieb die BE-Diode, wodurch man auch in diesem Fall eine Vereinfachung der Gleichung auf dieselbe Weise erhält.
| Normalbetrieb | Inversbetrieb |
|---|---|
| Datei:Ebers-Moll-Model (reduced, forward region).svg | Datei:Ebers-Moll-Model (reduced, inverse region).svg |
|
<math>I_C = I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}</math> |
<math>I_C = I_S \, e^\frac{U_{BC}}{U_T}</math> |
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
Ebers-Moll-Modell im Sättigungsbetrieb
Wenn man den Bipolartransistor als Schalter einsetzt, kommt dieser vom Normalbetrieb in den Sättigungsbetrieb. Hier ist vor allem die minimal erreichbare Kollektor-Emitter-Spannung <math>U_{CE,sat}(I_B,\,I_C)</math> interessant. Aufgelöst für diese Spannung erhält man die Gleichung
- <math>U_{CE,sat}(I_B,\,I_C) = U_T \, \ln\frac{B_N \, \left( 1 + B_I \right) \, \left( B_I \, I_B + I_C \right)}{ B_I^2 \, \left( B_N \, I_B - I_C \right) }</math>
Bei <math>0 < I_C < B_N\, I_B</math> gilt <math>U_{CE,sat} \approx 20 \dots 200 \,\mathrm{mV}</math>. Das Minimum erhält man bei <math>I_C=0</math>:
- <math>U_{CE,sat} \left( I_C = 0 \right) = U_T \, \ln \left( 1 + \frac{1}{B_I} \right) = - U_T \, \ln A_I</math>
Für den Inversbetrieb vertauscht man Emitter und Kollektor. Dadurch erhält man für die Sättigung mit <math>I_E = 0</math>:
- <math>U_{EC,sat} \left( I_E = 0 \right) = U_T \, \ln \left( 1 + \frac{1}{B_N} \right) = - U_T \, \ln A_N</math>
Da <math>A_I < A_N < 1</math> gilt <math>U_{EC,sat}(I_E = 0) < U_{CE,sat}(I_C = 0)</math>. Dabei gilt üblicherweise <math>U_{CE,sat}(I_C = 0) \approx 2\dots 20\,\mathrm{mV}</math> und <math>U_{EC,sat}(I_E = 0) \approx 0{,}05 \dots 0{,}5\,\mathrm{mV}</math>.
Transportmodell
Durch die Umformung der beiden Stromquellen des Ebers-Moll-Modells in eine einzige gesteuerte Stromquelle erhält man das Transportmodell des Bipolartransistors. Das Transportmodell beschreibt das Gleichstromverhalten. Emitter- und Kollektor-Diode werden dabei als ideal angenommen und der durch die Basis fließende Strom wird als Transportstrom <math>I_T</math> getrennt berechnet. Für das Transportmodell gelten die folgenden Gleichungen:
- <math>I_{B,N} = \frac{I_S}{B_N}\, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right)</math>
- <math>I_{B,I} = \frac{I_S}{B_I}\, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)</math>
- <math>I_B = I_{B,N} + I_{B,I} = \frac{I_S}{B_N}\, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) + \frac{I_S}{B_I}\, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)</math>
- <math>I_T = B_N \, I_{B,N} - B_I \, I_{B,I} = I_S \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - e^\frac{U_{BC}}{U_T} \right)</math>
- <math>I_C = I_S \, \left[ e^\frac{U_{BE}}{U_T} - \left( 1 + \frac{1}{B_I} \right) \, e^\frac{U_{BC}}{U_T} + \frac{1}{B_I} \right]</math>
- <math>I_E = I_S \, \left[ e^\frac{U_{BC}}{U_T} - \left( 1 + \frac{1}{B_N} \right) \, e^\frac{U_{BE}}{U_T} + \frac{1}{B_N} \right]</math>
.svg){kind=link}
Da für den Normalbetrieb die Sperrströme vernachlässigt werden können, erhält man das reduzierte Transportmodell mit:
- <math>I_C = B_N \, I_B = I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}</math>
- <math>I_B = \frac{I_C}{B_N} = \frac{I_S}{B_N} \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}</math>
- <math>I_E = - \left( I_C + I_B \right) = - \left( 1 + B_N \right) \, I_B</math>
Modellierung statischer Effekte im Transportmodell
Um das statische Verhalten des Bipolartransistors besser modellieren zu können, muss das Transportmodell entsprechend erweitert werden. Dabei sind vor allem die folgenden Effekte zu berücksichtigen:
- Leckströme
- Hochstromeffekt
- Early-Effekt
Für das um diese Effekte erweiterte Transportmodell gelten im Allgemeinen die Zusammenhänge:
- <math>I_B = I_{B,N} + I_{B,I} + I_{B,E} + I_{B,C}</math>
- <math>I_C = \frac{B_N}{q_B} \, I_{B,N} - \left( \frac{B_I}{q_B} + 1 \right) \, I_{B,I} - I_{B,C}</math>
- <math>I_E = - \left( \frac{B_N}{q_B} + 1 \right) \, I_B,N + \frac{B_I}{q_B} \, I_{B,I} - I_{BE}</math>
was sich aus den im Weiteren erläuterten Formeln ergibt.
