Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit

Die gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit verbindet die Begriffe gleichmäßiger und gleichgradiger Stetigkeit.

Seien <math>(X,d_X)</math>, <math>(Y,d_Y)</math> metrische Räume, sei <math>F \subset C_b(X,Y)</math> eine Teilmenge beschränkter, stetiger Funktionen. Die Funktionenfamilie bzw. Funktionenschar <math>F</math> heißt gleichgradig gleichmäßig stetig, wenn gilt<ref> Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, Bibliographisches Institut Mannheim (1978), ISBN 3-411-00121-6, Absatz 5.8, Aufgabe 41</ref>:

Für alle <math>\varepsilon>0</math> existiert ein <math>\delta>0</math>, so dass für alle <math>x, x'\in X</math> und für alle <math>f\in F</math> gilt:

<math>d_X(x,x') \le \delta \Rightarrow d_Y\left(f(x), f(x')\right) \le \varepsilon

</math>.

Das heißt, wenn man ein <math>\varepsilon</math> vorgibt, findet man ein <math>\delta</math>, so dass die Aussage für alle Funktionen der Familie und für alle Punkte des Raumes gilt. <math>\delta</math> hängt also nur von <math>\varepsilon</math> ab, weder von <math>f</math> noch von <math>x</math>.

Beispiele

Besitzen alle Funktionen <math>f \in F</math> dieselbe Lipschitzkonstante, so ist die Funktionenfamilie <math>F</math> gleichmäßig gleichgradig stetig.

Einzelnachweise