Leckströme
Die Leckströme, die durch die Ladungsträgerrekombination in den pn-Übergängen erzeugt werden, werden zu den jeweiligen Strömen der Kollektor- und der Emitter-Diode hinzuaddiert. Das wird erreicht, indem man den Dioden im Transportmodell jeweils eine weitere Diode parallelschaltet. Diese zusätzlichen Dioden werden über die Leck-Sättigungs-Sperrströme <math>I_{S,E}</math> und <math>I_{S,C}</math>, sowie über die Emissionskoeffizienten <math>n_E \approx 1{,}5</math> und <math>n_C \approx 2</math> beschrieben.
- <math>I_{B,E} = I_{S,E} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{n_E \, U_T} - 1 \right)</math>
- <math>I_{B,C} = I_{S,C} \, \left( e^\frac{U_{BC}}{n_C \, U_T} - 1 \right)</math>
Hochstrom- und Early-Effekt
Wenn der Strom durch den Transistor sehr stark ist, ist der Transportstrom eines realen Transistors durch die hohe Ladungsträgerkonzentration in der Basis kleiner als durch das Grundmodell dargestellt. Dieser Effekt wird auch als Hochstromeffekt bzw. als starke Injektion bezeichnet.
Zusätzlich beeinflussen die Spannungen <math>U_{BE}</math> und <math>U_{BC}</math> die effektive Dicke der Basiszone und wirken sich somit auf den Transportstrom <math>I_T</math> aus. Dieser Effekt ist als Early-Effekt bekannt.
Der Hochstrom- und der Early-Effekt wird durch die dimensionslose Größe <math>q_B</math> dargestellt.
- <math>I_T = \frac{B_N \, I_{B,N} - B_I \, I_{B,I}}{q_B} = \frac{I_S}{q_B} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - e^\frac{U_{BC}}{U_T} \right)</math>
<math>q_B</math> ist dabei die relative Majoritätsträgerladung und setzt sich aus der Größe des Early-Effekts <math>q_\text{Early}</math> und der Größe des Hochstromeffektes <math>q_\text{Hoch}</math> zusammen:
- <math>q_B = \frac{q_\text{Early}}{2} \, \left( 1 + \sqrt{1 + 4\, q_\text{Hoch}} \right)</math>
- <math>q_\text{Early} = \frac{1}{1 - \frac{U_{BE}}{U_{A,I}} - \frac{U_{BC}}{U_{A,N}}}</math>
- <math>q_\text{Hoch} = \frac{I_S}{I_{K,N}} \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) + \frac{I_S}{I_{K,I}} \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)</math>
<math>U_{A,N}</math> und <math>U_{A,I}</math> sind die Early-Spannungen mit <math>U_A \approx 30 \dots 150 \, \mathrm{V}</math>. <math>I_{K,N}</math> und <math>I_{K,I}</math> sind die Knieströme der starken Injektion. Die Größe der Knieströme ist von der Größe und damit der Bauform des Transistors abhängig und liegen im Milliampere- (Kleinleistungtransitor) bis Amperebereich (Leistungstransistor).
Hochstrom- und Early-Effekt im Normalbetrieb
Bei der Betrachtung des Kollektorstromes kommt die Auswirkung des Faktors <math>q_B</math> besonders zur Geltung. Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man:
- <math>I_C = \frac{B_N \, I_{B,N}}{q_B} = \frac{I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}}{q_B}</math>
Bei kleinen bis mittleren Stromgrößen <math>I_C < I_{K,N}</math> gilt <math>q_\text{Hoch} \ll 1</math> und somit <math>q_B \approx q_\text{Early}</math>. Zusätzlich gilt
- <math>U_{BC} = U_{BE} - U_{CS} \approx -U_{CE}</math>
da <math>U_{BE} \approx 0{,}6 \dots 0{,}8 \, \mathrm{V}</math>. Somit erhält man eine Näherungsgleichung für den Early-Effekt:
- <math>q_\text{Early} \approx \frac{1}{1+ \frac{U_{CE}}{U_{A,N}}}</math>
und durch Einsetzen in <math>I_C</math> erhält man:
- <math>I_C \approx I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)</math>
Bei großen Strömen <math>I_C \to \infin</math> ist <math>q_\text{Hoch} \gg 1</math> und somit <math>q_B \approx q_\text{Early} \, \sqrt{q_\text{Hoch}}</math>. Durch Einsetzen erhält man:
- <math>I_C \approx \sqrt{I_S \, I_{K,N}} \, e^\frac{U_{BE}}{2\, U_T} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)</math>
Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man für <math>I_B</math> die Gleichung
- <math>I_B = \frac{I_S}{B_N} \, e^\frac{U_{BE}}{U_T} + I_{S,E}\, e^\frac{U_{BE}}{n_E \, U_T}</math>
Stromverstärkung
Für die Stromverstärkung B gilt der Zusammenhang
- <math>B = \frac{I_C}{I_B} = \frac{B_N}{q_B + B_N \, \left( \frac{q_B}{I_S} \right)^\frac{1}{n_E} \, I_{S,E} \, I_C^{\frac{1}{n_E}-1}}</math>
Zudem ist die Stromverstärkung B von UBE und UCE abhängig, da auch IC und qB von diesen Spannungen abhängig sind.
Der Verlauf der Stromverstärkung wird zur Näherung in drei Abschnitte unterteilt:
- 1. Leckstrombereich
- Bei kleinen Kollektorströmen dominiert der Leckstromanteil IB,E im Basisstrom IB. Dieser Bereich wird folglich als Leckstrombereich bezeichnet. In diesem Bereich gilt aufgrund der Dominanz des Leckstromes die Näherung <math>I_B \approx I_{B,E}</math> und <math>q_B \approx q_1</math>. Daraus ergibt sich die Vereinfachung:
- <math>B \approx \frac{I_C^{1-\frac{1}{n_E}}}{I_{S,E} \, \left( \frac{q_1}{I_S} \right)^\frac{1}{n_E}} \sim I_C^{1-\frac{1}{n_E}} \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)^\frac{1}{n_E}</math>
- Mit <math>n_E \approx 1{,}5</math> erhält man <math>B \sim I_C^\frac{1}{3}</math>. Damit ist die Verstärkung B in diesem Bereich kleiner als bei mittelgroßen Kollektorströmen und wird mit steigendem Kollektorstrom <math>I_C</math> ebenfalls größer.
- 2. Normalbereich
- Bei mittleren Kollektorströmen gilt die Näherung <math>I_B \approx I_{B,N}</math> und daraus folgend:
- <math>B \approx B_N \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)</math>
- Daraus ergibt sich ein maximaler Wert, sowie nur eine geringe Abhängigkeit von <math>I_C</math>, für die Verstärkung B in diesem Bereich. Deshalb werden Transistoren bevorzugt in diesem Bereich betrieben.
- 3. Hochstrombereich
- Bei großen Kollektorströmen kommt es zum Hochstromeffekt. Über den Zusammenhang <math>I_B \approx I_{B,N}</math> erhält man den Zusammenhang:
- <math>B \approx \frac{B_N}{q_B} \approx B_N \, \frac{I_{K,N}}{I_C} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)^2</math>
- Die Stromverstärkung B ist somit indirekt proportional zu IC, was bedeutet, dass die Stromverstärkung mit steigendem Kollektorstrom stark abnimmt.
Die maximale Stromverstärkung bei konstanter Kollektor-Emitter-Spannung wird mit Bmax(UCE) bezeichnet. Für Transistoren mit großem Kniestrom IK,N und kleinem Leckstrom IS,E ist der Normalbereich so breit, dass der tatsächliche Verlauf von B mit der Näherungsgeraden in diesem Bereich eine Tangente bildet. Im Schnittpunkt gilt Bmax(UCE) = B0,max = BN, wobei B0,max bei UCE = 0 auftritt. Bei Transistoren mit kleinem Kniestrom und großem Leckstrom hingegen fällt der Normalbereich sehr schmal aus, wobei die Verstärkung unterhalb der Näherungsgeraden bleibt und damit B < BN gilt.
Bahnwiderstände
Da das Halbleitermaterial für den elektrischen Strom einen Widerstand darstellt, muss dieser Widerstand in Form der Bahnwiderstände dargestellt werden. Man unterscheidet zwischen dem Emitterbahnwiderstand RE, dem Kollektorbahnwiderstand RC und dem Basisbahnwiderstand RB.
- Emitterbahnwiderstand
- Aufgrund der starken Dotierung und des geringen Längen-zu-Querschnitt-Verhältnisses des Emitters hat RE nur einen kleinen Betrag. Bei Kleinleistungstransistoren beträgt RE etwa 0,1 Ω bis 1 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 0,01 Ω bis 0,1 Ω.
- Kollektorbahnwiderstand
- Der Kollektorbahnwiderstand wird vor allem durch die schwach dotierte Kollektorzone verursacht. Bei Kleinleistungstransistoren beträgt RC etwa 1 Ω bis 10 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 0,1 Ω bis 1 Ω.
- Basiswiderstand
- Der Basiswiderstand wird aus dem externen Basiswiderstand RBe und dem internen Basiswiderstand RBi gebildet. Der externe Basiswiderstand tritt zwischen dem Kontakt der Basis und der aktiven Basiszone auf, während der interne Basiswiderstand quer in der aktiven Basiszone zwischen Emitter und Kollektor auftritt. Bei großen Strömen hat der interne Basiswiderstand nur begrenzt Einfluss, da sich der Strom aufgrund der Stromverdrängung an der Basiszone konzentriert. Zusätzlich wirkt der Early-Effekt, der die Dicke der Basiszone beeinflusst. Diese Effekte werden in der Konstante qB zusammengefasst.
- Der Basiswiderstand ergibt sich folglich aus:
- <math>R_B = R_{Be} + \frac{R_{Bi}}{q_B}</math>
- Für den Normalbetrieb folgt durch Auflösen von qB:
- <math>R_{B} = \begin{cases} R_{Be} + R_{Bi} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right) & \text{wenn} \quad I_{C} < I_{K,N} \\ R_{Be} & \text{wenn} \quad I_{C} \to \infty \end{cases}</math>
- Bei Kleinleistungstransistoren beträgt RBe etwa 10 Ω bis 100 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 1 Ω bis 10 Ω. RBi ist etwa drei- bis viermal so groß wie RBe.
Substrat-Diode
Bei integrierten Transistoren ist bei vertikalen npn-Transistoren zwischen Substrat und Kollektor, sowie bei lateralen pnp-Transistoren zwischen Substrat und Basis, konstruktionsbedingt—wie in den nebenstehenden Abbildungen dargestellt—ein pn-Übergang, die sog. Substrat-Diode. Diese Substrat-Diode wird als herkömmliche pn-Diode über die Shockley-Formel beschrieben. Für den Sättigungssperrstrom IS wird der Sättigungssperrstrom der Substratdiode IS,S eingesetzt:
- <math>I_{D,S} = I_{S,S} \left( e^\frac{U_{SB}}{U_T} - 1 \right)</math> (lateral)
- <math>I_{D,S} = I_{S,S} \left( e^\frac{U_{SC}}{U_T} - 1 \right)</math> (vertikal)
Da die Substrat-Diode üblicherweise nicht beschaltet wird, ist keine Modellierung erforderlich. Bei (fehlerhafter) Beschaltung kann jedoch ein Strom fließen und muss in diesem Fall auch berücksichtigt werden.
Modellierung dynamischer Effekte im Transportmodell
Bei der Ansteuerung mit sinus- oder pulsförmigen Signalen muss auch das dynamische Verhalten des Transistors beachtet werden. Dafür benötigt man, wie bei der Diode, die im Transistor auftretenden Sperr- und Diffusionskapazitäten.
Sperrschichtkapazitäten
Bei einem einzelnen Bipolartransistor treten zwei und bei integrierten Transistoren drei Sperrschichtkapazitäten auf. Die Emitterdiode ist durch die Emittersperrschichtkapazität <math>C_{S,E} \left( U_{B',E'} \right)</math> charakterisiert. Die Kollektordiode wird durch die Kollektorsperrschichtkapazität <math>C_{C,E}</math> beschrieben, welche sich aus der internen Sperrschichtkapazität <math>C_{S,Ci}</math> der aktiven Zone bei <math>B'</math> und der externen Sperrschichtkapazität <math>C_{S,Ce}</math> beim Basisanschluss <math>B</math> zusammen. Die Anteile der internen und externen Sperrschichtkapazität an der Kollektorsperrschichtkapazität wird durch den Parameter <math>x_{CSC}</math> dargestellt:
- <math>\begin{align}
C_{S,C} &= C_{S,Ci} + C_{S,Ce}\\ C_{S,Ci} \left( U_{B'C'} \right) &= x_{CSC} \cdot C_{S,C} \left( U_{B'C'} \right)\\ C_{S,Ce} \left( U_{B'C'} \right) &= \left( 1 - x_{CSC} \right) \cdot C_{S,C} \left( U_{B'C'} \right)\end{align}</math> Bei Einzeltransistoren liegt der Faktor <math>x_{CSC}</math> meistens zwischen 0,5 und 1, was bedeutet, dass <math>C_{S,Ce} \le C_{S,Ci}</math> ist. Bei integrierten Transistoren ist <math>x_{CSC} < 0{,}5</math> und damit <math>C_{S,Ce} > C_{S,Ci}</math>.
Bei integrierten Transistoren tritt zusätzlich die Sperrschichtkapazität der Substratdiode <math>C_{S,S}</math> auf. Diese wirkt bei integrierten vertikalen npn-Transistoren am internen Kollektor <math>C'</math> und bei integrierten lateralen npn-Transistoren an der internen Basis <math>B'</math>. Daher gilt:
- <math>\begin{align}
C_{S,S} &= C_{S,S} \left( U_{SC'} \right) \qquad\text{(vertikal)} \\ C_{S,S} &= C_{S,S} \left( U_{SB'} \right) \qquad\text{(lateral)} \end{align}</math>
Diffusionskapazitäten
Beim Transistor treten zwei Diffusionskapazitäten auf: die Diffusionskapazität der Emitterdiode <math>C_{D,N}</math> und die Diffusionskapazität der Kollektordiode <math>C_{D,I}</math>. In diesen werden die Emitterdiffusionsladung <math>Q_{D,N}</math> und die Kollektordiffusionsladung <math>Q_{D,I}</math> gespeichert. Die Diffusionsladungen ergeben sich aus dem Transportstrom <math>I_T</math>, welcher vom Kollektor zum Emitter fließt (siehe auch Transportmodell).
- <math>Q_{D,N} = \tau_N \, B_N \, I_{B,N} = \tau_N \, I_S \, \left( e^\frac{U_{B'E'}}{U_T} - 1 \right)</math>
- <math>Q_{D,I} = \tau_N \, B_I \, I_{B,I} = \tau_I \, I_S \left( e^\frac{U_{B'C'}}{U_T} - 1 \right)</math>
Wobei die Zeitkonstanten <math>\tau_N</math> und <math>\tau_I</math> als Transit-Zeit bezeichnet werden. Durch Differentiation ergeben sich aus diesen Gleichungen die Diffusionskapazitäten:
- <math>C_{D,N} \left( U_{B'E'} \right) = \frac{\mathrm{d} \, Q_{D,N}}{\mathrm{d} \, U_{B',E'}} = \frac{\tau_N \, I_S}{U_T} \, e^\frac{U_{B',E'}}{U_T}</math>
- <math>C_{D,I} \left( U_{B'C'} \right) = \frac{\mathrm{d} \, Q_{D,I}}{\mathrm{d} \, U_{B',C'}} = \frac{\tau_N \, I_S}{U_T} \, e^\frac{U_{B',C'}}{U_T}</math>
Die Diffusionskapazitäten <math>C_{D,N}</math> und <math>C_{D,I}</math> treten parallel zu den Sperrschichtkapazitäten <math>C_{S,E}</math> und <math>C_{S,Ci}</math> auf. Im Normalbetrieb ist die Kollektor-Diffusionskapazität <math>C_{D,I}</math> aufgrund der geringen inneren Basis-Kollektor-Spannung <math>U_{B',C'}</math> im Vergleich zur inneren Kollektor-Sperrschicht-Kapazität <math>C_{S,Ci}</math> sehr klein und kann daher vernachlässigt werden. <math>C_{D,I}</math> kann infolge der Vernachlässigung von <math>C_{D,I}</math> mit einer konstanten Transitzeit beschrieben werden, wodurch <math>\tau_N = \tau_{0,I}</math> angenommen wird.
Wenn der Transitstrom klein ist gilt <math>C_{D,N} < C_{D,N}</math>, bei großem Transitstrom hingegen gilt <math>C_{D,N} > C_{D,N}</math>. Um das korrekt darstellen zu können, muss <math>\tau_N</math> in der Ersatzschaltung genau modelliert werden. Eine Zunahme von <math>\tau_N</math> gei großen Strömen wirkt sich als Abnahme der Grenzfrequenzen und der Schaltgeschwindigkeit des Transistors aus.
Aufgrund des Hochstromeffektes nimmt die Diffusionsladung überproportional zu. Die Transitzeit ist daher nicht konstant und nimmt mit steigendem Strom zu. Der Early-Effekt wirkt sich ebenfalls aus, da dieser die effektive Dicke der der Basiszone und damit die in der Basiszone gespeicherte Ladung verändert. Da jedoch mit den Parametern <math>I_{K,N}</math> und <math>U_{A,N}</math> keine präzise Beschreibung möglich ist, wird eine empirisch bestimmte Gleichung zur Beschreibung verwendet:
- <math>\tau_N = \tau_{0,N} \, \left[ 1 + x_{\tau,N} \, \left( 3\,x^2 - 2\,x^3 \right) \, 2^\frac{U_{B'C'}}{U_{\tau,N}} \right]</math>
wobei der Faktor x für das Polynom über die folgende Gleichung definiert ist:
- <math>x = \frac{B_N \, I_{B,N}}{B_N \, I_{B,N} + I_{\tau,N}} = \frac{1}{1 + \frac{I_{\tau,N}}{B_N \, I_{B,N}}} = \frac{1}{1 + \frac{I_{\tau_N}}{I_S \, \left( e^{\frac{U_{B'E'}}{U_T}} - 1 \right)}}</math>
Zusätzlich ist <math>\tau_0,N</math> die ideale Transitzeit, <math>x_{\tau_N}</math> der Koeffizient der Transitzeit, <math>I_{K,N}</math> der Transitzeit-Kniestrom und <math>U_{\tau,N}</math> die Transitzeit-Spannung. Der Koeffizient der Transitzeit <math>x_{\tau_N}</math> gibt an, wie stark <math>\tau_N</math> bei <math>U_{B'C'} = 0\,\mathrm{V}</math> zunehmen kann:
- <math>\lim_{I_{B,B} \to\infty} \tau_N = \tau_{0,N} \,\left( 1 + x_{\tau,N} \right) \quad\forall{U_{B'C'}=0\,\mathrm{V}}</math>
Die Hälfte der maximalen Zunahme erhält man bei <math>I_{\tau,N} = B_N\, I_{B,N}</math>:
- <math>\tau_N = \tau_{0,N} \, \left( 1 + \frac{x_{\tau,N}}{2} \right) \quad\forall \left( B_N \, I_{B,N} = I_{\tau,N} \right) \land \left( U_{B'C'} = 0 \right)</math>
Daraus folgt, dass wenn die Spannung <math>U_{B'C'}</math> um den Betrag der Spannung <math>U_{\tau,N}</math> sinkt, steigt <math>\tau_N</math> nur noch mit der halben Geschwindigkeit. d. h. für <math>U_{B'C'} = - n\, U_{\tau,N}</math> ist die Zunahme von <math>\tau_N</math> um den Faktor <math>2^n</math> kleiner.
Statisches Kleinsignalmodell
Das statische Kleinsignalmodell beschreibt das Kleinsignalverhalten bei niedrigen Frequenzen und wird deshalb auch als Gleichstrom-Kleinsignalersatzschaltbild bezeichnet.
Aus dem Gummel-Poon-Modell wird durch Linearisierung im Arbeitspunkt das lineare Kleinsignalmodell. Der Arbeitspunkt wird in einem Bereich gewählt, in dem der Transistor nach erfolgter Dimensionierung arbeiten soll. Üblicherweise ist das der Normalbetrieb, weshalb im Weiteren Modelle für den Normalbetrieb gezeigt werden. Nach denselben Prinzipien kann man jedoch auch Modelle für die anderen Transistor-Betriebsarten erstellen.
Die Linearisierung des Gummel-Poon-Modells erfolgt, indem man die Kapazitäten weglässt – da diese bei Gleichstrom nicht wirken – und die Sperrströme vernachlässigt – also IB,I, IB,C und ID,S gleich Null setzt.
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
Weiters werden die nichtlinearen Größen <math>I_B = I_{B,N}\left( U_{B'E'} \right) + I_{B,E} \left( U_{B'E'} \right)</math> sowie <math>I_C = I_T \left( U_{B'E'},U_{C'E'} \right)</math> im Arbeitspunkt A linearisiert:
- <math>S = \frac{\partial I_C}{\partial U_{B'E'}} = \frac{I_{C,A}}{U_T} \, \left( 1 - \frac{U_T}{q_B} \, \frac{\partial q_B}{\partial U_{B'E'}} \right) \quad\forall{A}</math>
- <math>\frac{1}{r_{BE}} = \frac{\partial I_B}{\partial U_{B'E'}} = \frac{I_S}{B_N \, U_T} \, e^\frac{U_{B'E',A}}{U_T} + \frac{I_{S,E}}{n_E \, U_T} \, \frac{U_{B'E',A}}{n_E\, U_T} \quad\forall{A}</math>
- <math>\frac{1}{r_{CE}} = \frac{\partial I_C}{\partial U_{C'E'}} = \frac{I_{C,A}}{U_{A,N} + U_{C'E',A} - U_{B'E',A} \, \left( 1 + \frac{U_{A,N}}{U_{A,I}} \right)} \quad\forall{A}</math>
In der Praxis werden zur weiteren Vereinfachung auch die Bahnwiderstände nicht berücksichtigt. Daraus erhält man das vereinfachte statische Kleinsignalmodell. Bei einer zusätzlichen Vernachlässigung des Early-Effektes durch <math>r_{CE} \to \infty</math> erhält man des Weiteren eine alternative Darstellungsart dieses vereinfachten Modells, welche durch Linearisierung aus dem vereinfachten statischen Kleinsignalmodell erstellt wird. Die alternative Darstellungsart ist aufgrund des vernachlässigten Early-Effekts jedoch nur Ausnahmefällen brauchbar, da die Berechnung anhand dieser Vereinfachung meist zu unbrauchbaren Ergebnissen führt. In der Literatur findet man zudem oft eine Darstellung mit einem zusätzlichen Widerstand zwischen Basis und Kollektor, der sich durch die Linearisierung der Kollektor-Basis-Diode aus dem Ebers-Moll-Modell ergibt, jedoch nicht zur Modellierung des Early-Effekts dient.
Es gelten die Gleichungen
- <math>r_E = \frac{1}{S + \frac{1}{r_{BE}}} \approx \frac{1}{S}</math>
- <math>\alpha = \frac{\beta}{1+\beta} = S \, r_{E}</math>
Modelle für das dynamische Verhalten
Gummel-Poon-Modell
Das Gummel-Poon-Modell, benannt nach seinen geistigen Vätern Hermann Gummel und H. C. Poon, ist das vollständige Modell eines Bipolar-Transistors und wird zur Schaltungssimulation – etwa in PSpice – verwendet. Es basiert auf dem Transportmodell und modelliert alle statischen und dynamischen Effekte in diesem. Die Formelzeichen sind zu Beginn des Artikels aufgelistet.
Falls einige Werte im Datenblatt des Transistors nicht angegeben sind, werden (z. B. in PSpice) Standardwerte verwendet. In PSpice kommen folgende Standardwerte zur Anwendung:
| Parameter | IS | BN | BI | nE | nC | xT,I | fS | Udiff,E, Udiff,C, Udiff,S | mS,E, mS,C | xCSC | IS,S, IS,E, IS,C, RB, RC, RE, CS0,E, CS0,C, CS0,S, τ0,N, τ0,I, xτ,N, xT,B, mS,S, Iτ,N |
IK,N, IK,I, UA,N, UA,I, Uτ,N |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Standardwert | 10−16 A | 100 | 1 | 1,5 | 2 | 3 | 0,5 | 0,75 V | 333·10−3 | 1 | 0 | ∞ |
Ein Standardwert von 0 oder ∞ bedeutet, dass der entsprechende Parameter so gesetzt wird, dass dieser Parameter keinen Einfluss auf die Berechnung hat und auf diese Weise nicht modelliert wird.
| Parameter | PSpice- Bezeichnung |
BC547B<ref>Datenblatt des Transistors BC547B</ref> | BC557B<ref>Datenblatt des Transistors BC557B</ref> | BUV47<ref>Datenblatt des Transistors BUV47</ref> | BFR92P<ref>Datenblatt des Transistors BFR92P</ref> |
|---|---|---|---|---|---|
| IS | IS | 7 fA | 1 fA | 974 fA | 0,12 fA |
| BN | BF | 375 | 307 | 95 | 95 |
| BI | BR | 1<ref group="F" name="F_Standardwert">entspricht dem Standardwert</ref> | 6,5 | 20,9 | 10,7 |
| IS,E | ISE | 68 fA | 10,7 fA | 2,57 pA | 130 fA |
| nE | NE | 1,58 | 1,76 | 1,2 | 1,9 |
| IK,N | IKF | 82 mA | 92 mA | 15,7 A | 160 mA |
| UA,N | VAF | 63 V | 52 V | 100 V | 30 V |
| RBe | RBM | 10 Ω<ref group="F" name="F_Allgemein">Wert nur allgemein angegeben. Bei hohen Frequenzen kommt es zu Ungenauigkeiten. Dies wird im Transistorrauschen berücksichtigt. Andernfalls müsste der korrekte Wert durch Messung am einzelnen Bauteil ermittelt werden.</ref> |
10 Ω<ref group="F" name="F_Allgemein" /> | 100 mΩ<ref group="F" name="F_Allgemein" /> | 6,2 Ω |
| RBi<ref group="F" name="F_PSpice">RBi wird in PSpice nicht explizit angegeben. Stattdessen wird RB mit RB = RBM + RBi = RBe + RBi angegeben.</ref> | — | 0<ref group="F" name="F_Allgemein" /> | 0<ref group="F" name="F_Allgemein" /> | 0<ref group="F" name="F_Allgemein" /> | 7,8 Ω |
| — | RB<ref group="F" name="F_PSpice" /> | 10 Ω<ref group="F" name="F_Allgemein" /> | 10 Ω<ref group="F" name="F_Allgemein" /> | 100 mΩ<ref group="F" name="F_Allgemein" /> | 15 Ω |
| RC | RC | 1 Ω | 1,1 Ω | 35 mΩ | 140 mΩ |
| CS0,E | CJE | 11,5 pF | 30 pF | 1,093 nF | 1 fF |
| Udiff,E | VJE | 500 mV | 500 mV | 500 mV | 710 mV |
| mS,E | MJE | 672·10−3 | 333·10−3 <ref group="F" name="F_Standardwert" /> | 333·10−3 <ref group="F" name="F_Standardwert" /> | 347·10−3 |
| CS0,C | CJC | 5,25 pF | 9,8 pF | 364 pF | 649 fF |
| Udiff,C | VJC | 570 mV | 490 mV | 500 mV | 850 mV |
| mS,C | MJC | 315·10−3 | 332·10−3 | 333·10−3 <ref group="F" name="F_Standardwert" /> | 401·10−3 |
| xCSC | XCJC | 1<ref group="F" name="F_Standardwert" /> | 1<ref group="F" name="F_Standardwert" /> | 1<ref group="F" name="F_Standardwert" /> | 130·10−3 |
| fS | FC | 500·10−3 <ref group="F" name="F_Standardwert" /> | 500·10−3 <ref group="F" name="F_Standardwert" /> | 500·10−3 <ref group="F" name="F_Standardwert" /> | 500·10−3 <ref group="F" name="F_Standardwert" /> |
| τ0,N | TF | 410 ps | 612 ps | 51,5 ns | 27 ps |
| xτ,N | XTF | 40 | 26 | 205 | 380·10−3 |
| Uτ,N | VTF | 10 V | 10 V | 10 V | 330 mV |
| Iτ,N | ITF | 1,49 A | 1,37 A | 100 A | 4 mA |
| τ0,I | TR | 10 ns | 10 ns | 988 ns | 1,27 ns |
| xT,I | XTI | 3<ref group="F" name="F_Standardwert" /> | 3<ref group="F" name="F_Standardwert" /> | 3<ref group="F" name="F_Standardwert" /> | 3<ref group="F" name="F_Standardwert" /> |
| xT,B | XTB | 1,5 | 1,5 | 1,5 | 1,5 |
| Anmerkungen:
<references group="F" /> | |||||
Zudem werden in PSpice einige weitere Effekte berücksichtigt, die im PSpice-Referenzhandbuch<ref name="PSpice_RefMan">MicroSim: PSpice A/D. Reference Manual. MicroSim Corporation, 1996.</ref> beschrieben werden, wofür das in PSpice verwendete Modell entsprechend erweitert wurde.
Dynamisches Kleinsignalmodell
Wenn man das vollständige statische Kleinsignalmodell um die Sperrschicht- und Diffusionskapazitäten erweitert, erhält man das dynamische Kleinsignalmodell.
Die Emitterkapazität <math>C_E</math> setzt sich aus der Emitter-Sperrschicht-Kapazität <math>C_S,E</math> und der Diffusionskapazität für den Normalbetrieb <math>C_{D,N}</math> zusammen:
- <math>\begin{align}
C_E = &\, C_{S,E} \left( U_{B'E',A} \right)\\
&+ C_{D,N} \left( U_{B'E',A} \right)
\end{align}</math>
Die interne Kollektorkapazität <math>C_{Ci}</math> entspricht der internen Kollektor-Sperrschicht-Kapazität, da die interne Diffusionskapazität <math>C_{D,I}</math> wegen <math>U_{BC} \le 0</math> vernachlässigbar klein ist:
- <math>\begin{align}
C_{Ci} &= C_{S,Ci} \left( U_{B'C',A} \right) + C_{D,I} \left( U_{B'C',A} \right) \\
&\approx C_{S,Ci} \left( U_{B'C',A} \right)
\end{align}</math>
Die externe Kollektorkapazität <math>C_{Ce}</math> und die Substratkapazität <math>C_S</math> entsprechen den jeweiligen Sperrschichtkapazitäten, wobei die Substratkapazität naturgemäß nur bei integrierten Transistoren zu finden ist:
- <math>\begin{align}
C_{Ce} &= C_{S,Ce} \left( U_{BC',A} \right)\\ C_S &= C_{S,C} \left( U_{SC',A} \right) \end{align}</math>
In der Praxis werden der Emitterwiderstand <math>R_E</math> und der Kollektorwiderstand <math>R_C</math> meist vernachlässigt, während der Basiswiderstand <math>R_B</math> nur in Ausnahmefällen vernachlässigt werden kann, da der Basiswiderstand einen starken Einfluss auf das dynamische Verhalten hat. Zudem wird in der Praxis die interne und externe Kollektorkapazität – ausgenommen bei integrierten Transistoren mit einer überwiegend externen Kollektorkapazität – als interne Kollektorkapazität <math>C_C</math> zusammengefasst. Daraus erhält man das vereinfachte dynamische Kleinsignalmodell:
Grenzfrequenz im Kleinsignalbetrieb
Mit Hilfe des statischen Kleinsignalmodells kann man die Frequenzgänge der Kleinsignalstromverstärkungen <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, sowie der Transmittanz <math>\mathbf{Y}_{21,e}</math>, rechnerisch ermitteln. Die jeweiligen Grenzfrequenzen <math>f_\alpha</math>, <math>f_\beta</math>, <math>f_{Y21e}</math>, sowie die Transitfrequenz <math>f_T</math> stellen ein Maß für die Schaltgeschwindigkeit und Bandbreite des Transistors dar. Es gilt der Zusammenhang
- <math>f_\beta < f_{Y21e} < f_T \lessapprox f_\alpha</math>
Wird der Transistor in Emitterschaltung mit einer Stromquelle – bzw. mit einer Quelle mit einem Innenwiderstand <math>R_i</math> von <math>R_i \gg r_{BE}</math> – betrieben, spricht man von einer Stromsteuerung. Die Grenzfrequenz wird in diesem Fall durch die β-Grenzfrequenz <math>f_\beta</math> nach oben begrenzt.
Wird der Transistor hingegen in Emitterschaltung mit einer Spannungsquelle – bzw. mit einer Quelle mit einem Innenwiderstand <math>R_i</math> von <math>R_i \ll r_{BE}</math> – betrieben, spricht man von Spannungssteuerung. Die Grenzfrequenz wird in diesem Fall durch die Steilheitsgrenzfrequenz <math>f_{Y21e}</math> nach oben begrenzt.
Daraus folgt, dass man bei Spannungssteuerung eine höhere Grenzfrequenz und damit Bandbreite erreichen kann. Das gilt auch für die Kollektorschaltung. Die größte Bandbreite erreicht jedoch die Basisschaltung bei der allgemein die Bedingung <math>R_i > r_E</math> gilt und damit eine Stromsteuerung vorliegt und die Bandbreite durch die α-Grenzfrequenz <math>f_\alpha</math> nach oben begrenzt wird.
Die Bandbreite der Schaltung ist zusätzlich vom Arbeitspunkt abhängig. In Emitterschaltung mit Stromsteuerung und bei der Basisschaltung erhält man die maximale Bandbreite, indem man den Kollektorstrom <math>I_{C,A}</math> so einstellt, dass die Transitfrequenz den maximalen Wert erreicht. Bei der Emitterschaltung mit Spannungssteuerung besteht ein komplizierterer Zusammenhang, da zwar die Steilheitsfrequenz <math>f_{Y21e}</math> mit steigendem Kollektorstrom <math>I_C,A</math> abnimmt, aber gleichzeitig die Schaltung der Kollektorschaltung niederohmiger wird und dadurch die ausgangsseitige Bandbreite der Schaltung erhöht wird.
Die Transitfrequenz <math>f_T</math> und die Ausgangskapazität in Basisschaltung <math>C_\text{obo}</math> (output, grounded base, open emitter) wird im Datenblatt des Transistors angegeben. <math>C_\text{obo}</math> entspricht der Kollektor-Basis-Kapazität <math>C_{CB}</math>. Daraus ergibt sich:
- <math>C_C \approx C_\text{obo}</math>
- <math>C_E \approx \frac{S}{\omega_T} - C_\text{obo}</math>
Literatur
- Ulrich Tietze, Christoph Schenk, Eberhard Gamm: Halbleiter-Schaltungstechnik. 12. Auflage. Springer, 2002, ISBN 3-540-42849-6.
- Paul R. Gray, Paul J. Hurst, Stephen H. Lewis, Robert G. Meyer: Analysis and Design of Analog Integrated Circuits. Wiley, 2001, ISBN 0-471-32168-0.
- Simon M. Sze: Physics of Semiconductor Devices. Wiley 1981, ISBN 0-471-05661-8.
- Hans-Martin Rein, Roland Ranfft: Integrierte Bipolarschaltungen. Springer, 1980, ISBN 3-540-09607-8.
- Giuseppe Massobrio, Paolo Antognetti: Semiconductor Device Modelling with SPICE. McGraw-Hill Professional, 1998, ISBN 0-07-134955-3.
Einzelnachweise
<references />